第 1 頁（共 17 頁） 2015年北京市昌平區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1拋物線 0x 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ） A B 5 C D 10 2過點(diǎn)（ 2， 1）且傾斜角為 60的直線方程為（ ） A 1=0 B 3=0 C +1=0D 3若命題 p 是真命題，命題 q 是假命題，則下列命題一定是真命題的是（ ） A p q B（ p） q C（ p） q D（ p） （ q） 4已知平面 和直線 a， b，若 a ，則 “b a”是 “b ”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 5如圖，在正 方體 ，點(diǎn) M， N 分別是面對(duì)角線 中點(diǎn)，若 = ， = ， = ，則 =（ ） A （ + ） B （ + ） C （ ） D （ ） 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的離心率為 ，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 7某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ） A 2+2 B 2+ C 4+2 D 4+ 第 2 頁（共 17 頁） 8從點(diǎn) P（ 2， 1）向圓 x2+22y+ 作切線，當(dāng)切線長最短時(shí) m 的值為（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 9已知點(diǎn) 橢圓 C： =1 的焦點(diǎn)，點(diǎn) M 在橢圓 C 上且滿足 | + |=2 ，則 面積為（ ） A B C 1 D 2 10如圖，在棱長為 1 的正方體 ，點(diǎn) M 是左側(cè)面 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 =1，則 與 的夾角的最大值為（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） 11若命題 P： x R， x+2 0，則 p： 12已知 =（ 1， 3， 1）， =（ 1， 1， 3），則 | |= 13若直線（ 1+a） x+y+1=0 與直線 2x+=0 平行，則 a 的值為 14如圖，在長方體 ，設(shè) ， ， P 是 中點(diǎn)，則所成角的大小為 ， = 15已知 P 是拋物線 x 上的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 向其準(zhǔn)線作垂線交于點(diǎn) E，定點(diǎn) A（ 2， 5），則 |最小值為 ；此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 16已知直線 l： y+1=0（ k R）若存在實(shí)數(shù) k，使直線 l 與曲線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，且 |k|，則稱曲線 C 具有性質(zhì) P給定下列三條曲線方程： y= |x|； x2+2y=0； y=（ x+1） 2 其中，具有性質(zhì) P 的曲線的序號(hào)是 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17已知圓 C： x2+2x 4y+1=0 （ ）求過點(diǎn) M（ 3， 1）的圓 C 的切線方程； （ ）若直線 l： y+4=0 與圓 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)，且弦 長為 ，求 a 的值 第 3 頁（共 17 頁） 18在直平行六面體 ，底面 菱形， 0， D=O， （ ）求證： 平面 ）求證：平面 平面 ）求三棱錐 體積 19已知橢圓 C： =1（ a b 0）的離心率為 ，且經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 1） （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）如果過點(diǎn) 的直線與橢圓交于 M， N 兩點(diǎn)（ M， N 點(diǎn)與 A 點(diǎn)不重合），求證： 直角三角形 20如圖，在四棱錐 P ， 底面 面 直角梯形， 0， D=，過 平面分別交 M， N 兩點(diǎn) （ ）求證： （ ）若 M， N 分別為 中點(diǎn)， 求證： 求二面角 P A 的余弦值 21拋物線 p 0）與直線 y=x+1 相切， A（ B（ 拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， F 為拋物線的焦點(diǎn)，且 |8 （ ） 求 p 的值； （ ） 線段 垂直平分線 l 與 x 軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由； （ ）求直線 l 的斜率的取值范圍 第 4 頁（共 17 頁） 2015年北京市昌平區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1拋物線 0x 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ） A B 5 C D 10 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得 p，再根據(jù)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 p，進(jìn)而得到答案 【解答】 解： 2p=10， p=5，而焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 p 故拋物線 0x 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 5 故選 B 2過點(diǎn)（ 2， 1）且傾斜角為 60的直線方程為（ ） A 1=0 B 3=0 C +1=0D 【考點(diǎn)】 直線的點(diǎn)斜式方程 【分析】 由直線的傾斜角求出直線的斜率，代入直線方程的點(diǎn)斜式，整理為一般式得答案 【解答】 解： 直線的傾斜角為 60， 斜率 k= ， 又直線過點(diǎn)（ 2， 1）， 由直線方程的點(diǎn)斜式得： y+1= ， 化為一般式： 故選： A 3若命題 p 是真命題，命題 q 是假命題，則下列命題一定是真命題的是（ ） A p q B（ p） q C（ p） q D（ p） （ q） 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 根據(jù)命題 q 是假命題，命題 p 是真命題，結(jié)合復(fù)合命題真假判斷的真值表，可判斷出復(fù)合命題的真假，進(jìn)而得到答案 【解答】 解： 命題 q 是假命題，命題 p 是真命題， “p q”是假命題，即 A 錯(cuò)誤； “ p q”是假命題，即 B 錯(cuò)誤； “ p q”是假命題，即 C 錯(cuò)誤； “ p q”是真命題，故 D 正確； 故選： D 4已知平面 和直線 a， b，若 a ，則 “b a”是 “b ”的（ ） 第 5 頁（共 17 頁） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由 a ， b ，可得 b a，反之不成立，可能 b 與 相交或平行即可得出 【解答】 解：由 a ， b ，可得 b a，反之不成立，可能 b 與 相交或平行 “b a”是 “b ”的必要不充分條件 故選： B 5如圖，在正方體 ，點(diǎn) M， N 分別是面對(duì)角線 中點(diǎn)，若 = ， = ， = ，則 =（ ） A （ + ） B （ + ） C （ ） D （ ） 【考點(diǎn)】 空間向量的加減法 【分析】 由空間向量運(yùn)算法則得 = ，由此能求出結(jié)果 【解答】 解：在正方體 ， 點(diǎn) M， N 分別是面對(duì)角線 中點(diǎn)， = ， = ， = ， = = + + = （ + ） + + （ ） = （ + ） + + （ ） = + = （ ） 故選： D 第 6 頁（共 17 頁） 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的離心率為 ，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 運(yùn)用離心率公式，再由雙曲線的 a， b， c 的關(guān)系，可得 a， b 的關(guān)系，再由漸近線方程即可得到 【解答】 解：由雙曲線的離心率為 ， 則 e= = ，即 c= a， b= = = a， 由雙曲線的漸近線方程為 y= x， 即有 y= x 故選 D 7某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ） A 2+2 B 2+ C 4+2 D 4+ 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)三視圖作 出棱錐直觀圖，根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算每個(gè)側(cè)面的面積 【解答】 解：根據(jù)三視圖作出三棱錐 P 直觀圖， P 在底面 的射影為 中點(diǎn) D， ， ， S = =1 S = = 由 平面 而 平面 第 7 頁（共 17 頁） = ， S = =1 由勾股定理得 = ， =2， = ， S = = 三棱錐額表面積 S=1+ +1+ =2+2 故選 A 8從點(diǎn) P（ 2， 1）向圓 x2+22y+ 作切線，當(dāng)切線長最短時(shí) m 的值為（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考點(diǎn)】 圓的切線方程 【分析】 確定圓心與半徑，利用切線長最短時(shí)， 小，可得結(jié)論 【解答】 解：圓 x2+22y+，可化為圓（ x m） 2+（ y 1） 2=1， 圓心 C（ m， 1），半徑為 1， 切線長最短時(shí)， 小， | ， m=2 時(shí)， 小，切線長最短 故選： D 9已知點(diǎn) 橢圓 C： =1 的焦點(diǎn)，點(diǎn) M 在橢圓 C 上且滿足 | + |=2 ，則 面積為（ ） A B C 1 D 2 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 由橢圓性質(zhì)和余弦定理推導(dǎo)出 0，由此利用橢圓定義和定弦定理能求出 面積 【解答】 解： 點(diǎn) 橢圓 C： =1 的焦點(diǎn)， 第 8 頁（共 17 頁） 點(diǎn) M 在橢圓 C 上且滿足 | + |=2 ， +2| | |2， 由余弦定理得 2 =12， 聯(lián)立 ，得： 0， |2a=4， =16， | （ 16 12） =2， 面積 S= | 2=1 故選： C 10如圖，在棱長為 1 的正方體 ，點(diǎn) M 是左側(cè)面 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 =1，則 與 的夾角的最大值為（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 先建立空間坐標(biāo)系，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式計(jì)算即可 【解答】 解：以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 x 軸， y 軸， z 軸，建立空 間坐標(biāo)系，如圖所示， M 是左側(cè)面 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn) M（ x， 0， z），其中（ 0 x 1， 0 z 1）， B（ 1， 1， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 1）， =（ x 1， 1， z）， =1 x+z=1，即 x=z， | |= ， | |= = ， 設(shè) 與 的夾角為 ， 第 9 頁（共 17 頁） = ， 設(shè) f（ x） =x+1， f（ x）在 0， 上單調(diào)遞減，在 ， 1上單調(diào)遞增， f（ 0） =1， f（ ） = ， f（ x） 1， ， =60， 故選： C 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） 11若命題 P： x R， x+2 0，則 p： x R， x+20 【考點(diǎn)】 命題的否定 【分析】 根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行求解 【解答】 解：命題是特稱命題，則命題的否定是： x R， x+2 0， 故答案為： x R， x+2 0 12已知 =（ 1， 3， 1）， =（ 1， 1， 3），則 | |= 6 【考點(diǎn)】 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 【分析】 根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出 ，再求它的模長 【解答】 解： =（ 1， 3， 1）， =（ 1， 1， 3）， =（ 2， 4， 4）， | |= =6 故答案為： 6 13若直線（ 1+a） x+y+1=0 與直線 2x+=0 平行，則 a 的值為 1 或 2 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【分析】 根據(jù)兩直線平行時(shí)方程的系數(shù)關(guān)系，列出方程求出 a 的值 【解答】 解： 直線（ a+1） x+y+1=0 與直線 2x+=0 互相平行， 第 10 頁（共 17 頁） a（ a+1） 2=0， 即 a2+a 2=0； 解得 a=1 或 a= 2； 當(dāng) a=1 時(shí)， 2x+y+1=0， 2x+y+2=0，平行，符合題意， a= 2 時(shí)， x y 1=0， x y+1=0，平行，符合題 意， 所以實(shí)數(shù) a 的值等于 1 或 2， 故答案為： 1 或 2 14如圖，在長方體 ，設(shè) ， ， P 是 中點(diǎn)，則所成角的大小為 60 ， = 1 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 先建立空間坐標(biāo)系，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式計(jì)算即可 【解答】 解：以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示， ， ， P 是 中點(diǎn)， 1， 2， 1）， C=（ 0， 2， 0）， 1， 0， 1）， P（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 1， 0）， =1+0+0=1， | |= ， | |= 設(shè) 所成角為 ， = ， =60， 故答案為： 60， 1 第 11 頁（共 17 頁） 15已知 P 是拋物線 x 上的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 向 其準(zhǔn)線作垂線交于點(diǎn) E，定點(diǎn) A（ 2， 5），則 |最小值為 5 ；此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （ 2， 4） 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 拋物線 x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 0），定點(diǎn) A（ 2， 5）在拋物線的外部，由拋物線的定義， |則當(dāng) P， A， F 三點(diǎn)共線時(shí)， |小，答案可得 【解答】 解：拋物線 x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 0），定點(diǎn) A（ 2， 5）在拋物線的外部， 由拋物線的定義， | 則當(dāng) P， A， F 三點(diǎn)共線時(shí)， |小， |最小值為 5，；此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 4） 故答案為： 5；（ 2， 4） 16已知直線 l： y+1=0（ k R）若存在實(shí)數(shù) k，使直線 l 與曲線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，且 |k|，則稱曲線 C 具有性質(zhì) P給定下列三條曲線方程： y= |x|； x2+2y=0； y=（ x+1） 2 其中，具有性質(zhì) P 的曲線的序號(hào)是 【考點(diǎn)】 曲線與方程 【分析】 確定直線 l： y+1=0（ k R）過定點(diǎn)（ 0， 1），曲線過定點(diǎn)（ 0， 1），即可得出結(jié)論 【解答 】 解： y= |x|與直線 l： y+1=0（ k R）至多一個(gè)交點(diǎn)，不具有性質(zhì) P； x2+2y=0 圓心為（ 0， 1），直線 l： y+1=0（ k R）過定點(diǎn)（ 0， 1），故存在 k= 2，使直線 l 與曲線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，且 |k|，具有性質(zhì) P； y=（ x+1） 2，過點(diǎn)（ 0， 1），直線 l： y+1=0（ k R）過定點(diǎn)（ 0， 1），故存在 k，使直線 l 與曲線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，且 |k|，具有性質(zhì) P 故答案為： 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程 或演算步驟） 17已知圓 C： x2+2x 4y+1=0 （ ）求過點(diǎn) M（ 3， 1）的圓 C 的切線方程； （ ）若直線 l： y+4=0 與圓 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)，且弦 長為 ，求 a 的值 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ ）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點(diǎn) M（ 3， 1）的圓 （ ）因?yàn)橄?長為 2 ，所以點(diǎn) C 到直線 l 的距離為 1，即可求 a 的值 【解答】 解 ：（ I）圓 C 的方程可化為（ x 1） 2+（ y 2） 2=4，圓心 C（ 1， 2），半徑是 2 當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為 y 1=k（ x 3），即 y 3k+1=0 因?yàn)?， 所以 當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線方程為 x=3，與圓 C 相切 所以過點(diǎn) M（ 3， 1）的圓 C 的切線方程為 x=3 或 3x 4y 5=0 第 12 頁（共 17 頁） （ 為弦 長為 2 ， 所以點(diǎn) C 到直線 l 的距離為 因?yàn)?所以 18在直平行六面體 ，底面 菱形， 0， D=O， （ ）求證： 平面 ）求證：平面 平面 ）求三棱錐 體積 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ I）由直平行六面體的結(jié)構(gòu)特征可知 是 平面 （ 線面垂直的性質(zhì)得 菱形的性質(zhì)得 而 平面是平面 平面 （ 棱錐的底面， 棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可 【解答】 證明：（ I）設(shè) 11，連接 因?yàn)?所以四邊形 平行四邊形 所以 C 因?yàn)榈酌?菱形， 所以 O 所以四邊形 平行四邊形 所以 因?yàn)?平面 面 以 平面 （ 為 平面 平面 所以 因?yàn)榈酌?菱形， 所以 因?yàn)?11， 所以 平面 為 平面 所以平面 平面 （ 題意可知， 平面 第 13 頁（共 17 頁） 所以 三棱錐 A 高 因?yàn)?所以三棱錐 體積為 19已知橢圓 C： =1（ a b 0）的離心率為 ，且經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 1） （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）如果過點(diǎn) 的直線與橢圓交于 M， N 兩點(diǎn)（ M， N 點(diǎn)與 A 點(diǎn)不重合），求證： 直角三角形 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）由橢圓 C： =1（ a b 0）經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 1），求出 b，由離心率為 ，求出 a，由此能求出橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ ）設(shè) 方程為 ，與橢圓聯(lián)立，得 ，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能證明 直角三角形 【解答】 （本小題滿分 14 分） 解：（ ） 橢圓 C： =1（ a b 0）的離心率為 ，且經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 1）， b=1 ，解得 a=2 橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 證明：（ ）若過點(diǎn) 的直線 斜率不存在，此時(shí) M， N 兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)與 A 點(diǎn)重合，不滿足題目條件 若過點(diǎn) 的直線 斜率存在，設(shè)其斜率為 k，則 方程為 ， 第 14 頁（共 17 頁） 由 ，得 設(shè) M（ N（ 則 ， ， A（ 0， 1）， = 直角三角形 20如圖，在四棱錐 P ， 底面 面 直角梯形， 0， D=，過 平面分別交 M， N 兩點(diǎn) （ ）求證： （ ）若 M， N 分別為 中點(diǎn)， 求證： 求二面角 P A 的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ I）推導(dǎo)出 而 平面 此能證明 （ 推導(dǎo)出 而 由 平面 此能證明 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A A 的余弦值 【解答】 （本小題滿分 14 分） 第 15 頁（共 17 頁） 證明：（ I）因?yàn)榈酌?直角梯形，所以 因?yàn)?面 面 所以 平面 因?yàn)?平面 面 面 N， 所以 （ 因?yàn)?M， N 分別為 中點(diǎn)， B， 所以 因?yàn)?0，所以 因?yàn)?底面 以 因?yàn)?B=A，所以 平面 以 因?yàn)?A=A，所以 平面 因?yàn)?面 以 解： 如圖，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A 則 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2） 由（ ， 平面 以平面 法向量為 =（ 2， 0， 2） 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 因?yàn)?， ， 所以 令 z=2，則 y=