.2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)（理）（全國II卷）一選擇題（共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1（ ） （A） （B） （C） （D）2已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）（A）9 （B）8 （C）5 （D）43函數(shù)的圖像大致為（ ）4已知向量滿足，則（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）05雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）6在中，則（ ）（A） （B） （C） （D）7為計(jì)算，設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（ ）（A）（B）（C）（D）8我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如。在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）9在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） （A） （B） （C） （D）10若在是減函數(shù)，則的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）11已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足。若，則（ ）（A） （B）0 （C）2 （D）5012已知是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，則的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）二填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13曲線在點(diǎn)處的切線方程為_。14若滿足約束條件，則的最大值為_。15已知，則 。16已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_。三解答題（共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：60分。17（本小題12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，。求的通項(xiàng)公式；求，并求的最小值。 18（本小題12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖。為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型。根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型：。分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由。19（本小題12分）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，。求的方程；求過點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程。20（本小題12分）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)。證明：平面；若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值。21（本小題12分）已知函數(shù)。若，證明：當(dāng)時(shí)，；若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求。（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。求和的直角坐標(biāo)方程；若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率。23選修45：不等式選講（本小題10分）設(shè)函數(shù)。當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；若，求的取值范圍。2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（II卷）解答一選擇題 DABBA ABCCA CD二填空題 13；149；15；1617解：設(shè)的公差為，由題意得。由得。所以的通項(xiàng)公式為；由得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為。18解：利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為（億元）。利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為（億元）；利用模型得到的預(yù)測值更可靠。理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢。2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠；（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠。（以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分）19解：由題意得，：。設(shè)，由得，故。而，解得（舍）或，因此：；由得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的中垂線方程為，即。設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得或。因此所求圓的方程為或。20解：因，為的中點(diǎn)，故，且。連，因，故為等腰直角三角形，且，。故，因此。又，故平面；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。由題知，。取平面的法向量，設(shè)，則。設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，所以。由題得，解得（舍）或，所以。又，故，所以與平面所成角的正弦值為。21解：當(dāng)時(shí)，。設(shè)函數(shù)，則。當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減。而，故當(dāng)時(shí)，即；設(shè)函數(shù)，在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)。（i）當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。故在單減，在單增，從而是在的最小值。若，即，在沒有零點(diǎn)；若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；若，即，因，故在有一個(gè)零點(diǎn)。由知，當(dāng)時(shí)，所以。故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)。綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。22解：曲線的直角坐標(biāo)方程為。當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)