弧長與扇形面積 一 1 （ 2016山東省東營市 3 分 ） 如圖，已知一塊圓心角為 270的扇形鐵皮，用它做一個(gè)圓錐形的煙囪帽（接縫忽略不計(jì)），圓錐底面圓的直徑是 60這塊扇形鐵皮的半徑是( ) 知識(shí)點(diǎn)】 圓中的計(jì)算問題 弧長、圓錐的側(cè)面積 【答案】 A. 【解析】 設(shè) 這塊扇形鐵皮的半徑為 圓錐的底面周長等于它的側(cè)面展開圖的弧長， 2703602R 2602 40. 故選擇 A. 【點(diǎn)撥】 本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半 徑等于圓錐的母線長 2. （ 2016重慶市 4分 ） 如圖，以 ，若 C= ，則圖中陰影部分的面積是（ ） A B C D + 【分析】先利用圓周角定理得到 0，則可判斷 著判斷 是等腰直角三角形，于是得到 S 后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算圖中陰影部分的面積 【解答】解： 直徑， 0， C= ， 是等腰直角三角形， S ， S 陰影部分 =S 扇形 = 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算：圓面積公式： S= 2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形求陰影面積常用的方法： 直接 用公式法； 和差法； 割補(bǔ)法求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積3. （ 2016重慶市 4 分 ） 如圖，在邊長為 6 的菱形 ， 0，以點(diǎn) D 為圓心，菱形的高 半徑畫弧，交 點(diǎn) E，交 點(diǎn) G，則圖中陰影部分的面積是（ ） A 18 9 B 18 3 C 9 D 18 3 【考點(diǎn)】 菱形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算 【分析】 由菱形的性質(zhì)得出 B=6， 20，由三角函數(shù)求出菱形的高 中陰影部分的面積 =菱形 面積扇形 面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可 【解答】 解： 四邊形 菱形， 0， ， 80 60=120， 菱形的高， D6 =3 ， 圖中陰影部分的面積 =菱形 面積扇形 面積 =63 =18 9 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形和扇形面積的計(jì)算；由三角函數(shù)求出菱形的高是解決問題的關(guān)鍵 4.（ 2016廣西 桂林 3 分） 如圖，在 0， ， ，將 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90后得 線段 點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90后得線段 別以 O， E 為圓心， 為半徑畫弧 弧 接 圖中 陰影部分面積是（ ） A B C 3+ D 8 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 【分析】 作 ，根據(jù)勾股定理求出 據(jù)陰影部分面積 = 扇形 面積扇形 面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可 【解答】 解：作 H， 0， ， ， = ， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知， B=2， F=， B=2， 陰影部分面積 = 面積 + 面積 +扇 形 面積扇形 面積 = 52+ 23+ =8 ， 故選： D 5.（ 2016內(nèi)蒙古包頭 3 分 ） 120的圓心角對(duì)的弧長是 6，則此弧所在圓的半徑是（ ） A 3 B 4 C 9 D 18 【考點(diǎn)】 弧長 的計(jì)算 【分析】 根據(jù)弧長的計(jì)算公式 l= ，將 n 及 l 的值代入即可得出半徑 【解答】 解：根據(jù)弧長的公式 l= ， 得到： 6= ， 解得 r=9 故選 C 6. （ 2016山東濰坊 3 分 ） 如圖，在 ， A=30， ，以直角邊 直徑作 O 交 點(diǎn) D，則圖中陰影部 分的面積是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算；含 30 度角的直角三角形 【分析】 連接連接 據(jù) S 陰 =S S S 扇形 S 算即可解決問題 【解答】 解：如圖連接 直徑， 0， A=30， 0 A=60， D， 等邊三角形， 切線 0， ， ， ， S 陰 =S S S 扇形 S = 62 3 （ 3 2） = 故選 A 7. （ 2016吉林 2 分 ） 如圖，陰影部分是兩個(gè)半徑為 1 的扇形，若 =120， =60，則大扇形與小扇形的面積之差為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算 【分析】 利用扇形的面積公式分別求出兩個(gè)扇形的面積，再用較大面積減去較小的面積即可 【解答】 解： = ， 故選 B 8. （ 2016四川宜賓） 半徑為 6，圓心角為 120的扇形的面積是（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 【考點(diǎn) 】 扇形面積的計(jì)算 【分析】 根據(jù)扇形的面積公式 S= 計(jì)算即可 【解答】 解： S= =12， 故選： D 9 （ 2016四川內(nèi)江 ） 如圖 2，點(diǎn) A， B， C 在 O 上，若 45， 2，則圖中陰影部分的面積為 ( ) A 4 B 23 1 C 2 D 23 2 答案 C 考點(diǎn) 同弧所對(duì)圓心與圓周角的關(guān)系，扇形面積公式、三角形面積公式。 解析 O 2 A 245 90 S 陰影 S 扇形 S 290 2360 1222 2 故選 C 10. （ 2016湖北荊門 3 分 ） 如圖，從一塊直徑為 24圓形紙片上剪出一個(gè)圓心角為 90的扇形 點(diǎn) A， B， C 在圓周上，將剪下的扇形作 為一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是（ ） A 12 6 3 2 考點(diǎn)】 圓錐的計(jì)算 【分析】 圓的半徑為 2，那么過圓心向 垂線，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得 一半的長度，進(jìn)而求得 長度，利用弧長公式可求得弧 長度，圓錐的底面圓的半徑 =圓錐的弧長 2 【解答】 解：作 點(diǎn) D，連接 5， （ OA =12 =6 圓錐的底面圓的半徑 =6 （ 2） =3 O A C B 圖 2 故選 C 11.（ 2016山東省東營市 3 分 ） 如圖，已知一塊圓心角為 270的扇形鐵皮，用它做一個(gè)圓錐形的煙囪帽（接縫忽略不計(jì)），圓錐底面圓的直徑是 60這塊扇形鐵皮的半徑是 ( ) 知識(shí)點(diǎn)】 圓中的計(jì)算問題 弧長、圓錐的側(cè)面積 【答案】 A. 【解析】 設(shè) 這塊扇形鐵皮的半徑為 圓錐的底面周長等于它的側(cè)面展開圖的弧長， 2703602R 2602 40. 故選擇 A. 【點(diǎn)撥】 本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長 12. （ 2016重 慶市 4 分 ） 如圖，以 直徑，點(diǎn) O 為圓心的半圓經(jīng)過點(diǎn) C，若C= ，則圖中陰影部分的面積是（ ） A B C D + 【分析】先利用圓周角定理得到 0，則可判斷 著判斷 是等腰直角三角形，于是得到 S 后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算圖中陰影部分的面積 【解答】解： 直徑， 0， C= ， 是等腰直角三角形， S ， S 陰影部分 =S 扇形 = 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算：圓面積公式： S= 2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形求陰影面積常用的方法： 直接用公式法； 和差法； 割補(bǔ)法求陰影面積的主 要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積13. （ 2016重慶市 4 分 ） 如圖，在邊長為 6 的菱形 ， 0，以點(diǎn) D 為圓心，菱形的高 半徑畫弧，交 點(diǎn) E，交 點(diǎn) G，則圖中陰影部分的面積是（ ） A 18 9 B 18 3 C 9 D 18 3 【考點(diǎn)】 菱形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算 【分析】 由菱形的性質(zhì)得出 B=6， 20，由三角函 數(shù)求出菱形的高 中陰影部分的面積 =菱形 面積扇形 面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可 【解答】 解： 四邊形 菱形， 0， B=6， 80 60=120， 菱形的高， D6 =3 ， 圖中陰影部分的面積 =菱形 面積扇形 面積 =63 =18 9 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形和扇形面積的計(jì)算；由三角函數(shù)求出菱形的高是解決問題的關(guān)鍵 14.（ 2016廣西桂林 3 分） 如圖，在 0， ， ，將 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90后得 線段 點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90后得線段 別以 O， E 為圓心， 為半徑畫弧 弧 接 圖中 陰影部分面積是（ ） A B C 3+ D 8 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 【分析】 作 ，根據(jù)勾股定理求出 據(jù)陰影部分面積 = 扇形 面積扇形 面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可 【解答】 解：作 H， 0， ， ， = ， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知， B=2， F=， B=2， 陰影部分面積 = 面積 + 面積 +扇形 面積扇形 面積 = 52+ 23+ =8 ， 故選： D 填空題 1. （ 2016四川眉山 3 分 ） 一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為 8心角為 120的扇形，則此圓錐底面圓的半徑為 【分析】 把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解 【解答】 解：設(shè)此圓錐的底面半徑為 r， 根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得， 2r= ， r= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 主要考查了圓錐側(cè)面展開 扇形與底面圓之間的關(guān)系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長 2 （ 2016黑龍江龍東 3 分 ） 小麗在手工制作課上，想用扇形卡紙制作一個(gè)圣誕帽，卡紙的半徑為 30積為 300這個(gè)圣誕帽的底面半徑為 10 【 考點(diǎn)】 圓錐的計(jì)算 【分析】 由圓錐的幾何特征，我們可得用半徑為 30積為 300圓錐的底面周長等于扇形的弧長，據(jù)此求得圓錐的底面圓的半徑 【解答】 解：設(shè)卡紙扇形的半徑和弧長分別為 R、 l，圣誕帽底面半徑為 r， 則由題意得 R=30，由 00得 l=20； 由 2r=l得 r=10 故答案是： 10 3 （ 2016黑龍江齊齊哈爾 3 分 ） 一個(gè)側(cè)面積為 16 主視圖為等腰直角三角形，則這個(gè)圓錐的高為 4 【考點(diǎn)】 圓錐的計(jì)算；等腰直角三角形；由三視圖判斷幾何體 【分析】 設(shè)底面半徑為 r，母線為 l，由軸截面是等腰直角三角形，得出 2r= l，代入 S 側(cè) =出 r， l，從而求得圓錐的高 【解答】 解：設(shè)底面半徑為 r，母線為 l， 主視圖為等腰直角三角形， 2r= l， 側(cè)面積 S 側(cè) =6 解得 r=4， l=4 ， 圓錐的高 h=4 故答案為： 4 4 （ 2016湖北黃石 3 分 ） 如圖所示，正方形 角 線 在直線上有一點(diǎn) O，C=2，將正方形繞 O 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是 2+2 【分析】 如圖，用大扇形的面積減去小扇形的面積再加上正方形 面積 【解答】 解： C=2， C=D= ， ， S 陰影 = + =2+2， 故答案為： 2+2 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了扇形的面積公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形的面積是解答此題的關(guān)鍵 5 （ 2016湖北荊州 3 分 ） 如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位： 根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積為 4 【分析】 由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀，確定圓錐的母線長和底面半徑，從而確定其表面積 【解答】 解：由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，由俯視圖是圓形可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該 是圓錐； 根據(jù)三視圖知：該圓錐的母線長為 3面半徑為 1 故表面積 =13+12=4 故答案為： 4 【點(diǎn)評(píng)】 考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查 6.（ 2016貴州安順 4 分）如圖，在邊長為 4 的正方形 ，先以點(diǎn) 長為半徑畫弧，再以 陰影部分面積是 2 （結(jié)果保留 ） 【分析】 根據(jù)題意有 S 陰影 部分 =S 扇形 S 半圓 后根據(jù)扇形的面積公式： S= 和圓的面積公式分別計(jì)算扇形和半圓的面積即可 【解答】 解：根據(jù)題意 得， S 陰影部分 =S 扇形 S 半圓 S 扇形 =4， S 半圓 22=2， S 陰影部分 =4 2=2 故答案為 2 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了扇形的面積公式： S= ，其中 n 為扇形的圓心角的度數(shù)， R 為圓的半徑），或 S= l 為扇形的弧長， R 為半徑 7（ 2016山東 省濱州市 4 分 ）如圖， 等邊三角形， ，分別以 A， B， C 為圓心，以 2 為半徑作弧，則圖中陰影部分的面積是 2 3 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；等邊三角形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)等邊三角形的面積 公式求出正 面積，根據(jù)扇形的面積公式 S=求出扇形的面積，求差得到答案 【解答】解： 正 邊長為 2， 面積為 2 = ， 扇形 面積為 = ， 則 圖中陰影部分的面積 =3（ ） =2 3 ， 故答案為： 2 3 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算，掌握扇形的面積公式 S=是解題的關(guān)鍵 8（ 2016山東省德州市 4 分 ）如圖，半徑為 1 的半圓形紙片，按如圖方 式折疊，使對(duì)折后半圓弧的中點(diǎn) M 與圓心 O 重合，則圖中陰影部分的面積是 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；翻折變換（折疊問題） 【分析】連接 點(diǎn) C，連接 據(jù)題意 C= ，繼而求出 0、 ，然后根據(jù) S 弓形 扇形 S S 陰影 =S 半圓 2S 弓形 【解答】解：如圖，連接 點(diǎn) C，連接 由題意知， C= ， 在 ， ， ， = ， = 0， 2， 20， 則 S 弓形 扇形 S = ， S 陰影 =S 半圓 2S 弓形 12 2（ ） = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、三角函數(shù)值的運(yùn)用、扇形的面積公式的運(yùn)用、三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵 9 （ 2016山東省東營市 4 分 ） 如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長為 5 的正方形鐵絲框 為圓心， 半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細(xì)），則所得的扇形 面積為_. 【知識(shí)點(diǎn)】 圓中的計(jì)算問題 扇形的計(jì)算 . 【答案】 25. 【解析】 扇形 弧長 于正方形兩邊長的和 10，扇形 半徑為正 方形的邊長 5， S 扇形 2105 25. 【點(diǎn)撥】 本題考查扇形面積的計(jì)算：若已知扇形的弧長 l、半徑 r，則扇形的面積 12已知扇形的圓心角的度數(shù) n、半徑 r，則扇形的面積 10.（ 2016黑龍江哈爾濱 3 分）一個(gè)扇形的圓心角為 120 ，面積為 12此扇形的半徑為 6 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算 【分析】 根據(jù)扇形的面積公式 S= 即可求 得半徑 【解答】 解：設(shè)該扇形的半徑為 R，則 =12， 解得 R=6 即該扇形的半徑為 6 故答案是： 6 1（ 2016 貴州畢節(jié) 5 分）如圖，分別以邊長等于 1的正方形的四邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為 1 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算 【分析】 如圖，作輔助線；首先求出半圓 O 的面積，其次求出 面積；觀察圖形可以發(fā)現(xiàn) ：陰影部分的面積 =4（ S 半圓 O S 求出值，即可解決問題 【解答】 解：如圖，連接 則 S 半圓 O= = ， S P= 1 = ， 由題意得：圖 中陰影部分的面積 =4（ S 半圓 O S =4（ ） = 1， 故答案為： 1 11 （ 2016 河南） 如圖，在扇形 0，以點(diǎn) 點(diǎn) C，若 ，則陰影部分的面積為 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算 【分析】連接 據(jù)題意得到 等邊三角形， 0，分別求出扇形 面積、扇形 面積，計(jì)算即可 【解答】解：連接 由題意得， C=， 等邊三角形， 0， 扇形 = ， 面積為： 2 = ， 扇形 面積為： = ， 則陰影部分的面積為： + = ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算，掌握等邊三角形的性質(zhì)、扇形的面積公式 S=是解題的關(guān)鍵 三、解答題 1. （ 2016浙江省湖州市） 如圖，已知四邊形 接于圓 O，連結(jié) 05， 5 （ 1）求證： D； （ 2）若圓 O 的半徑為 3，求 的長 【考點(diǎn)】 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弧長的計(jì)算 【分析 】 （ 1）直接利用圓周角定理得出 利用 出答案； （ 2）首先求出 的度數(shù)，再利用弧長公式直接求出答案 【解答】 （ 1）證明： 四邊形 接于圓 O， 80， 05， 80 105=75， 5， 5， D； （ 2）解： 5， 0， 由圓周角定理，得， 的度數(shù)為： 60， 故 = = =， 答： 的長為 2. （ 2016四川攀枝花 ） 如圖，在