第 1頁（共 18頁） 2015年河南省洛陽市高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（ A 卷） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知集合 A=x|y = ，集合 B= x|y= ，則 AB=（ ） A（ ， 1） B（ 1， 1 C 1， 2） D（ 2， +） 2復數(shù) 在復平面 內(nèi)對應的點落在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列敘述正確的個數(shù)是（ ） 若 a b，則 若命題 p 為真命題題，命題 q 為假命題，則 p q 為假命題； 若命題 p： ， x 0，則 p： xR， x +1 0 A 0 B 1 C 2 D 3 4對兩個變量 y 和 x 進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（ （ ，（ 則下列說法中不正確的是（ ） A 由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程 = x+ 必過樣本中心（ ， ） B殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 C用相關(guān)指數(shù) 刻畫回歸效果， 小，說明模型的擬合效果越好 D兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 5已知雙 曲線 （ a 0）的離心率為 ，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y=2x 6已知數(shù)列 等差數(shù)列， ，公差 d0， 等比數(shù)列，則值為（ ） A 4029 B 4031 C 4033 D 4035 7計算： （ ） d x=（ ） A 2 B C D 2 8設 f（ x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且 f（ x）滿足 “當 f（ k） 立時，總可推出 f（ k+ 1） （ k+1） 2”成立 ”那么，下列命題總成立的是（ ） A若 f（ 2） 4 成立，則當 k1 時，均有 f（ k） 立 B若 f（ 4） 16 成立，則當 k4 時，均有 f（ k） 立 C若 f（ 6） 36 成立，則當 k7 時，均有 f（ k） 立 第 2頁（共 18頁） D若 f（ 7） =50 成立，則當 k7 時，均有 f（ k） 立 9長方體 1 A B= ， 1， E 為 中點，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A B C D 10已知函數(shù) f（ x） =關(guān)于 x 的方程 f（ x） +a =0 有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， ） （ 0， ） B（ ， 0） （ ， +） C（ ，） D（ ， ） （ ， +） 11定義點 P 到圖形 C 上每一個點的距離的最小值為點 P 到圖形 C 的距離，那么平面內(nèi)到定圓 C 的距離與到定點 A（ A 在圓 C 內(nèi)且不與圓心 C 重合）的距離相等的點的軌跡是（ ） A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線的一支 12定義在 R 上的函數(shù) f（ x）， f（ x）是其導數(shù)，且滿足 f（ x） +f（ x） 2，1） =2e+4，則不等式 x） 4 +2 中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ） A（ 1， +） B（ ， 0） （ 1， +） C（ ， 0） （ 0， +） D（， 1） 二、填空題：本題共 4 個小題，每小題 5 分，共 20 分 13已知隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 14若實數(shù) x， y 滿足條件 ，則 z=4 x 3y 的最大值是 15（ ） （ 2x ） 5 的展開式中各項系數(shù)的和為 2，則該展開式中常數(shù)項為 （用數(shù)字作答） 16已知 為等差數(shù)列，它們的前 n 項和分別為 對任意 nN*有 = ，則使 為整數(shù)的正整數(shù) n 的集合為 第 3頁（共 18頁） 三、解答題：本大題共 6 個小題，共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17在 ， a、 b、 c 分別是角 A、 B、 C 的對邊，且 ， （ 1）求角 B 的大??； （ 2）若 ，求 面積 18設數(shù)列 前 n 項和為 23n，（ nN*） （ 1）證明數(shù)列 為等比數(shù)列 （ 2）求 前 n 項和 19某中學校本課程開設了 A， B， C， D 共 4 門選修課，每個學生必須且只能選修 1 門選修課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙 3 名學生 （ 1）求這 3 名學生選修課所有選法的總數(shù)； （ 2）求恰有 2 門選修課沒有被這 3 名學生選擇的概率； （ 3）求 A 選修課被這 3 名學生選擇的人數(shù) 的分布列及數(shù)學期望 20在如圖的多面體中， 平面 A C=2， 3， A E= ， G 是 中點 （ ） 求證： 平面 D （ ） 求證： （ ） 求二面角 C E 的余弦值 21已知點 F（ 0， 1），直線 l： y= 1， P 為平面上的動點，過點 P 作直線 足為 Q，且 （ 1）求動點 P 的軌跡 C 的方程； （ 2）已知圓 M 過定點 D（ 0， 2），圓心 M 在軌跡 C 上運動，且圓 M 與 x 軸交于 A、 B 兩點，設 | D A| = | D B|= 的最大值 22已知函數(shù) f（ x） = a（ 1 ） （ 1）若 a=1，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 f（ x） 0，對任意的 x1 均成立，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 3）求證：（ ） 1008 e 第 4頁（共 18頁） 2015年河南省洛陽市高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（ A 卷） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題 共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知集合 A=x|y = ，集合 B= x|y= ，則 AB=（ ） A（ ， 1） B（ 1， 1 C 1， 2） D（ 2， +） 【考點】 交集及其運算 【分析】 求出 A 中 x 的范圍確定出 A，求出 B 中 x 的范圍確定出 B，找出兩集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y= 得到 0，即（ x+1）（ x 2） 0， 解得： 1 x 2，即 A=（ 1， 2）， 由 B 中 y= ，得到 1 x0，即 x1， B=（ ， 1， 則 AB=（ 1， 1， 故選： B 2復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的點落在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的 代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求得復數(shù)的坐標得答案 【解答】 解： = ， 復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（ ），落在第二象限 故選： B 3下列敘述正確的個數(shù)是（ ） 若 a b，則 若命題 p 為真命題題，命題 q 為假命題，則 p q 為假命題； 若命題 p： ， x 0，則 p： xR， x +1 0 A 0 B 1 C 2 D 3 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 根據(jù)不等式的關(guān)系進行判斷， 根據(jù)復合命題真假關(guān)系進行判斷， 第 5頁（共 18頁） 根據(jù)含有量詞的命題的否定進行判斷 【解答】 解： 若 a b，當 c =0 時， 則 成立，故 錯誤， 若命題 p 為真命題，命題 q 為假命題，則 p q 為真命題；故 錯誤 若命題 p： ， x 0，則 p： xR， x+1 0故 正確， 故選： B 4對兩個變量 y 和 x 進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（ （ ，（ 則下列說法中不正確的是（ ） A由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程 = x+ 必過樣本中心（ ， ） B殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 C用相關(guān)指數(shù) 刻畫回歸效果， 小，說明模型的擬合效果越好 D兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于 1 【考點】 線性回歸方程 【分析】 對四個選項分別進行判斷，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程 = x+ 必過樣本中心（ ， ），正確； 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確 用相關(guān)指數(shù) 刻畫回歸效果， 大，說明模型的擬合效果越好，不正確， 線性相關(guān)系數(shù) |r|越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，故正確 故選： C 5已知雙曲線 （ a 0）的離心率為 ，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y=2x 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)雙曲線的離心率求出 a 的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程進行求解即可 【解答】 解： 雙曲線 （ a 0）的離心率 ， e= = ，即 c 2=3 即 1+ ， 即 a= ， 第 6頁（共 18頁） 則雙曲線的漸近線方程為 y= x= = x， 故選： C 6已知數(shù)列 等差數(shù)列， ，公差 d0， 等比數(shù)列，則值為（ ） A 4029 B 4031 C 4033 D 4035 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 由已知結(jié)合 等比數(shù)列求得公差，再代入等差數(shù)列的通項公式得答案 【解答】 解：在等差數(shù)列 ，由 等比數(shù)列得，（ 1+d） 2=1（ 1+4d），解得 d=2（ d0）， +20142=4029 故選： A 7計算： （ ） d x=（ ） A 2 B C D 2 【考點】 定積分 【分析】 根據(jù)定積分的運算性質(zhì)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的定積分為 0，偶函數(shù)等于單側(cè)定積分的 2 倍，只需求 值即可 【解答】 解： （ ） 2 2= ， 故答案選： C 8設 f（ x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且 f（ x）滿足 “當 f（ k） 立時，總可推出 f（ k+ 1） （ k+1） 2”成立 ”那么，下列命題總成立的是（ ） A若 f（ 2） 4 成立，則當 k1 時，均有 f（ k） 立 B若 f（ 4） 16 成立，則當 k4 時，均有 f（ k） 立 C若 f（ 6） 36 成立，則當 k7 時，均有 f（ k） 立 D若 f（ 7） =50 成立，則當 k7 時，均有 f（ k） 立 【考點】 四種命題間的逆否關(guān)系 【分析】 由題意對于定義域內(nèi)任意的 k，若 f（ k） 立，則 f（ k+1） （ k+ 1）2 成立的含義是對前一個數(shù)成立，則能推出后一個數(shù)成立， 結(jié)合逆否命題的真假性相同，對選項中的命題分析、判斷即可 【解答】 解：對于 A，當 k= 1 時，不一定有 f（ k） 立； A 命題錯誤； 對于 B，只能得出：對于任意的 k4，均有 f（ k） 立， 不能得出：任意的 k3，均有 f（ k） 立； B 命題錯誤； 第 7頁（共 18頁） 對于 C，根據(jù)逆否命題的真假性相同，由 f（ 6） 36 成立，能推出當 k6 時，均有 f（ k） 立； C 命題錯誤； 對于 D，根據(jù)逆否命題的真假性相同，由 f（ 7） =5 0 49，能得出對于任意的k7，均有 f（ k） 立； D 命題正確 故選： D 9長方體 1 A B= ， 1， E 為 中點，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A B C D 【考點】 異面直線及其所成的角 【分析】 建立空間直角坐標系，先相關(guān)點的坐標，再相關(guān)向量的坐標，再進行運算 【解答】 解析：建立坐標系如圖則 A（ 1， 0， 0）， E（ 0， 2， 1）， B（ 1， 2，0）， 0， 2， 2） =（ 1， 0， 2）， A=（ 1， 2， 1）， c 所以異面直線 成角的余弦值為 故選 B 10已知函數(shù) f（ x） =關(guān)于 x 的方程 f（ x） +a =0 有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， ） （ 0， ） B（ ， 0） （ ， +） C（ ，） D（ ， ） （ ， +） 【考點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷 第 8頁（共 18頁） 【分析】 令 g（ x） =f（ x） +a =a，把方程 f（ x） +a= 0 有三個不等的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù) g（ x）的極大值大于 0 且極小值小于 0，聯(lián)立不等式組 求得實數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） + a=a， 得 g（ x） =33a x=3 x（ x a）， 當 a=0 時， g（ x） 0，函數(shù) g（ x）為增函數(shù)，不合題意； 當 a 0 時， x（ ， a），（ 0， +）時， g（ x） 0； x（ a， 0）時， g（ x） 0 x（ ， a），（ 0， +）時， g（ x）單調(diào)遞增； x（ a， 0）時， g（ x）單調(diào)遞減， x= a 時函數(shù)有極大值為 g（ a） = ， x=0 時函數(shù)有極小值為 g（ 0）=a 由 ，解得 a ； 當 a 0 時， x（ ， 0），（ a， +）時， g（ x） 0； x（ 0， a）時， g（ x） 0 x（ ， 0），（ a， +）時， g（ x）單調(diào)遞增； x（ 0， a）時， g（ x）單調(diào)遞減， x=0 時函數(shù)有極大值為 g（ 0） =a， x =a 時函數(shù)有極小值為 g（ a） = 由 ，解得 a 綜上，實數(shù) a 的取值范圍是（ ， ） （ ， +） 故選： D 11定義點 P 到圖形 C 上每一個點的距離的最小值為點 P 到圖形 C 的距離，那么平面內(nèi)到定圓 C 的距離與到定點 A（ A 在圓 C 內(nèi)且不與圓心 C 重合）的距離相等的點的軌跡是（ ） A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線的一支 【考點】 橢圓的標準方程 【分析】 由題意畫出圖形，設動點為 P，連接 延長，交于圓上一點 B，可得 C=R，說明 P 的軌跡為橢圓 【解答】 解：如圖，設動點為 P，點 A 在圓內(nèi)不與圓心 C 重合，連接 延長，交于圓上一點 B， 第 9頁（共 18頁） 由題意知 A，又 P B+P C=R， C=R，即 P 的軌跡為橢圓 故選： C 12定義在 R 上的函數(shù) f（ x）， f（ x）是其導數(shù)，且滿足 f（ x） +f（ x） 2，1） =2e+4，則不等式 x） 4 +2 中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ） A（ 1， +） B（ ， 0） （ 1， +） C（ ， 0） （ 0， +） D（， 1） 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 構(gòu)造函數(shù) g（ x） =x） 2 xR），研究 g（ x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解 【解答】 解：設 g（ x） =x） 2 xR）， 則 g（ x） =x） + x） 2ex=exf（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2 0， g（ x） 0， y=g（ x）在定義域上單調(diào)遞增， x） 2， g（ x） 4， 又 g（ 1） =1） 2e= 4， g（ x） g（ 1）， x 1， 故選： A 二、填空題：本題共 4 個小題，每小題 5 分，共 20 分 13已知隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 【分析】 本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），利用 P（ 22） = 案易得 【解答】 解： 隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2）， P（ 22） =0. 4， P（ 2） = 1 P（ 22） = 故答案為： 14若實數(shù) x， y 滿足條件 ，則 z=4 x 3y 的最大值是 3 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用 z 的幾何意義，求出最大值 【解答】 解：不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 第 10頁（共 18頁） 由 z=3x 4y 得 y= x ， 平移直線 y= x ，則由圖象可知當直線 y= x ，當經(jīng)過點 C 時，直線的截距最小，此時 z 最大 由 ，解得 ，即 C（ 3， 3）， 此時最大值 z=43 3 3= 3， 故答案為： 3 15（ ） （ 2x ） 5 的展開式中各項系數(shù)的和為 2，則該展開式中常數(shù)項為 40 （用數(shù)字作答） 【考點】 二項式定理的應用 【分析】 令 x=1，可得：（ a+ 1）（ 2 1） 5=2，解得 a=1再利用（ 2x ） 5的展開式的通項公式進而得出 【解答】 解：令 x= 1，可得：（ a +1）（ 2 1） 5=2，解得 a= 1 （ 2x ） 5 的展開式的通項公式： = =（ 1） r 25 2r， 令 5 2r=1 或 1，分別解得： r=2， 3 該展開式中常數(shù)項為： 1 =40， 故答案為： 40 16已知 為等差數(shù)列，它們的前 n 項和分別為 對任意 nN*有 = ，則使 為整數(shù)的正整數(shù) n 的集合為 1， 3 【考點】 等差數(shù)列的前 n 項和 第 11頁（共 18頁） 【分析】 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： = ，化簡即可得出 【解答】 解： = = = =31+ ， 只有 n=1， 3 時， 為整數(shù)， 使 為整數(shù)的正整數(shù) n 的集合為 1， 3， 故答案為： 1， 3 三、解答題：本大題共 6 個小題，共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17在 ， a、 b、 c 分別是角 A、 B、 C 的對邊，且 ， （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 ，求 面積 【 考點】 解三角形 【分析】 （ 1）根據(jù)正弦定理表示出 a， b 及 c，代入已知的等式，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導公式變形后，根據(jù) s 不為 0，得到 c 的值，由 用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角 B 的度數(shù)； （ 2）由（ 1）中得到角 B 的度數(shù)求出 s 和 c 的值，根據(jù)余弦定理表示出 用完全平方公式變形后，將 b， a+c 及 c 的值代入求出 值，然后利用三角形的面積公式表示出 A 面積，把 s 的值代入即可求出值 【解答】 解：（ 1）由正弦定理 得： a=2b=2 Rs ， c =2Rs 將上式代入已知 ， 即 2s c +c s =0， 即 2s B+ C） =0， A+B+C=， B+C） =s ， 2s =0，即 s （ 2c + 1） =0， ， ， 第 12頁（共 18頁） B 為三角形的內(nèi)角， ； （ 代入余弦定理 b2=a2+2 ac c 得： a+c） 2 22ac c ， 3， 18設數(shù)列 前 n 項和為 23n，（ nN*） （ 1）證明數(shù)列 為等比數(shù)列 （ 2）求 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等比 關(guān)系的確定 【分析】 （ 1）利用當 n2 時， 1=得得 21+3，從而可構(gòu)造等比數(shù)列求解 ，進而可以判定 1是等比數(shù)列； （ 3）通過求出數(shù)列 3 的通項公式得出數(shù)列 通項公式，再求和即可 【解答】 解：（ 1）令 n=1， 3 由 1 =21 3（ n+1）， 3n， 兩式相減，得 1 =21 23， 則 1 =2 1 +3=2（ ）， 所以 為公比為 2 的等比數(shù)列 （ 2） =（ ） 2n 1=62n 1， 2n 1 3 19某中學校本課程開設了 A， B， C， D 共 4 門選修課，每個學生必須且只能選修 1 門選修課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙 3 名學生 （ 1）求這 3 名學生選修課所有選法的總數(shù)； （ 2）求恰有 2 門選修課沒有被這 3 名學生選擇的概率； （ 3）求 A 選修課被這 3 名學生選擇的人數(shù) 的分布列及數(shù)學期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ 1）每個學生有四個不同的選擇，由此根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，能求出這 3 名學生選修課所有選法的總數(shù) （ 2）由已知利用排列組合知識能求出恰有 2 門選修課這 3 名學生都沒選擇的概率 第 13頁（共 18頁） （ 3） A 選修課被這 3 名學生選擇的人數(shù)為 ，則 的可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ 1）每個學生有四個不同的選擇， 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理， 這 3 名學生選修課所有選法的總數(shù) N=4 4 4=6 4 （ 2）恰有 2 門選修課這 3 名學生都沒選擇的概率為： = = （ 3） A 選修課被這 3 名學生選擇的人數(shù)為 ，則 的可能取值為 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列為： 0 1 2 3 P = 20在如圖的多面體中， 平面 A C=2， 3， A E= ， G 是 中點 （ ） 求證： 平面 D （ ） 求證： （ ） 求二面角 C E 的余弦值 第 14頁（共 18頁） 【考點】 直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量求平面間的夾角；二面角的平面角及求法 【分析】 （ ） 先證明四邊形 是平行四邊形，可得 而證明 平面 D （ ） 過 H F 于 H，則 平面 ， 證 而可證 平面 （ ）分別以 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間坐標系，由已知得 是平面 的法向量 求出平面 法向量為 n=（ x， y， z），則由 求得 二面角 C E 的余弦值 【解答】 解：（ ）證明： 又 2 是 中點， ， 四邊形 B 是平行四邊形， 面 D 面 D 平面 D （ ）證明： 平面 面 A B， 面 平面 過 D 作 H，則 平面 面 四邊形 行四邊形， 2， 2，又 四邊形 E 為正方形， 又 H= H， 面 面 平面 面 （ ）分別以 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間坐標系，由已知得 是平面 法向量設平面 D 法向量為 n=（ x， y， z）， ， ，即 ，令 z=1，得 n=（ 1， 2， 1） 設二面角 C E 的大小為 ， 則 ， 二面角 C E 的余弦值為 第 15頁（共 18頁） 21已知點 F（ 0， 1），直線 l： y= 1， P 為平面上的動點，過點 P 作直線 足為 Q，且 （ 1）求動點 P 的軌跡 C 的方程； （ 2）已知圓 M 過定點 D（ 0， 2），圓心 M 在軌跡 C 上運動，且圓 M 與 x 軸交于 A、 B 兩點，設 | D A| = | D B|= 的最大值 【考點】 圓與圓錐曲線的綜合 【分析】 （ 1）先設出點 P 的坐標，代入 整理即可得到動點 P 的軌跡 C 的方程； （ 2）先利用條件設出圓的方程，并求出 A、 B 兩點的坐標以及 | D A|= |D B|= 入 整理后利用基本不等式求最大值即可 【解答】 （ 1）解：設 P（ x， y），則 Q（ x， 1）， ， （ 0， y+1） （ x， 2） =（ x， y 1） （ x， 2） 即 2（ y