2020學(xué)年北京市東城區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）1.若集合A=x|-2x0，B=-2，-1，0，1，2，則AB=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集運(yùn)算得答案【詳解】集合表示到0的所有實(shí)數(shù)，集合表示5個(gè)整數(shù)的集合，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了交集的概念及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題2.下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一求解即可得答案.【詳解】，為純虛數(shù)的是，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及基本概念，是基礎(chǔ)題3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點(diǎn)的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的零點(diǎn)可判斷為奇函數(shù)，且存在零點(diǎn)為，為非奇非偶函數(shù)，為偶函數(shù)，不存在零點(diǎn)，故得解【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：為奇函數(shù)，且存在零點(diǎn)為x=0，與題意相符；對(duì)于選項(xiàng)B：為非奇非偶函數(shù)，與題意不符；對(duì)于選項(xiàng)C：為偶函數(shù)，與題意不符；對(duì)于選項(xiàng)D：不存在零點(diǎn)，與題意不符，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的零點(diǎn)，熟練掌握常見初等函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的等于（）A. 3 B. 12 C. 60 D. 360【答案】C【解析】【分析】通過程序框圖，按照框圖中的要求將幾次的循環(huán)結(jié)果寫出，得到輸出的結(jié)果【詳解】模擬執(zhí)行程序，可得， 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， 不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為60 故選C【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果問題時(shí)，常采用寫出幾次的結(jié)果找規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題5.“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱”的（）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的對(duì)稱軸為，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線，則，得，當(dāng)時(shí)，即“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性求出的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵6.某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A. 2 B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱錐的三視圖知該三棱錐是三棱錐，其中底面，由此能求出在該三棱錐中，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)【詳解】由三棱錐的三視圖知該三棱錐是如圖所示的三棱錐，其中底面，在該三棱錐中，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為，故選D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐中最長(zhǎng)棱長(zhǎng)的求法，考查三棱錐性質(zhì)及其三視圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題7.在極坐標(biāo)系中，下列方程為圓的切線方程的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心為，半徑，將每個(gè)選項(xiàng)分別利用直角坐標(biāo)表示，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系能求出結(jié)果【詳解】圓，即，圓的直角坐標(biāo)方程為，即，圓心為，半徑，在A中，即，圓心到的距離，故不是圓的切線，故A錯(cuò)誤；在B中，是圓，不是直線，故B錯(cuò)誤； 在C中，即， 圓心到的距離，故是圓的切線，故C正確； 在D中，即， 圓心到的距離，故不是圓的切線，故D錯(cuò)誤 故選C【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程的判斷，考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8.地震里氏震級(jí)是地震強(qiáng)度大小的一種度量地震釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M已知兩次地震的里氏震級(jí)分別為8.0級(jí)和7.5級(jí)，若它們釋放的能量分別為E1和E2，則的值所在的區(qū)間為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先把數(shù)據(jù)代入已知解析式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】，的值所在的區(qū)間為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)用以及運(yùn)算，熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）9.若滿足，則的最小值為_【答案】4【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義即可得到結(jié)論【詳解】作出，滿足對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由，得，平移直線，由，解得由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，此時(shí)，故答案為4【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.10.已知雙曲線-=1的一個(gè)焦點(diǎn)為，則m=_【答案】3【解析】【分析】由雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得的值，列出關(guān)于的方程，解出即可【詳解】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，即，解得，故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分析、的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11.若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，試寫出一組滿足條件的數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式：an=_，bn=_【答案】 (1). -n (2). 2【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得，即可得到所求通項(xiàng)公式，注意答案不唯一【詳解】等差數(shù)列的公差設(shè)為，等比數(shù)列的公比設(shè)為，可得， 即為， 可取，可得，則，故答案為，2【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題12.在菱形ABCD中，若，則的值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，則，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可【詳解】菱形中，由可得則，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積計(jì)算問題，由菱形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題13.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正弦與余弦公式化簡(jiǎn)，根據(jù)在上，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值【詳解】函數(shù)；，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差公式的應(yīng)用和計(jì)算能力，得到是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題14.已知函數(shù)f（x）為定義域?yàn)镽，設(shè)Ff（x）=若f（x）=，則Ff（1）=_；若f（x）=ea-|x|-1，且對(duì)任意xR，F(xiàn)f（x）=f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】通過的范圍，可得，代入可得所求值；由題意可得恒成立，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和參數(shù)分離，以及函數(shù)的最值求法，可得的范圍【詳解】若，由，可得，成立，即有，則；若，且對(duì)任意，可得恒成立，即為，即有，可得，即，由的最小值為，則，故答案為，【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)值和解析式，考查變形能力和轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用參數(shù)分離和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立是解決的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題，共80.0分）15.在ABC中，（1）求B的大??；（2）若ABC的面積為a2，求cosA的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值；（2）利用三角形的面積公式可求的值，根據(jù)余弦定理可求的值，進(jìn)而可求的值【詳解】（1）在ABC中，由正弦定理可得：，所以：，又， （2）因?yàn)锳BC的面積為，2，由余弦定理，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題16.某中學(xué)有學(xué)生500人，學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，獲得了他們某一個(gè)月課外閱讀時(shí)間的數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），將數(shù)據(jù)分為5組：10，12），12，14），14，16），16，18），18，20，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求頻率分布直方圖中的x的值；（2）試估計(jì)該校所有學(xué)生中，課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；（3）已知課外閱讀時(shí)間在10，12）的樣本學(xué)生中有3名女生，現(xiàn)從閱讀時(shí)間在10，12）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X為抽到女生的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）【答案】（1）0.15；（2）150；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖，通過概率和為1，即可求解；（2）利用分布直方圖求解即可；（3）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望【詳解】（1）由，可得0.15（2），即課外閱讀時(shí)間不小于16個(gè)小時(shí)的學(xué)生樣本的頻率為0.30.5000.30=150，所以可估計(jì)該校所有學(xué)生中，課外閱讀時(shí)間不小于16個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為150（3）課外閱讀時(shí)間在10，12）的學(xué)生樣本的頻率為0.082=0.16，500.16=8，即閱讀時(shí)間在10，12）的學(xué)生樣本人數(shù)為8，8名學(xué)生為3名女生，5名男生，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，；所以X的分布列為：X0123P故的期望【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.17.如圖1，在四邊形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，AE=EF，將四邊形ABFE沿EF折起，使平面ABFE平面EFCD（如圖2），G是BF的中點(diǎn)（1）證明：ACEG；（2）在線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使得DH平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，說明理由；（3）求二面角D-AC-F的大小【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，四邊形為正方形，由此能證明平面，從而；（2）由，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出在線段上存在一點(diǎn)，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小【詳解】證明：（1）在圖1中，可得AEF為等腰直角三角形，AEEF因?yàn)锳DBC，所以EFBF，EFFC因?yàn)槠矫鍭BFE平面EFCD，且兩平面交于EF，CF平面CDEF，所以CF平面ABFE又EG平面ABFE，故CFEG；由G為中點(diǎn)，可知四邊形AEFG為正方形，所以AFEG；又AFFC=F，所以EG平面AFC又AC平面AFC，所以ACEG（2）由（1）知：FE，F(xiàn)C，F(xiàn)B兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，設(shè)FE=1，則F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）設(shè)H是線段BC上一點(diǎn)，因此點(diǎn)由（1）知為平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因?yàn)槠矫鍭BFE，所以平面，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得（3）設(shè)A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）由（1）可得，是平面的法向量，設(shè)平面ACD的法向量為n=（x，y，z），由即令x=1，則y=1，z=1于是n=（1，1，1）所以所以二面角D-AC-F的大小為90【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題18.已知函數(shù)f（x）=axex-x2-2x（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程；（2）當(dāng)x0時(shí)，若曲線y=f（x）在直線y=-x的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案；（2）根據(jù)題意，原問題可以轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，求出的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得其最大值，分析可得答案【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)，又因?yàn)?，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程為；（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，“曲線y=f（x）在直線的上方”等價(jià)于“恒成立”，又由x0，則 ，則原問題等價(jià)于恒成立；設(shè)，則，又由，則，則函數(shù)在區(qū)間上遞減，又由，則有，若恒成立，必有，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的切線方程以及最值，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出或即得解，屬于中檔題.19.已知橢圓過點(diǎn)P（2，1）（1）求橢圓C的方程，并求其離心率；（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線l，設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上（點(diǎn)A不在直線l上），點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A，直線AP與C交于另一點(diǎn)B設(shè)O為原點(diǎn)，判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系，并說明理由【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，求出，結(jié)合離心率公式即可求得橢圓的離心率；（2）設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別求出，根據(jù)斜率公式，以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系即可得結(jié)果.【詳解】（1）由橢圓方程橢圓過點(diǎn)P（2，1），可得所以，所以橢圓C的方程為+=1，離心率e=，（2）直線AB與直線OP平行證明如下：設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），B（x2，y2），由得，同理，所以，由，有，因?yàn)锳在第四象限，所以，且A不在直線OP上，又，故，所以直線與直線平行【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了斜率和直線平行的關(guān)系，是中檔題20.對(duì)給定的dN*，記由數(shù)列構(gòu)成的集合（1）若數(shù)列an（2），寫出a3的所有可能取值；（2）對(duì)于集合（d），若d2求證：存在整數(shù)k，使得對(duì)（d）中的任意數(shù)列an，整數(shù)k不是數(shù)列an中的項(xiàng)；（3）已知數(shù)列an，bn（d），記an，bn的前n項(xiàng)和分別為An，Bn若|an+1|bn+1|，求證：AnBn【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析