問(wèn)題33求圓錐曲線離心率或離心率范圍一、考情分析離心率的范圍問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,各種題型均有涉及,因聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)較多,且處理的思路和方法比較靈活,關(guān)鍵在于如何找到不等關(guān)系式,從而得到關(guān)于離心率的不等式,進(jìn)而求其范圍.很多同學(xué)掌握起來(lái)比較困難,本文就解決本類(lèi)問(wèn)題常用的處理方法和技巧加以歸納.二、經(jīng)驗(yàn)分享離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題一般有兩類(lèi)：一類(lèi)是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類(lèi)是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無(wú)論是哪類(lèi)問(wèn)題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問(wèn)題難點(diǎn)的根本方法2.要解決雙曲線中有關(guān)求離心率或求離心率范圍的問(wèn)題，應(yīng)找好題中的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于a，c的齊次式，進(jìn)而求解.(2)要注意對(duì)題目中隱含條件的挖掘，如對(duì)雙曲線上點(diǎn)的幾何特征2c的運(yùn)用三、知識(shí)拓展1.在求橢圓離心率范圍時(shí)常用的不等關(guān)系：，（P為橢圓上一點(diǎn)） 2.在雙曲線中，四、題型分析(一) 借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系 根據(jù)平面圖形的關(guān)系,如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系,然后將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進(jìn)行表示,進(jìn)而得到不等式,從而確定離心率的范圍.【例1】已知兩定點(diǎn)和,動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng),橢圓以為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn),則橢圓的離心率的最大值為（ ）A B C. D【答案】A【解析】關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,連接交直線于點(diǎn),則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為,所以橢圓的離心率的最大值為,故選A.【點(diǎn)評(píng)】求解本題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱(chēng)性求距離的最小值【小試牛刀】已知橢圓與圓,若在橢圓上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直,則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】橢圓上長(zhǎng)軸端點(diǎn)向圓外兩條切線PA,PB,則兩切線形成的角最小,若橢圓上存在點(diǎn)P令切線互相垂直,則只需,即,解得,即,而,即. (二) 借助題目中給出的不等信息根據(jù)試題本身給出的不等條件,如已知某些量的范圍,存在點(diǎn)或直線使方程成立,的范圍等,進(jìn)一步得到離心率的不等關(guān)系式,從而求解.【例2】 已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為為其右焦點(diǎn),若設(shè)且則橢圓離心率的取值范圍是 .【答案】【解析】左焦點(diǎn)為.連結(jié)可得四邊形是矩形,所以.所以又所以. .又因?yàn)?.所以.即.因?yàn)樗?所以.故填.【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義建立等量關(guān)系式,然后借助已知條件利用三角函數(shù)的圖象求解離心率的范圍.【小試牛刀】【百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆高三三月聯(lián)考】已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且， 斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意， 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)， ， ，故選A. (三) 借助函數(shù)的值域求解范圍根據(jù)題設(shè)條件,如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式,通過(guò)確定函數(shù)的定義域后,利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.【例3】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）A B C D【答案】A【解析】橢圓,雙曲線, 由條件有,則,由,有,即,而,.【點(diǎn)評(píng)】本題根據(jù)題設(shè)“相同的焦點(diǎn)”建立等量關(guān)系,得到函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而根據(jù)m的范圍,借助反比例函數(shù)求解離心率的范圍.【小試牛刀】已知二次曲線,則當(dāng)時(shí),該曲線的離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】由當(dāng)時(shí),二次曲線為雙曲線,雙曲線即為,且,則,即有,故選C. (四) 根據(jù)橢圓或雙曲線自身的性質(zhì)求范圍在求離心率的范圍時(shí)有時(shí)常用橢圓或雙曲線自身的性質(zhì),如橢圓中,P是橢圓上任意一點(diǎn),則等.【例4】設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn),且,若橢圓上存在點(diǎn)使得,則橢圓的離心率的最小值為（ ）A B C D【答案】D【解析】設(shè),由圓錐曲線的共同特征可得,所以,即,所以,又,解得,所以離心率的最小值為,故選D【點(diǎn)評(píng)】為橢圓上的一點(diǎn)是本題的關(guān)鍵條件,根據(jù)圓錐曲線的共同特征把轉(zhuǎn)化成基本量,與的關(guān)系式,結(jié)合橢圓的范圍,即可得到的不等式,從而求出其最小值【小試牛刀】【天津市南開(kāi)區(qū)2019屆高三上數(shù)學(xué)期末】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)M在雙曲線的左支上，且，則此雙曲線離心率的最大值為ABC2D【答案】A【分析】先由雙曲線的定義得到，再由點(diǎn)M在雙曲線左支上，即可得出結(jié)果.【解析】由雙曲線的定義可得，根據(jù)點(diǎn)M在雙曲線的左支上，可得，雙曲線離心率的最大值為，故選A四、遷移運(yùn)用1【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】?jī)烧龜?shù)的等差中項(xiàng)為，等比中項(xiàng)為，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)閮烧龜?shù)的等差中項(xiàng)為，等比中項(xiàng)為，所以，解得或，因?yàn)椋?，所?故選D2【江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三六校第一次聯(lián)考】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與的右支相交不同的兩點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A【解析】要使直線與雙曲線的右支相交不同的兩點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線即 ，所以 ，所以 ，故選A3【江西省高安中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中】如圖，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該雙曲線的離心率為（ ）A B2 C D【答案】C【解析】解：由題意得：四邊形的邊長(zhǎng)為2c, 連接,由對(duì)稱(chēng)性可知, |=|=2c,則三角形為等邊三角形.過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)H, 則=60，|=2c,在直角三角形中, |=, |=,則P(2c,), 連接, 則|=.由雙曲線的定義知,2a=|-|=-2c=,所以雙曲線的離心率為e=，故選C.4【寧夏銀川一中2019屆高三第一次模擬】雙曲線和直線，若過(guò)的左焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線與平行，則雙曲線的離心率為 （ ）A B C D【答案】A【解析】過(guò)的左焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線可寫(xiě)為：，即與平行 又 本題正確選項(xiàng)：5【遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校2019屆高三第五次模擬】如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】A【解析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，得，即，解之得：；因?yàn)椋匀切问且詾橹苯堑闹苯侨切?，所以，因此；在三角形中，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選A6【廣東省韶關(guān)市2019屆高三1月調(diào)研】設(shè)點(diǎn)為雙曲線和圓的一個(gè)交點(diǎn)，若，其中為雙曲線的兩焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）A2 B C D【答案】B【解析】圓是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，則，從而有，|M|c，c，由雙曲線的定義得，得離心率為，故選：B.7【廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在直線其中上存在點(diǎn)P，使線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是A B C D【答案】C【解析】由題意得 ， ，設(shè)點(diǎn)，則由中點(diǎn)公式可得線段的中點(diǎn) ，線段的斜率與的斜率之積等于，即，或舍去，又橢圓的離心率 ， 故，故選：C8【陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2019屆第一次適應(yīng)性訓(xùn)練】設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則C的離心率為A B C D【答案】C【解析】解：因?yàn)?、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，不妨設(shè)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知所以，,為最小邊,的最小內(nèi)角，根據(jù)余弦定理，即，所以故選：C9【北京市豐臺(tái)區(qū)2019屆高三上學(xué)期期末】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為6，那么該橢圓的離心率為A2 B C D【答案】D【解析】易知拋物線的焦點(diǎn)（2，0），準(zhǔn)線x=-2，即橢圓的c=2，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線恰好過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，即相交的線段為橢圓的通徑；即通徑為 ，又因?yàn)閏=2解得a=4所以離心率 故選D.10【四川省綿陽(yáng)市2019上學(xué)期期末】若雙曲線與雙曲線有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】由得的漸近線方程為，由得的漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線與雙曲線有公共點(diǎn)，所以只需，即，即，即，解得.故選C11【河北省武邑中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第一次質(zhì)檢】已知直線與雙曲線 的斜率為正的漸近線交于點(diǎn)，曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若，則雙曲線的離心率為（ ）A4或BCD【答案】D【解析】由漸近線方程與直線求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為,過(guò)A點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，則 由已知可得 當(dāng)時(shí)，則故舍去，綜上故選D12【貴州省貴陽(yáng)市普通中學(xué)2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期末】已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是ABCD【答案】D【解析】雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且直線AB垂直x軸，是鈍角三角形，是鈍角，即有，為左焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，即，由，可得，解得或，舍去，則雙曲線的離心率的范圍是故選：D13【山東省臨沂市2019屆高三2月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，C為短軸上不同于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，D為OC的中點(diǎn)，直線AD與BC交于點(diǎn)M，且MFAB，則該橢圓的離心率為A B C D【答案】B【解析】由題意如圖：MFAB，且OCAB，MFOC，同理MFOD，得到：=,2（ac）c+a，a3c，e故選：B14【吉林省長(zhǎng)春市2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二)】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且與漸近線垂直的直線分別與該漸近線和軸相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）A B C2 D 【答案】B【解析】由題意，取雙曲線的一條漸近線，即，則過(guò)右焦點(diǎn)與漸近線垂直的直線方程為，即，又由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又由，所以，即，又由原點(diǎn)到的距離為，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故選B.15【2019年四川省達(dá)州市一診】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為P，若，則橢圓C的離心率為A B或C D或【答案】D【解析】作拋物線的準(zhǔn)線l，則直線l過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直于直線l，垂足為點(diǎn)E，由拋物線的定義知，易知，軸，則，設(shè)，則，由橢圓定義可知，在中，由余弦定理可得，整理得，解得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，離心率為綜上所述，橢圓C的離心率為或故選：D16【山西省呂梁市2019屆高三上學(xué)期第一次模擬】已知橢圓：，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為1的直線與交于，兩點(diǎn)，若線段的中垂線與軸交于（為橢圓的半焦距），則橢圓的離心率為（ ） A B C D【答案】B【解析】設(shè)，則中點(diǎn).直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得，所以.可得.所以，因?yàn)?，即，所以，故選B.17【浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20)2019屆高三第一次聯(lián)考】已知，是橢圓與的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且滿足，則該橢圓的離心率是 A B C D【答案】B【解析】由題意可得：，可得，,可得，可得故選B18【山東省菏澤市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】結(jié)合題意，可知，故，結(jié)合，可知故，設(shè)，所以，所以，故選D。19【江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三六校第一次聯(lián)考】已知點(diǎn)O為雙曲線C的對(duì)稱(chēng)中心，直線交于點(diǎn)O且相互垂直，與C交于點(diǎn)，與C交于點(diǎn)，若使得成立的直線有且只有一對(duì)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為；所以漸近線方程為因?yàn)橹本€交于點(diǎn)O且相互垂直，與雙曲線C交于點(diǎn)，與C交于點(diǎn)，且使得成立的直線有且只有一對(duì)，所以可得，所以，即，所以.故選D 20【湖南省郴州市2018屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】設(shè)橢圓 ()的一個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，則 ，即， ， ，即，即 ，橢圓的離心率的取值范圍是，故選A.21【廣東省珠海一中等六校2018屆高三第三次聯(lián)考】已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，若,設(shè),且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】在，故選D22【廣東省六校2018屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考】已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連由于四邊形為矩形，故在中，由雙曲線的定義可得，即雙曲線的離心率的取值范圍是選D23【浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期末】已知點(diǎn)P在以為左右焦點(diǎn)的橢圓上，橢圓內(nèi)一點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】滿足QF1QP，點(diǎn)Q與點(diǎn)F2重合時(shí)，sinF1PQ=，不妨設(shè)|PF1|=13，則|PF2|=12可得：e=因此e當(dāng)點(diǎn)Q在最下端時(shí)，F(xiàn)1QF2最大，此時(shí)F1QF2Q可得點(diǎn)Q在橢圓的內(nèi)部，當(dāng)b=c，e=，因此綜上可得：故選C24【福建省寧德市2018屆高三上學(xué)期期末】已知、分別是橢圓： 的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 、分別是橢圓： 的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)， ， ， ，當(dāng)點(diǎn)為右頂點(diǎn)時(shí)，可取等號(hào)，故選D.25.F1、F2是橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使F1PF290,則橢圓的離心率的取值范圍是_【答案】e1【解析】設(shè)P(x0,y0)為橢圓