廣東省 2017 屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 導(dǎo) 數(shù) 及其應(yīng)用 一、選擇、填空題 1、（ 2016 年全國 I 卷） 函數(shù) y=2x2e|x|在 2,2的圖像大致為 （ A）（ B）（ C）（ D）2、（ 2016 年全國 ） 若直線y kx b是曲線是曲線 的切線，b 3、（ 2015 年全國 I 卷） 設(shè)函數(shù) ()( 2 1 )xe x a x a ,其中 a 1，若存在唯一的整數(shù) 得0() a 的取值范圍是（ ） 4、（廣州市 2016 屆高三二模） 曲線 2 3f x 在點 1, 1f 處的切線方程為 . 5、（ 汕頭 市 2016 屆高三二模） 已知 等 比數(shù)列 1a ， 2016 2a ， 函數(shù) ()y f x 的導(dǎo)函數(shù)為 / ()y f x ，且 1 2 2 0 1 6( ) ( ) ( ) ( )f x x x a x a x a ，那么 )0(/f 6、（深圳市 2016 屆高三二模） 設(shè)定義在 (0, ) 上的函數(shù) ()足 ( ) ( ) l nx f x f x x x ，11()f ，則 () ） A 有極大值，無極小值 B 有極小值，無極大值 C 既有極大值，又有極小值 D 既無極大值，也無極小值 7、（佛山市 2016 屆高三 教學(xué)質(zhì)量 檢測（一） 已知30 2s )( 一個極大值點，則 )(一個單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） A )32,6( B )65,3( C ),2( D ),32( 8、（廣州市 2016屆高三 1月模擬考試 ） 已知 y f x 為 0x f x f x ，則函數(shù) 1g x x f x 0x 的零點個數(shù)為 _ 9、（惠州市 2016 屆 高三第三次調(diào)研考試 ） 設(shè)點 P 在曲線 ，點 Q 在曲線 )2 上，則 |最小值為 10、（揭陽市 2016 屆高三上期末） 若函數(shù) 32( ) 2 1f x x a x 存在唯一的零點，則實數(shù) a 的取值范圍為 （ A） 0, ) （ B） 0,3 （ C） ( 3,0 （ D） ( 3, ) 二、解答題 1、（ 2016 年全國 I 卷） 已知函數(shù) 有兩個零點 . (I)求 a 的取值范圍； ( 的兩個零點， 學(xué)科 明： +x2 g ( n ) 5、（廣州市 2016 屆高三二模） 已知函數(shù) e x (x R) . ( ) 當(dāng) 1a 時， 求函數(shù) ( ) 若 0x 時 , l n 1 1f x x ,求實數(shù) a 的取值范 圍； （）求證： 2. 6、（茂名市 2016 屆高三二模） 已知函數(shù) , x 1 (I) 將 )(成分段函數(shù)的形式 （不用說明理由）， 并求 () （ 111 1 比較 )( )(大小。 7、（深圳市 2016 屆高三二模） 已知函數(shù) 2()e ， 直線 1為曲線 ()y f x 的切線 （ 1）求實數(shù) a 的值； （ 2）用 , 示 ,函數(shù) 1( ) m i n ( ) , ( 0 )g x f x x ，若函數(shù)2( ) ( )h x g x c x為增函數(shù)，求實數(shù) c 的取值范圍 8、（潮州市 2016 屆高三上期末） 已知函數(shù) ( ) x 。 （ I）若 ()x 1 處取得極值，求實數(shù) a 的值； （ ()5 3x 恒成立 ，求實數(shù) a 的 取值范圍 ； 9、（東莞市 2016 屆高三上期末） 已知函數(shù) 21( ) l n , ( )2f x x g x x k x 。 （ I）設(shè) 1 ( 0 )k m ，若函數(shù) ( ) ( ) ( )h x f x g x在區(qū)間（ 0,2）內(nèi)有且僅有一個極值點，求實數(shù) m 的取值范圍； （ 設(shè) ( ) ( ) ( )M x f x g x，若函數(shù) ()點1 2 2 1, ( )x x x x，且滿足0 1 22x x x，問：函數(shù) (), ( )x M y 1，若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由。 10、（佛山市 2016 屆高三 教學(xué)質(zhì)量 檢測（一） 設(shè)常數(shù) 0 ， 0a ， 2 （ 1）當(dāng) 43 )(最小值為 0 ，求 的值； （ 2）對于任意給定的正實數(shù) 、 a ，證明：存在實數(shù)0x，當(dāng)0， 0)( 11、（廣州市 2016 屆高三 1 月模擬考試 ） 已知函數(shù) e xf x a x（ e 為自然對數(shù)的底數(shù) ， a 為常數(shù)）在點 0,1 處的切線斜率為 1 . （ ）求 a 的值及函數(shù) 極值； （ ）證明：當(dāng) 0x 時， 2 ； （ 證明：對任意給定的正數(shù) c ，總存在0x，使得當(dāng) ，0有 2 . 12、（惠州市 2016 屆 高三第三次調(diào)研考試 ） 已知函數(shù) 2( ) l n 0 , 1xf x a x x a a a （ ） 求函數(shù) ()調(diào)區(qū)間； （ ） 若存在 12, 1,1，使得12( ) ( ) 1f x f x e （ e 是自然對數(shù)的底數(shù)）， 求實數(shù) a 的取值范圍 。 參考答案 一、選擇、填空題 1、 222 8 8 2 . 8 0 ， 排除 A 222 8 8 2 . 7 1 ， 排除 B 0x 時 ， 22 xf x x e 4 xf x x e ， 當(dāng) 10,4x 時 ， 01 404f x e 因此 0,4單調(diào)遞減 ， 排除 C 故選 D 2、 【解析】 1 的切線為：111 y x （設(shè)切點橫坐標(biāo)為1x） 的切線為： 22221 11xy x 122122111 1 解得1 12x2 12x 1 1 3、 【答案】 D 【解析】 試題分析：設(shè) () (2 1)， y ax a，由題知存在唯一的整數(shù)0x，使得0()y ax a的下方 . 因為 ( ) ( 2 1 )xg x e x ，所以當(dāng) 12x時， () 0，當(dāng) 12x時， () 0，所以當(dāng)12x 時， ( ) 12， 當(dāng) 0x 時， (0)g =(1) 3 0，直線 y ax a恒過（ 1,0）斜率且 a ，故 (0 ) 1 ，且 1( 1 ) 3g e a a ，解得 32ea 1，故選 D. 考點：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 4、 40 5、 6、 【答案】 D 【解析】 ()0, ) ， ( ) ( ) l nx f x f x x x ， 2( ) ( ) l nx f x f x ， ( ) f x ， 2( ) 1 ， 21( ) l x x x c x 21 1 1 1 1( ) l e e e e ， 12c 221 1 1( ) l n l n ( l n 1 ) 02 2 2f x x x x ， ()0, ) 上單調(diào)遞增， ()0, ) 上既無極大值也無極小值 7、 B 8、 0 9、 )2 【解析】函數(shù) 函數(shù) )2 互為反函數(shù)圖像關(guān)于 對稱 ， 則只有直線 直線 垂直時 |能取得最小值。設(shè) 1( , )2 xP x e，則點 P 到直線 的距離為 122，令 1 , ( 0 )2 xg x e x x ，則 112 xg x e， 令 1 1 02 xg x e 得 ；令 1 1 02 xg x e 得 0 x ， 則 0,單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增。 則 時 l n 2m i n1 l n 2 1 l n 2 02g x e ，所以m 2d 。 則m i ( 1 l n 2 )P Q d 。 （備注：也可以用平行于 的切線求最值 ） 10、 D 【解析】 函數(shù) 32( ) 2 1f x x a x 存在唯一的零點，即方程 322 1 0x a x 有唯一的實根 直線 與函數(shù) 3221() x 的圖象有唯一的交點，由 332 ( 1)( ) x ，可得 () ( , 1) 上單調(diào)遞增，在 ( 1,0) 上單調(diào)遞減，在 (0, ) 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) 1x 時， ()極小值，( ) ( 1 ) 3g x g 極 小 ，故當(dāng) 3a 時，直線 與函 數(shù) 3 221() x 的圖象有唯一的交點 . 或因 2( ) 6 2 ,f x x a x 由 ( ) 0 得 0x 或 3，若 0a 顯然 ()若0a ， () ,0) 和 ( , )3a 上單調(diào)遞減，在 (0, )3 (0) 1 0,f 故 ()若 0a ，要使 ()有 ( ) 0,3解得 3a ，綜上得 3a . 二、解答題 1、 由已知得： 1 2 1 1 2x x e a x x e a 若 0a ，那么 0 2 0 2xf x x e x ， x ，不合題意； 若 0a ，那么 20a e ， 所以當(dāng) 1x 時， 0， 當(dāng) 1x 時， 0， 即： x ,1 1 1, 0 極小值 故 1, 上至多一個零點 ，在 ,1 上至多一個零點 由于 20 ， 10 ，則 2 1 0， 根據(jù)零點存在性定理， 1,2 上有且僅有一個零點 而當(dāng) 1x 時， ， 2 1 0x ， 故 2 2 22 1 2 1 1 1xf x x e a x e x a x a x e x e 則 0的兩根 214 12e e a et a ， 224 12e e a et a ， 12， 因為 0a ，故當(dāng)12， 21 1 0a x e x e 因此，當(dāng) 1x 且1， 0 又 10 ，根據(jù)零點存在性定理， ,1 有且只有一個零點 此時， 上有且只有兩個零點，滿足題意 若 02e a ，則 ， 當(dāng) 時， 1 l n 2 1 0 ， l n 22 2 0a e a ， 即 1 2 0xf x x e a ， 當(dāng) 1 時， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 1 2 0xf x x e a ， 當(dāng) 1x 時， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 即： x , a a ,1a 1 1, 0 - 0 + 極大值 極小值 而極大值 22l n 2 2 l n 2 2 l n 2 1 l n 2 2 1 0f a a a a a a a 故當(dāng) 1x 時， 處取到最大值 ，那么 l n 2 0f x f a恒成立，即 0無解 而當(dāng) 1x 時， 多一個零點 此時 上至多一個零點，不合題意 若2，那么 1a 當(dāng) 1 時， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 當(dāng) 1 時， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 又 x 處有意義，故 上單調(diào)遞增，此時至多一個零點，不合題意 若2，則 1a 當(dāng) 1x 時， 10x ， l n 212 2 2 0a e a e a ，即 0， 當(dāng) 1 時， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 當(dāng) 時， 1 l n 2 1 0 ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 即： x ,1 1 1, a a ,a 0 - 0 + 極大值 極小值 故 當(dāng) 時， x 處取到最大值 1 ，那么 0f x e 恒成立，即 0無解 當(dāng) 時， 多一個零點 此時 上至多一個零點，不合題意 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng) 0a 時符合題意，即 a 的取值范圍為 0, 由已知得： 120f x f x，不難發(fā)現(xiàn)1 1x，2 1x ， 故可整理得： 1212222211e x 設(shè) 221，則 12g x g x那么 23211x ，當(dāng) 1x 時， 0， 1x 時， 0， 設(shè) 0m ，構(gòu)造代數(shù)式 ： 1 1 1 22 2 21 1 1 11 1 11m m m mm m m mg m g m e e e em m m m 設(shè) 21 11 m ， 0m 則 2 22201 m ，故 00h m h 因此，對于任意的 0m ， 11g m g m 由 12g x g x可知1x、2 妨設(shè)12則必有121令110 ，則有 1 1 1 1 21 1 1 1 2g x g x g x g x g x 而121x，2 1x ， 1, 上單調(diào)遞增，因此： 1 2 1 222g x g x x x 整理 得：122 2、 【答案】 （） 34a；（） 當(dāng) 34a或 54a時 ， () 34a或 54a時 ， () 5344a 時 ， () 解析： （）設(shè)曲線 ()y f x 與 x 軸相切于點0( ,0)x， 則0( ) 00( ) 0，即300201 0430x a ， 解得0 13,24. 因此，當(dāng) 34a時 ， x 軸是曲線 ()y f x 的切線 . 5 分 （）當(dāng) (1, )x 時 ， ( ) g x x ， 從而 ( ) m i n ( ) , ( ) ( ) 0h x f x g x g x ， () 1， +）無零點 . 當(dāng) x =1 時，若 54a， 則 5(1) 04 ， ( 1 ) m i n ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) 0h f g g ,故 x =1 是 () 若 54a， 則 5(1) 04 ， ( 1 ) m i n ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) 0h f g f ,故 x =1 不是 ()零點 . 當(dāng) (0,1)x 時 ， ( ) g x x ， 所以只需考慮 () 0,1）的零點個數(shù) . ( )若 3a 或 0a ， 則 2( ) 3f x x a 在 （ 0,1）無零點，故 () 0,1）單調(diào)，而 1(0)4f ，5(1) 4 ， 所以當(dāng) 3a 時 ， ()0， 1）有一個零點；當(dāng) a 0 時， ()0， 1）無零點 . ( )若 30a ，則 ()0，3a ） 單調(diào)遞減，在（3a ， 1）單調(diào)遞增，故當(dāng) x =3a時， ()小值為 ()3= 213 3 4. 若 ()3 0，即 34 a 0， ()0,1）無零點 . 若 ()3=0，即 34a， 則 ()0,1）有唯一零點； 若 ()3 0，即 334a ， 由于 1(0)4f ， 5(1)4， 所以當(dāng) 5344a 時 ，()0,1） 有兩個零點；當(dāng) 53 4a 時 ， ()0,1）有一個零點 . 10 分 綜上，當(dāng) 34a或 54a時 ， () 34a或 54a時 ， ()兩個零點；當(dāng)5344a 時 ， () 12 分 3、 【解析】 證明： 2 e2 x 2222 4 22 xx 當(dāng) x 2 2 , ，時， 02 , ， 和上單調(diào)遞增 0x時， 2 e 0 = 12 xx e 2 0 2 4e 2 x x ax x 4e 2e 2x ax 322 01a ，由 (1)知，當(dāng)0x時， 2 e2 x 的值域為 1 ，只有一解 使得2 e2 tt ， 02t ，當(dāng)(0, ) 0，()單調(diào)減；當(dāng)( , )時( ) 0，()單調(diào)增 222e 1 t t t 記 e 2t ，在 0, 2t時， 22t t ， 21a k t ， 4、 5、 ( )解 :當(dāng) 1a 時， e x x ,則 1 1e . 1 分 令 0 ，得 0x . 當(dāng) 0x 時 , 0 ; 當(dāng) 0x 時 , 0 . 2 分 函數(shù) ,0 上單調(diào)遞減 ,在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增 . 當(dāng) 0x 時 ,函數(shù) 其值為 01f . 3 分 ( )解 :若 0x 時 , l n 1 1f x x ,即 l n 1 1 0xe a x x .(*) 令 l n 1 1xe a x x , 則 11xg x e . 若 2a ,由 ( )知 1,即 1 ,故 1 . 1 1 11 2 1 2 01 1 1xg x e a x a x a ax x x . 4 分 函數(shù) 0, 上單調(diào)遞增 . 00g x g. (*)式成立 . 5 分 若 2a ,令 11xx e , 則 222111 011xx . 函數(shù) x 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增 . 由于 0 2 0a , 1 1 11 1 01 1 1aa e a a aa a a . 6 分 故 0 0, ,使得 0 0x . 7 分 則當(dāng)00 時 , 0 0,即 0 . 函數(shù) 00, 0 00g x g,即 (*)式不恒成立 . 8 分 綜上所述 ,實數(shù) a 的取值范圍是 2, . 9 分 ( )證明 :由 ( )知 ,當(dāng) 2a 時 , 2 l n 1 1xe x x 在 0, 上單調(diào)遞增 . 則 1 02,即 12 11 l n 1 1 02e . 10 分 32 e. 11 分 232 ,即 2 32 . 12 分 6、 解：（ 1） 1 分 0,1)(22 2 分 當(dāng) 0 時 0)( )(調(diào)遞減， 當(dāng) 時 0)( )(調(diào)遞增 3 分 所以 )(單調(diào)增區(qū)間為 ,e ,單調(diào)減區(qū)間為 e,0 4 分 （ 2）令 ,1,x 11111 1 1 x e x x e x e , 記 1() xx e x ， 則 1x 時 /1( ) 1 0 ， ()x 在 (1, ) 是增函數(shù)， ( ) (1) 0x 所以在 (1, ) 上， 0， ,1 內(nèi)單調(diào)遞增。 而 11 , 5 分 111 , 1 1 0 , 且 011 e . 又因為 e,1 上是增函數(shù)且連續(xù)不間斷 ,所以 e,1 內(nèi)有唯一的零點 , 不妨設(shè)為 1c ,即 01 1 c ,其中 11 . 6 分 又由于 ,1 內(nèi)單調(diào)遞增 ,則當(dāng) 1,1 時 , 01 當(dāng) ,1 , 01 那么 , 再令 ,1, 則有 ,11111 7 分 1) 當(dāng) 11,， 1 ,x ep x e 021 x , 1,1c 上遞增 . 又 11 1e c 所以1， 0 c. 故當(dāng) 11,時， 0, 8 分 2) 當(dāng) 1,x c e時， 11( ) ( 1 ) 0 , 0 ,e x e x 1 212 1 10x x e x x x e ， 上單調(diào)遞增 . 0 c, 0112 11 上單調(diào)遞增且連續(xù)不間斷，知 有唯一個零點 ,不妨設(shè)為 2c ,則 0 c,其中 12 . 故當(dāng) 21, 時 , 02 g x f x ; 9 分 當(dāng) 2 時 , 2 0p x p c ， g x f x 10 分 3) 當(dāng) , 時， 1 ,x ep x e 易知 ,e 上單調(diào)遞減。 又 011 e , 01211221212 221 上單調(diào)遞減且連續(xù)不間斷 , 有唯一的零點 ,不妨設(shè)為 3c , 即 031 3 c,其中 ,3 ,e 上單調(diào)遞減 , 有當(dāng) 3, , 03 g x f x 11 分 當(dāng) ,3 3 0p x p c. g x f x 12 分 7、 【解析】（ 1）對 ()22 ( 2 )()()e x e x xf x a ， 設(shè)直線 1曲線 ()y f x 切于點00( , )P x y， 則 00200001( 2 x )1 ， 解得0 1 所以 a 的 值為 1 （ 2）記函數(shù) 211( ) ( ) ( ) , 0x f x x x xx e x ， 下面考察函數(shù) ()y F x 的符號 對函數(shù) ()y F x 求導(dǎo)得2( 2 ) 1( ) 1 , 0x 當(dāng) 2x 時 ( ) 0 恒成立 當(dāng) 02x時， 2( 2 )( 2 ) 12 ， 從而2 2 2 2( 2 x ) 1 1 1 1 1( x ) 1 1 1 1 0e x e x x x ( ) 0 在 (0, ) 上恒成立，故 ()y F x 在 (0, ) 上單調(diào)遞減 21 4 3( 1 ) 0 , ( 2 ) 02 ， (1) (2 ) 0 又曲線 ()y F x 在 1,2 上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知 惟一的 0 (1,2)x ， 使 0( ) 0 00( 0 , ) , ( ) 0 ; ( , ) , ( ) 0x x F x x x F x 0201 01( ) m i n ( ) , ,xx x x f x xx x ， 從而2022201 ) ( ),xx c x x x g x c xx c x x ， 02011 2 0()( 2 ) 2,xc x x c x x ，由函數(shù) 2( ) ( )h x g x c x為增函數(shù)，且曲線 ()y h x 在 (0, ) 上連續(xù)不斷知 ( ) 0 在0(0, )x，0( , )x 上恒成立 當(dāng)0， ( 2 ) 20在 0( , )x 上恒成立，即 22e 在 0( , )x 上恒成立 記02( ) ,x xu x x ， 則03( ) ,x x ， 當(dāng) x 變化時， ()， () x 0( ,3)x 3 (3, ) () 0 ()極小值 m i n 31( ) ( ) ( 3 )u x u x u e 極 小 故“ 22e 在 0( , )x 上恒成立”只需 m i )c u x e ， 即312c e 當(dāng)00 時，21( ) 1 2h x c ， 當(dāng) 0c 時， ( ) 0 在 0(0, )x 上恒成立 綜合（ 1）（ 2）知，當(dāng)312c e 時，函數(shù) 2( ) ( )h x g x c x為增函數(shù) 故實數(shù) c 的取值范圍是31( , 2e ） ( ) x ， 221( ) a x x x x . 1 分 由題意得(1) 0f ，即 1 01a，解得 1a . 2 分 經(jīng)檢驗，當(dāng)1數(shù)()x 取得極大值 . 3 分 1a . （ ）設(shè)( ) ( ) 3 5 l n 3 5ag x f x x x ，則函數(shù) ()定義域為 (0, ) 當(dāng)0x時，( 0成立 于是(1) 2 0 ，故2a .5 分 213( ) 3a x x ax x x 方程( ) 0有一負(fù)根12其中1 當(dāng)2( 0 , )， ( ) 0，函數(shù) ()調(diào)遞減 當(dāng)2( , ) 時， ( ) 0，函數(shù) ()調(diào)遞增 ()在定義域上的最小值為2 .7 分 依題意2( ) 0即2 2 22( ) l n 3 5 0ag x x 又22230x x a ， 于是22 31又0x， 所以312 2 2 2 2( ) 3 1 l n 3 5 0g x x x x ，即6 6 ， .9 分 令 ( ) 6 6 x x x ，則1 6 1( ) 6 當(dāng)1( , )3 時，( ) 0所以) 又 (1 ) 6 6 l n 1 0h ，所以226 6 的解集為1, ) . 11 分 又函數(shù) 23y x x在 1( , )6 上單調(diào)遞增， 223 3 1 1 2a x x 故, ) .12 分 解法二：由于 ( ) x 的定義域為(0, )， 于是( ) 5 3f x x可化為3 .5 分 設(shè)3 2 則( ) 6g x x x 設(shè)( ) ( )h x g x，則1 1 6( ) 6 當(dāng)(1,x 時，( ) 0所以()在1, )減函數(shù) 又( (1) 0， 當(dāng)( , )時， ( ) (1) 0h x h，即 當(dāng)(1, )x 時， ( ) 0， , )上是減函數(shù) 當(dāng)1, )x 時，( ) (1 ) 1 l n 1 3 5 2g x g .8 分 當(dāng)(0,1)時，先證1 設(shè))1( ( ) 0x， )( ，0)( F，即1 當(dāng)0,1)x時， 22)1(253)1(53 222 綜上所述 ()最大值為 2 , ) .12 分 9、 10、 【 解析 】 222 x x x 222x x 1 分 2222x x a 3 2 2222x a x a x 將 34a 代入得 233 2 2 322 4 9 34 5 6 344 x x xx x x x x x , 3 分 由 0 ,得 x ,且當(dāng) 0,x 時 , 0 , 4 分 ,x 時 , 0 , 當(dāng) x 時 , 13 , 因此 13 ,令 0f ,解得 23e . 6 分 ( )因為 22l n l n l x a x x a x x a , 7 分 記 x x a x ,故只需證明 :存在實數(shù)0x,當(dāng)0 , 0, 方法 1 l n l nh x x a x x a x a x x , 8 分 設(shè) x x, 0x ,則 1 1 222 易知當(dāng) 4x 時 ,m i n 2 2 l n 2 0y ,故 y x x 10 分 又由 0x a x 解得 : 2 42 ,即 22 42 取 22042 ,則當(dāng)0 , 恒有 0. 即當(dāng)0 , 恒有 0成立 . 12 分 方法 2 由 x x a x ,得 : 1 a x ,