第 1 頁（共 18 頁） 2016 年四川省資陽市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設(shè)全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=2， 4，集合 N=3， 5，則（ N=（ ） A 1， 5 B 3， 5 C 1， 3， 5 D 2， 4， 5 2已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（ ） A（ 4， 2） B（ 2， 4） C（ 4， 2） D（ 2， 4） 3某中學(xué)高中一年級、二年級、三年級的學(xué)生人數(shù)之比為 5： 4： 3，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為 240 的樣本，則所抽取的高中二年級學(xué)生的人數(shù)是（ ） A 120 B 100 C 90 D 80 4已知 O 為坐標原點，點 A 的坐標為（ 2， 1），向量 =（ 1， 1），則=（ ） A 4 B 2 C 0 D 2 5已知命題 p： x 0， 2x 1；命題 q：若 x y，則 下列命題為真命題的是（ ） A p q B p q C p q D p q 6若函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱，則 的值為（ ） A B C D 7如圖程序框圖的算法思路 來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b， i 的值分別為 6， 8， 0，則輸出 a 和 i 的值分別為（ ） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 8某幾何體的正視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖如圖所示，若該幾何體各個頂點在同一個球面上，則該球體的表面積是（ ） 第 2 頁（共 18 頁） A 6 B 12 C 24 D 32 9雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的右焦點為 F，若以點 F 為圓心，半徑為 a 的圓與雙曲線 C 的漸近線相切，則雙曲線 C 的離心率等于（ ） A B C 2 D 2 10若函數(shù) f（ x） = （ b+8） x（ a 0， b 0）在區(qū)間 1， 2上單調(diào)遞減，則（ 1 a）（ b+1）的最大值為（ ） A B 4 C 2 D 0 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分 11 = 12在 的展開式中，常數(shù)項為 （用數(shù)字作答） 13某人欲把 a， b 兩盆紅色花和 c， d 兩 盆紫色花放在一排四個花臺上，若 b， c 兩盆花必須相鄰，則不同的放法共有 種 14函數(shù) f（ x） =10x+1） +偶函數(shù)，則實數(shù) a= 15若點 M（ 0， 3）與橢圓 =1（ a 2）上任意一點 P 距離的最大值不超過 2 ，則 a 的取值范圍是 三、解答題：本大題共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列 足： ，且 21， 成等比數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）若 別是等比數(shù)列 第 1 項和第 2 項，求數(shù)列 的前 n 項和 17某商場為推銷當?shù)氐哪撤N特產(chǎn)進行了一次促銷活動，將派出的促銷員分成甲、乙兩個小組分別在兩個不同的場地進行促銷，每個小組各 4 人以下莖葉圖記錄了這兩個小組成員促銷這種特產(chǎn)的件數(shù) （ ）在乙組中任選 2 位促銷員，求他們促銷的件數(shù)都多于甲組促銷件數(shù)的平均數(shù)的概率； 第 3 頁（共 18 頁） （ ）從這 8 名促銷員中隨機選取 3 名，設(shè)這 3 名促銷員中促銷多于 35 件的人數(shù)為 X，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 18設(shè)向量 =（ 21），向量 = ，函數(shù) f（ x） = （ ）若 ，且 ，求 的值； （ ）已知 三內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 a=2 ， b=3 ， f（ A）=1，求 c 19如圖，在棱柱 ， 底面 面 直角梯形，其中 C=2， ，過 平面分別與 于 中點 （ ） 求證：平面 平面 （ ） 求二面角 大小 20已知拋物線 C 的頂點在原點，對稱軸是 x 軸，并且經(jīng)過點 P（ 1， 2）， C 的準線與 （ ）求拋物線 C 的方程； （ ）過拋物線 C 的焦點 F 的直線 l 交拋物線于 A， B 兩點，若 ，求 的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） =（ x+1） x+1） 2a R），它的導(dǎo)函數(shù)為 f（ x） （ ）若函數(shù) g（ x） =f（ x） +（ 2a 1） x 只有一個零點，求 a 的值； （ ）是否存在實數(shù) a，使得關(guān)于 x 的不等式 f（ x） 0 在（ 0， +）上恒成立？若存在，求 a 的取值范圍；若不存在，說明理由 第 4 頁（共 18 頁） 2016 年四川省資陽市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的 1設(shè)全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=2， 4，集合 N=3， 5，則（ N=（ ） A 1， 5 B 3， 5 C 1， 3， 5 D 2， 4， 5 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 由全集 U 及 M，求出 M 補集，找出 M 補集與 N 交集即可 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=2， 4， 1， 3， 5， 集合 N=3， 5， （ N=3， 5 故選： B 2已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（ ） A（ 4， 2） B（ 2， 4） C（ 4， 2） D（ 2， 4） 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出 【解答】 解：復(fù)數(shù) z= = = =4 2i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（ 4， 2） 故選： A 3某中學(xué)高中一年級、二年級、三 年級的學(xué)生人數(shù)之比為 5： 4： 3，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為 240 的樣本，則所抽取的高中二年級學(xué)生的人數(shù)是（ ） A 120 B 100 C 90 D 80 【考點】 分層抽樣方法 【分析】 根據(jù)分層抽樣的定義建結(jié)合比例關(guān)系即可得到結(jié)論 【解答】 解：用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為 240 的樣本，則應(yīng)從所抽取的高中二年級學(xué)生的人數(shù) 240=80， 故選： D 4已知 O 為坐標原點，點 A 的坐標為（ 2， 1），向量 =（ 1， 1），則=（ ） A 4 B 2 C 0 D 2 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù)向量的坐標運算和向量的模即可求出 【解答】 解： O 為坐標原點，點 A 的坐標為（ 2， 1），向量 =（ 1， 1）， 第 5 頁（共 18 頁） = + =（ 2， 1） +（ 1， 1） =（ 1， 2）， = 2 2=（ 22+12）（ 12+22） =5 5=0， 故選： C 5已知命題 p： x 0， 2x 1；命題 q：若 x y，則 下列命題為真命題的是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 分別 判斷命題 p， q 的真假，結(jié)合復(fù)合命題之間的關(guān)系進行判斷即可 【解答】 解：命題 p： x 0， 2x 1 為真命題， 命題 q：若 x y，則 假命題，（如 x=0， y= 3）， 故 q 為真命題， 則 p q 為真命題 故選： B 6若函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱，則 的值為（ ） A B C D 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性可得 2 +=， k Z，由此求得 的值 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱， 2 +=， k Z， =， = ， 故選： A 7如圖程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b， i 的值分別為 6， 8， 0，則輸出 a 和 i 的值分別為（ ） 第 6 頁（共 18 頁） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 【考點】 程序框圖 【分析】 由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點，先判斷，再執(zhí)行，分別計算出當前的 a， b， i 的值，即可得到結(jié)論 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得： a=6， b=8， i=0， i=1，不滿足 a b，不滿足 a=b， b=8 6=2， i=2 滿足 a b， a=6 2=4， i=3 滿足 a b， a=4 2=2， i=4 不滿足 a b，滿足 a=b，輸出 a 的值為 2， i 的值為 4 故選： D 8某幾何體的正視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖如圖所示，若該幾何體各個頂點在同一個球面上，則該球體的表面積是 （ ） A 6 B 12 C 24 D 32 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 把幾何體還原為長寬高分別是 2、 1、 1 的長方體，長方體的各個頂點在同一個球面上，求出球體的直徑即可 【解答】 解：根據(jù)題意，把幾何體還原為長寬高分別是 2、 1、 1 的長方體， 則該長方體的各個頂點在同一個球面上， 該球體的直徑是（ 2R） 2=22+12+12=6 所以該球體的表面積是 （ 2R） 2=6 第 7 頁（共 18 頁） 故選： A 9雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的右焦點為 F，若以點 F 為圓心，半徑為 a 的圓與雙曲線 C 的漸近線相切，則雙曲線 C 的離心率等于（ ） A B C 2 D 2 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)雙曲線方程表示出 F 坐標，以及漸近線方程，由以點 F 為圓心，半徑為 a 的圓與雙 曲線 C 的漸近線相切，得到圓心 F 到漸近線距離 d=r，整理得到 a=b，再利用雙曲線的簡單性質(zhì)及離心率公式計算即可 【解答】 解：根據(jù)題意得：圓心 F（ c， 0），半徑為 a，雙曲線漸近線方程為 y= x，即 ， 以點 F 為圓心，半徑為 a 的圓與雙曲線 C 的漸近線相切，且 c2=a2+ 圓心 F 到漸近線的距離 d= =a，即 a=b， c= = = = a， 則雙曲線 C 的離心率 e= = ， 故選： B 10若函數(shù) f（ x） = （ b+8） x（ a 0， b 0）在 區(qū)間 1， 2上單調(diào)遞減，則（ 1 a）（ b+1）的最大值為（ ） A B 4 C 2 D 0 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；基本不等式 【分析】 求得 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得 f（ x） 0 在區(qū)間 1， 2上恒成立，可得 ，作出不等式組在第四象限的可行域，再由目標函數(shù)表示的雙曲線，結(jié)合直線與雙曲線相切，求得導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，解方程可得切點，進而得到所求最大值 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = （ b+8） x 的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） = b+8） x+2， 由題意可得 f（ x） 0 在區(qū)間 1， 2上恒成立， 即有 ，即為 ，（ *） 以（ a， b）為坐標，作出不等式組（ *）在第四象限的可行域，如圖 第 8 頁（共 18 頁） 令 t=（ 1 a）（ 1+b），可得 b= 1 ， 此函數(shù)的圖象為雙曲線， 當直線 b=2a 7 與雙曲線 b= 1 相切時， t 取得最大值， 設(shè)切點為（ m， n），由 b= ，可得 2= ， n=2m 7= 1 ， 解得 t=2， m=2， n= 3， 故選： C 二、填空 題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分 11 = 【考點】 誘導(dǎo)公式的作用 【分析】 直接利用誘導(dǎo)公式化簡，然后求解即可 【解答】 解： = = 故答案為： 12在 的展開式中，常數(shù)項為 60 （用數(shù)字作答） 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)二項式展開式的通項公式，利用 x 項的指數(shù)等于 0，即可求出常數(shù)項 【解答】 解：在 的展開式中，通項公式為： 第 9 頁（共 18 頁） = r = 2r3r， 令 6 3r=0， 解得 r=2； 所以展開式的常數(shù)項為 22=60 故答案為： 60 13某人欲把 a， b 兩盆紅色花和 c， d 兩盆紫色花放在一排四個花臺上，若 b， c 兩盆花必須相鄰，則不同的放法共有 12 種 【考點】 計數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 b， c 兩盆花必須相鄰，利用捆綁法與其余 2 盆紅色花全排即可 【解答】 解：由題意，利用捆綁法， b， c 兩盆花必須相鄰的方法數(shù)為 22=12 種 故答案為： 12 14函數(shù) f（ x） =10x+1） +偶函數(shù)，則實數(shù) a= 【考點】 對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【分析】 法一：此題是填空題，不易小題大做，因為 f（ x）是偶函數(shù)，所以對任意的實數(shù) f（ x） =f（ x）成立，故取 x=1，只需驗證 f（ 1） =f（ 1），解出 a 的值即可 法二：直接法來做，但是計算量大，因為 f（ x）為偶函數(shù)，所以 f（ x） =f（ x）即 10 x+1） ax=10x+1） +出 a 即可 【解答】 解：由題意知： 法一： f（ x）為偶函數(shù) f（ 1） =f（ 1）得： 10 1+1） a=10+1） +a a= ； 法二： f（ x）為偶函數(shù) 對任意的實數(shù) x 都有： f（ x） =f（ x） 即 10 x+1） ax=10x+1） +理得： 10 x+1） 10x+1） =2x=21020 x（ 1） 如果（ 1）式對任意的實數(shù) x 恒成立，則 2a= 1 即 a= 故答案為： 第 10 頁（共 18 頁） 15若點 M（ 0， 3）與橢圓 =1（ a 2）上任意一點 P 距離的最大值不超過 2 ，則 a 的取值范圍是 （ 2， 4 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)橢圓 =1（ a 2）上一點 P 的坐標為（ 2（ 0 2），運用兩點的距離公式，結(jié)合同角的平方關(guān)系和二次函數(shù)的最值的 求法，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求最大值 【解答】 解：設(shè)橢圓 =1 上一點 P 的坐標為 （ 2（ 0 2）， 即有 | = = = ， 由于 t（ 1 t 1）， 當 1，即 2 a 時， 1 時取得最大值，且為 5 2 ，成立； 當 1 1，即 a 時， 時，取得最大值， 即為 2 ， 解得 a 4，即有 a 4 綜上可得， a 的范圍是（ 2， 4 故答案為：（ 2， 4 三、解答題：本大題共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列 足： ，且 21， 成等比數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）若 別是等比數(shù)列 第 1 項和第 2 項，求數(shù)列 的前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 第 11 頁（共 18 頁） 【分析】 （ ） 設(shè)數(shù)列 公差為 d（ d 0），運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項公式，即可得到所求； （ ）求得 b1=， b2=，進而得到公比 q=3，即可得到 是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列，再由等 比數(shù)列的求和公式即可得到所求 【解答】 解：（ ） 設(shè)數(shù)列 公差為 d（ d 0）， 由 21， 成等比數(shù)列， 可得 ， 則 2（ 1+3d+1） =（ 1+2d 1） 2， 解得 （舍去）或 d=2， 所以 通項公式為 n 1； （ ） 由（ ）可得， b1=， b2=， 則等比數(shù)列 公比 q=3， 于是 是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列 所以 17某商場為推銷當?shù)氐哪撤N特產(chǎn)進行了一次促銷活動，將派出的促銷員分成甲、乙兩個小組分別在兩個不同的場地進行促銷，每個小組各 4 人以下莖葉圖記錄了這兩個小組成員促銷這種特產(chǎn)的件數(shù) （ ）在乙組中任選 2 位促銷員，求他們促銷的件數(shù)都多于甲組促銷件數(shù)的平均數(shù)的概率； （ ）從這 8 名促銷員中隨機選 取 3 名，設(shè)這 3 名促銷員中促銷多于 35 件的人數(shù)為 X，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ ）先求出甲組 4 名人員促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)，從而得到乙組 4 名人員所促銷的件數(shù)比甲組平均數(shù)多的有 3 位同學(xué)，由此能求出在乙組中任選 2 位促銷員，求他們促銷的件數(shù)都多于甲組促銷件數(shù)的平均數(shù)的概率 （ ）這 8 名促銷員所促銷件數(shù)多于 35 件的共有 4 人，則 X 的值可能為 0， 1， 2， 3分別求出相應(yīng)的概率 ，由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ ）甲組 4 名人員促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為 （件） 乙組 4 名人員所促銷的件數(shù)比甲組平均數(shù)多的有 3 位同學(xué)， 第 12 頁（共 18 頁） 所以所求的概率 （ ）這 8 名促銷員所促銷件數(shù)多于 35 件的共有 4 人，則 X 的值可能為 0， 1， 2， 3 ， ， ， 則 X 的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以 X 的數(shù)學(xué)期望 +1 +2 +3 = 18設(shè)向量 =（ 21），向量 = ，函數(shù) f（ x） = （ ）若 ，且 ，求 的值； （ ）已知 三內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 a=2 ， b=3 ， f（ A）=1，求 c 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；余弦定理 【分析】 （ I）利用數(shù)量積得坐標運算和兩角和的正弦公式，二倍角公式，化簡 f（ x），再代入即可求出答案； （ f（ A） =1，求出 A 的大小，由正弦定理或余弦定理即可得出 【解答】 解：（ ）由題， = ， =2） 由 ， ，得 ， 所以 = 第 13 頁（共 18 頁） （ ） 由 f（ A） =1，得 ，則 ， 由于 a b，所以 A B，則 ， ， 所以 ，則 方法一：由 ，得 ，于是 ，所以 B= 或 又由 ，得 ，于是 ， 當 B= 時， ； 當 B= 時， 方法二：由余弦定理得 a2=b2+2 所以 ，即 6c+6=0， 解得 c= 19如圖，在棱柱 ， 底面 面 直角梯形，其中 C=2， ，過 平面分別與 于 中點 （ ） 求證：平面 平面 （ ） 求二面角 大小 【考點】 二面角的平面角及求法；平面與平面平行的判定 【分析】 （ ） 連接 導(dǎo)出四邊形 平行四邊形，從而四邊形 此能證明平面 平面 （ ） 法一：分別以 ， ， 的方向為 x， y， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 D 用向量法能求出二面角 大小 法二：取分別 中點 O， 結(jié) 交于 結(jié) 導(dǎo)出 二面角 平面角，由此能求出二面角 1 的大小 【解答】 證明：（ ） 連接 柱 ， 又 中點，則 1 第 14 頁（共 18 頁） 所以四邊形 平行四邊形，則 1 又 D， 所以 D 所以四邊形 平行四邊形，則 在棱柱 ， 由于 在面 且相交， 在面 且相交， 所以平面 平面 （ ） 在棱柱 ， 平面 平面 平面 線為 又 中點，所以 中點 方法一：如圖，分別以 ， ， 的方向為 x， y， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 D A（ ， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， ， 0， 3）， ， 2， 3）， 所以 ， ， 設(shè)平面 法向量 =（ 由 ，得 ，取 ，得 =（ 1， ， 0） 設(shè)平面 法向量 =（ 由 ，得 ，取 ，得 =（ ） 則由 = = 所以 =30，故二面角 大小為 30 方法二：取分別 中點 O， 連結(jié) 交于 結(jié) 圖 由（ ）， 等邊三角形，則 在棱柱 ， 有 平面 以 所以 平面 以 故 二面角 平面角 由題 ， ，則 ， 所以 0，則二面角 大小為 30 第 15 頁（共 18 頁） 20已知拋物線 C 的頂點在原點，對稱軸是 x 軸，并且經(jīng)過點 P（ 1， 2）， C 的準線與 （ ）求拋物線 C 的方程； （ ）過拋物線 C 的焦點 F 的直線 l 交拋物線于 A， B 兩點，若 ，求 的取值范圍 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）設(shè)拋物線 C 的方程為 p 0），由于拋物線 C 過點 P（ 1， 2），代入求拋物線 C 的方程； （ ）聯(lián)立方程確定組 消去 x，得 44=0， ，表示出 ，即可求 的取值范圍 【解答】 解：（ ） 設(shè)拋物線 C 的方程為 p 0）， 由于拋物線 C 過點 P（ 1， 2），則（ 2） 2=2p1，所以 p=2， 則拋物線 C 的方程為 x （ ） F（ 1， 0），設(shè) l： x=，設(shè) A（ B（ （ 0）， 聯(lián)立方程組 消去 x，得 44=0 所以 且 又 ，則（ 1 =（ 1， 即 代入 ， 得 消去 ， 因為 ，所以 ，則 ， 由 M（ 1， 0），則 ， ， 第 16 頁（共 18 頁） 則 = =（ ）（ 16） +4m4m+8=1606 而當 時， ， 所以 ，故 的取值范圍是 21已知函數(shù) f（ x） =（ x+1） x+1） 2a R），它的導(dǎo)函數(shù)為 f（ x） （ ）若函數(shù) g（ x） =f（ x） +（ 2a 1） x 只有一個零點，求 a 的值； （ ）是否存在實數(shù) a，使得