第 1 頁（共 19 頁） 2016 年陜西省高考數(shù)學二模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1設(shè)集合 M=x| ，函數(shù) f（ x） =1 ）的定義域為 N，則 MN 為（ ） A ， 1 B ， 1） C（ 0， D（ 0， ） 2已知命題 p： x R， 0，則（ ） A p： x R， 0 B p： x R， 0 C p： x R， 0D p： x R， 0 3若 ，則 值為（ ） A B C D 4等比數(shù)列 前 n 項和為 知 S3=0，則 ） A B C D 5某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是（ ） A 28 B 32 C 36 D 40 6將除顏色外完全相同的一個白球、一個黃球、兩個紅球分給三個小朋友，且每個小朋友至少分得一個球的分法有 （ ）種 A 15 B 18 C 21 D 24 7已知拋物線 C： y2=x 的焦點為 F， A（ C 上一點，若 | 于（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 8如果執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入 N=5，則輸出的數(shù) S 等于（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A B C D 9曲線 y=e 在點（ 6， 的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為（ ） A B 3 6 90已知函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分圖象如圖所示，且 f（ ） =1， （ 0， ），則 2 ） =（ ） A B C D 11定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x）滿足：對任意的 0， +）（ 有，則（ ） A f（ 2） f（ 1） f（ 3） B f（ 1） f（ 2） f（ 3） C f（ 3） f（ 2） f（ 1）D f（ 3） f（ 1） f（ 2） 12若直線 y=x， y=x+2 與圓 C： x2+22 的四個交點把圓 C 分成的四條弧長相等，則 m=（ ） A 0 或 1 B 0 或 1 C 1 或 1 D 0 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13 （ x+_ 14已知單位向量 ， 的夾角為 60，則向量 與 的夾角為 _ 15不等式 b（ a+b）對于任意的 a， b R 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為 _ 16已知 F 是雙曲線 C： =1 的右焦點，若 P 是 C 的左支上一點， A（ 0， 6 ）是 積的最小值為 _ 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別為 a， b， c已知 a+c=3 ， b=3 （ I）求 最小值； （ ）若 =3，求 A 的大小 第 3 頁（共 19 頁） 18 “開門大吉 ”是某電視臺推出的游戲節(jié)目選手面對 1 8 號 8 扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金 在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個年齡段： 21 30， 31 40（單位：歲），統(tǒng)計這兩個年齡段選手答對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示 （ 1）寫出 2 2 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認為答對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)，說明你的理由（下面的臨界值表供參考） P（ 2）在統(tǒng)計過的參考選手中按年齡段分層選取 9 名選手，并抽取 3 名幸運選手，求 3 名幸運選手中在 21 30 歲年齡段的人數(shù)的分布 列和數(shù)學期望 （參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 19如圖 ，在 ，已知 5， 4， 3將 上的高 所示的四面體 A 得圖 中的 1 （ 1）求二面角 B C 的平面角的余弦值； （ 2）在四面體 A 棱 是否存在點 P，使得 =0？若存在，請指出點 P 的位置；若不存在，請給出證明 20設(shè) O 是坐標原點，橢圓 C： 的左右焦點分別為 P， Q 是橢圓 C 上不同的兩點， （ I）若直線 橢圓 C 的右焦點 傾斜角為 30，求證： | | |等差數(shù)列； （ ）若 P， Q 兩點使得直線 斜率均存在且成等比數(shù)列求直線 斜率 21設(shè)函數(shù) f（ x） = （ 1）求證：函數(shù) f（ x）有且只有一個極值點 （ 2）求函數(shù) f（ x）的極值點 近似值 x，使得 |x （ 3）求證： f（ x） x （ 0， +）恒成立 （參考數(shù)據(jù)： e 第 4 頁（共 19 頁） 選修 4何證明選講 22如圖，已知 O 的直徑， C， F 為 O 上的兩點， 點 F 作 O 的切線 延長線于點 D，連接 點 E求證： A 選修 4標系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標系 ，已知圓 x2+，圓 x 2） 2+ （ ）在以 O 為極點， x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別求圓 圓 極坐標方程及兩圓交點的極坐標； （ ）求圓 圓 公共弦的參數(shù)方程 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x+1| 2|x| （ 1）求不等式 f（ x） 6 的解集； （ 2）若存在實數(shù) x 滿足 f（ x） =實數(shù) a 的取值范圍 第 5 頁（共 19 頁） 2016 年陜西省高考數(shù)學 二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1設(shè)集合 M=x| ，函數(shù) f（ x） =1 ）的定義域為 N，則 MN 為（ ） A ， 1 B ， 1） C（ 0， D（ 0， ） 【考點】 交集及其運算 【分析】 先分別求出集合 M 和集合 N，然后再求出集合 MN 【解答】 解：集合 M=x| = ， 3），函數(shù) f（ x） =1 ） =0， 1）， 則 MN= ， 1）， 故選： B 2已知命題 p： x R， 0，則（ ） A p： x R， 0 B p： x R， 0 C p： x R， 0D p： x R， 0 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 利用命題的否定即可判斷出 【解答】 解：命題 p： x R， 0，則 p： x R， 0 故選： C 3若 ，則 值為（ ） A B C D 【考點】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用 【分析】 由條件利用平方差公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值 【解答】 解： 則 （ = = = ， 故選： B 4等比數(shù)列 前 n 項和為 知 S3=0，則 ） A B C D 【考點】 等比數(shù)列的前 n 項和 第 6 頁（共 19 頁） 【分析】 設(shè)等比數(shù)列 公比為 q，利用已知和等比數(shù)列的通項公式即可得到，解出即可 【解答】 解：設(shè)等比數(shù)列 公比為 q， S3=0， ，解得 故選 C 5某幾 何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是（ ） A 28 B 32 C 36 D 40 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知幾何體是一個圓柱和一個圓臺的組合體，求解其體積相加即可 【解答】 解：圖為三視圖復(fù)原的幾何體是一圓臺和一個圓柱的組合體，圓柱的底面半徑為 2，高為 2，體積為： 222=8 圓臺的底面半徑為 4，上底面半徑為 2，高為 3，體積為： =28， 幾何體 的體積為： 36 故選： C 6將除顏色外完全相同的一個白球、一個黃球、兩個紅球分給三個小朋友，且每個小朋友至少分得一個球的分法有 （ ）種 A 15 B 18 C 21 D 24 【考點】 計數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 把 4 個小球分成（ 2， 1， 1）組，其中 2 個小球分給同一個小朋友的有 4 種方法（紅紅，紅黃，紅白，白黃），分兩類，根據(jù)分類計數(shù)原理可得 【解答】 解：把 4 個小球分成（ 2， 1， 1）組，其中 2 個小球分給同一個小朋友的有 4 種方法（紅紅，紅黃，紅白，白黃）， 若（紅紅，紅黃，紅白）分給其中一個小朋 友，則剩下的兩個球分給 2 個小朋友，共有 33 8 種， 若（白黃兩個小球）分給其中一個小朋友，剩下的兩個紅色小球只有 1 種分法，故有 3 1=3種， 根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有 18+3=21 種 第 7 頁（共 19 頁） 故選： C 7已知拋物線 C： y2=x 的焦點為 F， A（ C 上一點，若 | 于（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用拋物線的定義、焦點弦長公式即可得出 【解答】 解：拋物線 C： y2=x 的焦點為 F（ ， 0） A（ C 上一點， | x0=， 解得 故選： A 8如果執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入 N=5，則輸出的數(shù) S 等于（ ） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是計算出輸出 S= + + + 的值，利用裂項相消法，可得答案 【解答】 解：由已知中的程序框圖可知， 該程序的功能是計算出輸出 S= + + + + 的值， S= + + + + =1 + + + + =1 = ， 故選： B 第 8 頁（共 19 頁） 9曲線 y=e 在點（ 6， 的切線與坐標軸所圍成的三角 形的面積為（ ） A B 3 6 9考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程，分別令 x=0，y=0 求得與 y， x 軸的交點，運用三角形的面積公式計算即可得到所求值 【解答】 解： y=e 的導數(shù)為 y= e ， 可得在點（ 6， 的切線斜率為 即有在點（ 6， 的切線方程為 y x 6）， 即為 y= 令 x=0，可得 y= y=0，可得 x=3 即有切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為 3 故選： A 10已知函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分圖象如圖所示，且 f（ ） =1， （ 0， ），則 2 ） =（ ） A B C D 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由圖象可得 A 值和周期，由周期公式可得 ，代入點（ ， 3）可得 值，可得解析式，再由 f（ ） =1 和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得 【解答】 解：由圖象可得 A=3， =4（ ），解 得 =2， 故 f（ x） =32x+），代入點（ ， 3）可得 3+） = 3， 故 +） = 1， +=2， =2， k Z 結(jié)合 0 可得 當 k=1 時， = ，故 f（ x） =32x+ ）， 第 9 頁（共 19 頁） f（ ） =32+ ） =1， 2+ ） = ， （ 0， ）， 2+ （ ， ）， 2 ） = = ， 故選： C 11定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x）滿足：對任意的 0， +）（ 有，則（ ） A f（ 2） f（ 1） f（ 3） B f（ 1） f（ 2） f（ 3） C f（ 3） f（ 2） f（ 1）D f（ 3） f（ 1） f（ 2） 【考點】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【分析】 根據(jù)奇偶性可知 f（ 2） =f（ 2），然后根據(jù)題目條件得到函數(shù) f（ x）在 0， +）上是減函數(shù)，從而得到 f（ 1）、 f（ 2）、 f（ 3）的大小關(guān)系，得到結(jié)論 【解答】 解： f（ x）是偶函數(shù) f（ 2） =f（ 2） 又 任意的 0， +）（ 有 f（ x）在 0， +）上是減函數(shù) 又 1 2 3 f（ 1） f（ 2） f（ 3） 即 f（ 1） f（ 2） f（ 3） 故選 C 12若直線 y=x， y=x+2 與圓 C： x2+22 的四個交點把圓 C 分成的四條弧長相等，則 m=（ ） A 0 或 1 B 0 或 1 C 1 或 1 D 0 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 直線 C 分成的四條弧長相等， C 可化為（ x m） 2+（ y n）2=m2+ m=0， n=1 時及當 m= 1， n=0 時，滿足條件 【解答】 解： y=x， y=x+2 與圓 C： x2+22， 直線 C 分成的四條弧長相等， 畫出圖形，如圖所示 又 C 可化為（ x m） 2+（ y n） 2=m2+ 當 m=0， n=1 時，圓心為（ 0， 1），半徑 r=1， 此時 C 的四個交點（ 0， 0），（ 1， 1），（ 0， 2），（ 1， 1）把 C 分成的四條弧長相等； 當 m= 1， n=0 時，圓心為（ 1， 0），半徑 r=1， 此時 C 的四個交點（ 0， 0），（ 1， 1），（ 2， 0），（ 1， 1）也把 C 分成的四條弧長相等； 第 10 頁（共 19 頁） 故選： B 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13 （ x+ 【考點】 定積分 【分析】 根據(jù)定積分的計算法則計算即可 【解答】 解： （ x2+| = 故答案為： 14已知單位向量 ， 的夾角為 60，則向量 與 的夾角為 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 分別求出 | + |， | |，（ + ）（ ），從而代入求余弦值，從而求角 【解答】 解： 單位向量 ， 的夾角為 60， | + |= = = ， | |= = ， （ + ）（ ） = 2 + = 2+1= ， 設(shè)向量 與 的夾角為 ， 則 = ， 故 = ， 第 11 頁（共 19 頁） 故答案為： 15不等式 b（ a+b）對于任意的 a， b R 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為 8，4 【考點】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 由已知可得 8） 0，結(jié)合二次不等式的性質(zhì)可得 =2+4（ 8）=2+4 32 0，可求 【解答】 解： b（ a+b）對于任意的 a， b R 恒成 b（ a+b） 0 對于任意的 a， b R 恒成 即 b） a+（ 8 ） 0 恒成立， 由二次不等式的性質(zhì)可得， =2+4（ 8） =2+4 32 0 （ +8）（ 4） 0 解不等式可得， 8 4 故答案為： 8， 4 16已知 F 是雙曲線 C： =1 的右焦點，若 P 是 C 的左支上一點， A（ 0， 6 ）是 積的最小值為 6+9 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求得雙曲線的焦點，直線 方程以及 長，設(shè)直線 y= 2 x+t 與雙曲線相切，且切點為左支上 一點，聯(lián)立雙曲線方程，消去 y，由判別式為 0，求得 m，再由平行直線的距離公式可得三角形的面積的最小值 【解答】 解：雙曲線 C： =1 的右焦點為（ 3， 0）， 由 A（ 0， 6 ），可得直線 方程為 y= 2 x+6 ， | =15， 設(shè)直線 y= 2 x+t 與雙曲線相切，且切點為左支上一點， 聯(lián)立 ，可得 164 tx+=0， 由判別式為 0，即有 964 16（ ） =0， 解得 t= 4（ 4 舍去）， 可得 P 到直線 距離為 d= = ， 即有 面 積的最小值為 d| 15=6+9 故答案為： 6+9 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別為 a， b， c已知 a+c=3 ， b=3 第 12 頁（共 19 頁） （ I）求 最小值； （ ）若 =3，求 A 的大小 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算；正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）根據(jù)基本不等式求出 最大值，利用余弦定理得出 最小值； （ 用余弦定理列方程解出 a， c， 用正弦定理得出 【解答】 解：（ I）在 ，由余弦定理得 = （ ） 2= 當 時， 得最小值 （ 余弦定理得 b2=a2+2 = 9=a2+6， a2+5 又 a+c=3 ， a=2 ， c= 或 a= ， c=2 ， 由正弦定理得 ， =1 或 A= 或 A= 18 “開門大吉 ”是某電視臺推出的游戲節(jié)目 選手面對 1 8 號 8 扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個年齡段： 21 30， 31 40（單位：歲），統(tǒng)計這兩個年齡段選手答對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示 （ 1）寫出 2 2 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認為答對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)，說明你的理由（下面的臨界值表供參考） P（ 2）在統(tǒng)計過的參考選手中按年齡段分層選取 9 名選手，并抽取 3 名幸運選手，求 3 名幸運選手中在 21 30 歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望 （參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 第 13 頁（共 19 頁） 【考點】 獨立性檢驗的應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，利用公式求出 可得出結(jié)論 （ 2）設(shè) 3 名選手中在 20 30 歲之間的人數(shù) 為 ，可能取值為 0， 1， 2， 3，求出概率，列出分布列，求解期望即可 【解答】 解：（ 1） 2 2 列聯(lián)表 正確 錯誤 合計 21 30 10 30 40 31 40 10 70 80 合計 20 100 120 =3 90%的把握認為猜對歌曲名稱與否和年齡有關(guān) （ 2）按照分層抽樣方法可知： 21 30（歲）抽取 3 人， 31 40（歲）抽取 6 人 設(shè) 3 名選手中在 21 30 歲之間的人數(shù)為 ，可能取值為 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = D 的分布列 0 1 2 3 P E（ ） =0 +1 +2 +3 =1 19如圖 ，在 ，已知 5， 4， 3將 上的高 所示的四面體 A 得圖 中的 1 （ 1）求二面角 B C 的平面角的余弦值； （ 2）在四面體 A 棱 是否存在點 P，使得 =0？若存在，請指出點 P 的位置； 若不存在，請給出證明 第 14 頁（共 19 頁） 【考點】 二面角的平面角及求法；平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 （ 1）根據(jù)圖象折之前和折之后的邊長關(guān)系，結(jié)合二面角的定義進行求解 （ 2）假設(shè)在四面體 A 棱 存在點 P，使得 根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合向量的運算法則進行化簡求解 【解答】 解：（ 1）由已知 故二面角 B C 的平面角為 在圖 ，設(shè) BD=x， AD=h，則 4 x， 在 ，分別用勾股定理得 x2+52，（ 14 x） 2+32， 得 x=9， h=12，從而 2， ， ， 在圖 的 ，由余弦定理得 2 即 112=92+52 2 9 5 ， 即二面角 B C 的平面角的余弦值是 （ 2）假設(shè)在四面體 A 棱 存在點 P，使得 ， 則 0= =（ + ） （ + ） = 2+ + + = 2+0+0+9 5 （ ）= 2 ， 則 | |= 12，符號題意， 即在棱 存在點 P，使得 ，此時 | |= 20設(shè) O 是坐標原點，橢圓 C： 的左右焦點分別為 P， Q 是橢圓 C 上不同的兩點， （ I）若直線 橢圓 C 的右焦點 傾斜角為 30，求證： | | |等差數(shù)列； （ ）若 P， Q 兩點使得直線 斜率均存在且成等比數(shù)列求直線 斜率 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ I）求得橢圓的 a， b， c，設(shè)出直線 方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式可得 |再由橢圓的定義可得 |4a，由等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，可得結(jié)論； （ ）設(shè)出直線 方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于 0，由等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，結(jié)合直線的斜率公式，化簡整理，解 方程即可得到直線 斜率 第 15 頁（共 19 頁） 【解答】 解：（ I）證明： 即為 + =1， 即有 a= ， b= ， c= =2， 由直線 橢圓 C 的右焦點 2， 0），且傾斜角為 30， 可得直線 方程為 y= （ x 2）， 代入橢圓方程可得， 2x 1=0， 即有 x1+， 1， 由弦長公式可得 | = = ， 由橢圓的定義可得 |4a=4 ， 可得 |4 = =2| 則有 | | |等差數(shù)列； （ ）設(shè)直線 方程為 y=kx+m，代入橢圓方程 ， 消去 y 得：（ 1+3（ 2） =0， 則 =3612（ 1+3 2） =12（ 6） 0， x1+ ， ， 故 m）（ m） =x1+ 直線 斜率依次成等比數(shù)列， = = 即 x1+，即有 +， 由于 m 0，故 ， 直線 斜率 k 為 21設(shè)函數(shù) f（ x） = （ 1）求證：函數(shù) f（ x）有且只有一個極值點 （ 2）求函數(shù) f（ x）的極值點 近似值 x，使得 |x （ 3）求證： f（ x） x （ 0， +）恒成立 （參考數(shù)據(jù)： e 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 第 16 頁（共 19 頁） 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的單調(diào)性，求出零點的范圍，從而證出極值點的個數(shù)； （ 2）求出函數(shù)的導數(shù)，求出零點的范圍，即極值點的范圍，求出滿足條件的零點的近似值即可； （ 3）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)零點的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可 【解答】 （ 1）證明： f（ x）的定義域是（ 0， +）， f（ x） =， 函數(shù) y= y= 在（ 0， +）均遞增， f（ x）在（ 0， +）遞增， 而 f（ ） = 2 0， f（ 1） =e 1 0， f（ x）在（ ， 1）上存在零點，記 且 f（ x）在 右兩側(cè)的函數(shù)值異號， 綜上， f（ x）有且只有一個零點 即函數(shù) f（ x）有且只有一個極值點 （ 2）解： ， 且 f（ x）在 ， 上的圖象連續(xù)， f（ ） 0， f（ ） = 0， f（ x）的零點 （ ， ）， 即 f（ x）的極值點 （ ， ），即 （ 近似值 x可以取 x= 此時的 x滿足 |x （ 3）證明： 2 ， 且 f（ x）在 ， 上圖象連續(xù)， f（ ） 0， f（ ） = 0， f（ x）的零點 （ ， ）， f（ x）的極值點 （ ， ） ， 由（ 1）知： f（ = =0， 且 f（ x）的最小值是 f（ = 第 17 頁（共 19 頁） 函數(shù) g（ x） = （ 0， +）遞減，且 ， g（ g（ ） = 2 f（ x） f（ = x （ 0， +）恒成立 選修 4何證明選講 22如圖，已知 O 的直徑， C， F 為 O 上的兩點， 點 F 作 O 的切線 延長線于點 D，連接 點