對(duì)非齊次偏微分方程的求解齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題（一）沖量定理法（二）傅立葉級(jí)數(shù)法齊次邊界條件下非齊次場(chǎng)位方程的混合問題（一）方程和邊界條件同時(shí)齊次化非齊次方程的求解思路 用分解原理得出對(duì)應(yīng)的齊次問題 解出齊次問題 求出任意非齊次特解 疊加成非齊次解方法一沖量定理法前提條件：除了方程為非齊次的外，其它定解條件都是齊次的(初始條件均取零值)?；舅悸罚豪茂B加原理將受迫振動(dòng)的問題轉(zhuǎn)化為（無窮多個(gè)）自由振動(dòng)問題的疊加.試設(shè)， .物理意義：在時(shí)間 0 t 內(nèi)，可以把非齊次項(xiàng)（單位質(zhì)量所受的持續(xù)作用力）看成許多前后相繼（無窮多個(gè)）的“瞬時(shí)”力引起的物理過程的線性疊加。相應(yīng)的，我們也可以把位移也表示為，則就應(yīng)當(dāng)是瞬時(shí)力所產(chǎn)生的位移.更進(jìn)一步說，就是定解問題 的解.非齊次項(xiàng)只存在于時(shí)刻，其全部效果只是使得弦在時(shí)刻獲得一個(gè)瞬時(shí)速度.那么由偏微分方程的積分推導(dǎo)出令 則定解問題就可以寫成這種形式（簡(jiǎn)寫成） 在運(yùn)算過程中，十分需要注意的是，瞬時(shí)力的重復(fù)計(jì)算，不能把瞬時(shí)力既算入定解方程的其次項(xiàng)內(nèi)，又算入初速度內(nèi)！總結(jié)一下，在上面的過程中，沖量定理就把求解非齊次方程、齊次邊界條件以及齊次初條件的定解問題轉(zhuǎn)化成了對(duì)齊次方程、齊次邊界條件的定解問題的求解，最后將其疊加其中 例題1求定解問題， ， ， ， ， ， ,其中，、均為已知常數(shù)解：用沖量定理法進(jìn)行求解，此時(shí)的應(yīng)當(dāng)滿足定解問題， ， ， ， ， ， ，即可得出定解問題的一般解根據(jù)題意條件可得 ，所以，綜上可得 方法二：傅立葉級(jí)數(shù)法前提條件：齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題，必須是齊次的邊界條件中心思想：首先要想辦法找到一組本證函數(shù)，如果這組函數(shù)是完備的，那么就可以將以及原非齊次方程的非齊次項(xiàng)，都按照本征函數(shù)展開簡(jiǎn)單選法：對(duì)本征函數(shù)的選法最簡(jiǎn)單的是，選擇為相應(yīng)齊次定解問題的本征函數(shù)，即要滿足由齊次偏微分方程和齊次邊界條件.分離變量法得出的結(jié)果提示:把所求的解本身展開為傅里葉級(jí)數(shù) 基本函數(shù)族 Xn(x) 為該定解問題的齊次方程在所給齊次邊界條件下的本征函數(shù)注意：傅里葉系數(shù)不是常數(shù)，是時(shí)間 t 的函數(shù)。設(shè) 的解可以直接由分離變量法求得由于是一元函數(shù)，滿足常微分方程，比求偏微分方程簡(jiǎn)單，因此只需設(shè)法求出即可.解： 相應(yīng)的齊次問題的固有函數(shù)設(shè) 代入定解問題中 再根據(jù)本征函數(shù)的正交性，就可以得到所滿足的常微分方程將代入初始條件 根據(jù)本征函數(shù)的正交性，得 運(yùn)用求解非齊次常微分方程的常數(shù)變易法解出.例題1求下列定解問題解：先解對(duì)應(yīng)的齊次問題設(shè) 代入 令 ， 代入邊界條件 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 得 方法三：方程和邊界條件同時(shí)齊次化 基本思路：根據(jù)疊加原理，非齊次方程的通解可分解為齊次方程的解與非齊次方程的特解之和。 將偏微分方程和邊界條件同時(shí)齊次化。，關(guān)鍵注意點(diǎn)：在處理非齊次方程變齊次化的同時(shí)，保證原有方程的齊次邊界條件不變。解方程求得的特解.滿足適用于形式比較簡(jiǎn)單的方程解：通常，首先求出原非齊次方程的一個(gè)特解.試設(shè) ，則便是對(duì)應(yīng)齊次偏微分方程的解,即 為便于用分離變量法求解，讓 滿足下列條件, . 所以，我們要尋求的特解還應(yīng)滿足齊次邊界條件, 。一旦求得了這樣的特解，就可以求出的一般解，所以，代入初始條件，利用本證函數(shù)的正交歸一性，定出疊加系數(shù)，.這種解法便是方程和邊界條件同時(shí)齊次化.下面通過例題1來應(yīng)用一下這種求解非齊次偏微分方程的方法例題3求定解問題， ， ， ， ， ， ，其中，及均為已知常數(shù).解：設(shè)，根據(jù)題意，將齊次化函數(shù)化為.使得滿足非齊次方程及齊次邊界條件， ， ， ，也就是選擇，使得， ， .則這個(gè)非齊次常微分方程的通解為.代入齊次邊界條件可以得出， .于是.這樣就能導(dǎo)出所滿足的定解問題， ， ， ， ， ， ，它的一般解為，利用上