銳角三角函數與特殊角 一 1.（ 2016山東濰坊 3 分 ） 關于 x 的一元二次方程 x+ 有兩個相等的實數根，則銳角 等于（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 【考點】 根的判別式；特殊角的三角函數值 【分析】 由方程有兩個相等的實數根，結合根的判別式可得出 ，再由 為銳角，即可得出結論 【解答】 解： 關于 x 的一元二次方程 x+ 有兩個相等的實數根， = 4 4， 解得： ， 為銳角， =30 故選 B 2. （ 2016陜西 3 分 ） 已知拋物線 y= 2x+3 與 x 軸交于 A、 這條拋物線的頂點記為 C，連接 ） A B C D 2 【考點】 拋物線與 x 軸的交點；銳角三角函數的定義 【分析】 先求出 A、 B、 C 坐標，作 D，根據 即可計算 【解答】 解：令 y=0，則 2x+3=0，解得 x= 3 或 1，不妨設 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， y= 2x+3=（ x+1） 2+4， 頂點 C（ 1， 4）， 如圖所示，作 D 在 ， = =2， 故答案為 D 3 （ 2016四川攀枝花 ） 如圖，點 D（ 0， 3）， O（ 0， 0）， C（ 4， 0）在 ） A B C D 【考點】銳角三 角函數的定義 【分析】連接 得出 據點 D（ 0， 3）， C（ 4， 0），得 ， ，由勾股定理得出 ，再在直角三角形中得出利用三角函數求出 可 【解答】解： D（ 0， 3）， C（ 4， 0）， ， ， 0， =5， 連接 圖所示： = 故選： D 【點評】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數的定義；熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵 4.（ 2016黑龍江龍東 3 分 ） 如圖，在正方形 ， E、 F 分別為 中點，連接 于點 G，將 折，得到 長 長線于點 Q，下列結論正確的個數是（ ） F； ； S 四邊形 S A 4 B 3 C 2 D 1 【考點】 四邊形綜合題 【分析】 首先證明 利用角的關系 求得 0，即可得到 F； 折，得到 用角的關系求出 B，解出 據正弦的定義即可求解；根據 證 似，進一步得到相似比，再根據相似三角形的性質即可求解 【解答】 解： E， F 分別是正方形 中點， E， 在 ， ， S F，故 正確； 又 0， 0， 0， 正確； 根據題意得， C， 0 B， 令 PF=k（ k 0），則 k 在 ，設 QB=x， x k） 2+4 x= ， = ，故 正確； ： ， 面積： 面積 =1： 5， S 四邊形 S 錯誤 故選： B 5 （ 2016湖北荊州 3 分 ） 如圖，在 44 的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點， 頂點都在格點上，則圖中 余弦值是（ ） A 2 B C D 【分析 】 先根據勾股定理的逆定理判斷出 形狀，再由銳角三角函數的定義即可得出結論 【解答】 解： 由圖可知， 2+42=20， 2+22=5， 2+42=25， 直角三角形，且 0， = 故選 D 【點評】 本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵 6.（ 2016貴州安順 3 分） 如圖，在網格中，小正方形的邊長均為 1，點 A， B， C 都在格點上，則 正切值是（ ） A 2B C D 【分析】 根據勾股定理，可得 長，根據正切函數的定義，可得答案 【解答】 解：如圖： ， 由勾股定理，得 ， ， ， 直角三角形， B= = ， 故選： D 【點評】 本題考查了銳角三角函數的定義，先求出 長，再求正切函數 二、 填空題 1. （ 2016青海 西寧 2 分 ） O 的半徑為 1，弦 ，弦 ，則 數為 75或 15 【考點】 垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形 【分析】 連接 O 作 ， F，根據垂徑定理求出 ，根據解直角三角形的知識求出 后分兩種情況求出 可 【解答】 解：有兩種情況： 如圖 1 所示：連接 O 作 E， F， 0， 由垂徑定理得： E= ， F= ， = ， = ， 0， 5， 0+45=75； 如圖 2 所示： 連接 O 作 E， F， 0， 由垂徑定理得： E= ， F= ， = ， = ， 0， 5， 5 30=15； 故答案為： 75或 15 2.（ 2016福建龍巖 3 分）如圖，若點 ，則 1= 【考點】 銳角三角函數的定義；坐標與圖形性質 【分析】 根據勾股定理，可得 長，根據正弦是對邊比斜邊，可得答案 【解答】 解：如圖 ， ， 由勾股定理，得 =2 1= = ， 故答案為： 2.（ 2016廣西桂林 6 分）計算：（ 4） +| 5|+ 4 【考點】 零指數冪；特殊角的三 角函數值 【分析】 先去括號、計算絕對值、零指數冪、三角函數值，再計算乘法、減法即可 【解答】 解：原式 =4+5+1 41=6 三 解答題 1 （ 2 016四川南充 ） 計算：+（ +1） 0 | 2| 【分析】原式利用二次根式性質，零指數冪法則，特殊角的三角函數值，以及絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果 【解 答】解：原式 = 3 +1 +2 =3 【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵 2 （ 2016四川瀘州） 計算：（ 1） 0 s 0+（ 2） 2 【考點】 實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值 【分析】 直接利用特殊角的三角函數值以及結合零指數冪的性質以及二次根式的性質分別化簡進而求出答案 【解答】 解：（ 1） 0 s 0+（ 2） 2 =1 2 +4 =1 3+4 =2 3.（ 2016黑龍江龍東 6 分 ） 先化簡，再求值：（ 1+ ） ，其中 x=4 【考點】 分式的化簡求值；特殊角的三角函數值 【分析】 先算括號里面的，再算除法，求出 x 的值代入進行計算即可 【解答】 解：原式 = = ， 當 x=4 4 1=3 時 ，原式 = = 4.（ 2016湖北黃石 4 分 ） 計算：（ 1） 2016+2 | |+0 【分析】 根據實數的運算順序，首先計算乘方和乘法，然后從左向右依次計算，求出算式（1） 2016+2 | |+0的值是多少即可 【解答】 解：（ 1） 2016+2 | |+0 =1+2 +1 =1+ +1 =2 【點評】 （ 1）此題主要考查了實數的運算，要熟 練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用 （ 2）此題還考查了零指數冪的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確： （ a0）； 001 （ 3）此題還考查了特殊角的三角函數值，要牢記 30、 45、 60角的各種三角函數值 5.（ 2016湖北荊門 4 分 ） 計算： |1 |+3（ ） 0（ ） 1 【考點】 實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值 【分析】 首先去掉絕對值符號，計算乘方，代入特殊角的三角函數值，然后進行加減計算即可； 【解答】 解：原式 = 1+3 1（ 3） = 1+ +3=2； 6.（ 2016四川眉山 ） 計算： 【分析】 分別利用零指數冪的性質、特殊角的三角函數值和負整數指數冪的性質分別化簡求出答案 【解答】 解：原式 =1 3 +1 2 =1 +1 2 = 【點評】 此題主要考查了零指數冪的性質、特殊角的三角函數值和負整數指數冪的性質等知識，正確化簡各數是解題關鍵 7.（ 2016福建龍巖 6 分）計算： 【考點】 實數的運算； 零指數冪；特殊角的三角函數值 【分析】 原式利用二次根式性質，絕對值的代數意義，零指數冪法則，以及平方根定義計算即可得到結果 【解答】 解：原式 =2 +3 3+1=1 8.（ 2016廣西百色 6 分）計算： +2|3 |（ ） 0 【考點】 實數的運算；零指數冪；特 殊角的三角函數值 【分析】 本題涉及二次根式化簡、特殊角的三角函數值、絕對值、負整數指數冪 4 個考點在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果 【解答】 解： +2|3 |（ ） 0 =3+2 +3 1 =3+ +3 1 =5 9.（ 2 016貴州安順 8 分） 計算： 2 1+ （ 3） 0 【分析】 原式第一項利用特殊角的三角函數值計算，第二項利用負整數指數冪法則計算，第三項利用二次根式性質化簡 ，最后一項利用零指數冪法則計算即可得到結果 【解答】 解：原式 = +2 1 =1 【點評】 此題考查了實數的運算，熟