云南省2020屆高三二輪復(fù)習(xí)專題（十一）題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座綜合運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想解決函數(shù)綜合問(wèn)題高考要求 函數(shù)綜合問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣 本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力 重難點(diǎn)歸納 在解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問(wèn)題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用 綜合問(wèn)題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能 因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件 學(xué)法指導(dǎo) 怎樣學(xué)好函數(shù)學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個(gè)問(wèn)題 準(zhǔn)確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念；揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法；認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí) (一)準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終 數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù) 近十年來(lái)，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線 (二)揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系 函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內(nèi)容 在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中，動(dòng)與靜、變量與常量如此生動(dòng)的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式 所謂函數(shù)觀點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是將問(wèn)題放到動(dòng)態(tài)背景上去加以考慮 高考試題涉及5個(gè)方面 (1)原始意義上的函數(shù)問(wèn)題；(2)方程、不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決；(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn)；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作為基本語(yǔ)言和工具出現(xiàn)在試題中 (三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法函數(shù)圖像的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖像的平移變換、對(duì)稱變換 (四)認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，求得問(wèn)題的解決 縱觀近幾年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大，因此一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)典型題例示范講解 例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0 (1)求f()、f();(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(2n+),求命題意圖 本題主要考查函數(shù)概念，圖像函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力 知識(shí)依托 認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)f(x1)f(x2)找到問(wèn)題的突破口 錯(cuò)解分析 不會(huì)利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)進(jìn)行合理變形 技巧與方法 由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 (1) 解 因?yàn)閷?duì)x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=,x0,1又因?yàn)閒(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2又f(1)=a0f()=a,f()=a(2)證明 依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR 又由f(x)是偶函數(shù)知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR 將上式中x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期 (3)解 由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a 又f(x)的一個(gè)周期是2f(2n+)=f(),an=f(2n+)=f()=a 因此an=a例2甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元 (1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？命題意圖 本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法 錯(cuò)解分析 不會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問(wèn)題，易忽略對(duì)參變量的限制條件 技巧與方法 四步法 (1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評(píng)價(jià) 解法一 (1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a+bv2=S(+bv)所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=S(+bv),v(0,c (2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)S(+bv)2S 當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)，式中等號(hào)成立 若c則當(dāng)v=時(shí)，有ymin2S；若c,則當(dāng)v(0,c時(shí)，有S(+bv)S(+bc)=S()+(bvbc)= (cv)(abcv)cv0,且cbc2,abcvabc20S(+bv)S(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，有ymin S(+bc)；綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=,當(dāng)c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c 解法二 (1)同解法一 (2)函數(shù)y=S(+bv),v(0,+),當(dāng)x(0, )時(shí)，y單調(diào)減小，當(dāng)x(,+)時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x=時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v(0,c 當(dāng)c時(shí)，則當(dāng)v=時(shí)，y最小，若c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小 結(jié)論同上 例3設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x0時(shí)f(x)0,f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)=f(x2x1)因?yàn)閤0時(shí)f(x)0,f(x1)f(x2)0f(x)在9，9上是減函數(shù)故f(x)的最大值為f(9),最小值為f(9) 而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f(9)=f(9)=12 f(x)在區(qū)間9，9上的最大值為12，最小值為12 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 函數(shù)y=x+a與y=logax的圖像可能是( )2 定義在區(qū)間(,+)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0，+)的圖像與f(x)的圖像重合，設(shè)ab0,給出下列不等式 f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(b)g(a) f(a)f(b)g(b)g(a)其中成立的是( )A 與B 與C 與D 與3 若關(guān)于x的方程22x+2xa+a+1=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 4 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|xa|+1,xR (1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值 5 設(shè)f(x)= (1)證明 f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)證明 方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式fx(x)0 求證 7 某工廠擬建一座平面圖(如下圖)為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋) (1)寫(xiě)出總造價(jià)y(元)與污水處理池長(zhǎng)x(米)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域 (2)求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求最低總造價(jià) 8 已知函數(shù)f(x)在(,0)(0,+)上有定義，且在(0,+)上是增函數(shù)，f(1)=0,又g()=sin2mcos2m,0,設(shè)M=m|g()0,mR,N=m|fg()1時(shí)和當(dāng)0a1時(shí) 答案 C2 解析 用特值法，根據(jù)題意，可設(shè)f(x)=x,g(x)=|x|,又設(shè)a=2,b=1,則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)f(b)=f(2)f(1)=2+1=3 g(b)g(a)=g(1)g(2)=12=1 f(a)f(b)g(1)g(2)=12=1 又f(b)f(a)=f(1)f(2)=1+2=3 g(a)g(b)=g(2)g(1)=21=1,f(b)f(a)=g(a)g(b) 即與成立 答案 C3 解析 設(shè)2x=t0，則原方程可變?yōu)閠2+at+a+1=0方程有兩個(gè)正實(shí)根，則解得 a(1,22 答案 (1，224 解 (1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x)2+|x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1,f(a)f(a),f(a)f(a) 此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) (2)當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+,若a,則函數(shù)f(x)在(,a上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f(a)=a2+1 若a,則函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f()=+a,且f()f(a) 當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+;當(dāng)a時(shí)，則函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為 f()=a,且f()f(a) 若a,則函數(shù)f(x)在a,+)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f(a)=a2+1 綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a,當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1;當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+ 5 (1)證明 由 得f(x)的定義域?yàn)?1，1)，易判斷f(x)在(1，1)內(nèi)是減函數(shù) (2)證明 f(0)=,f-1()=0,即x=是方程f-1(x)=0的一個(gè)解 若方程f-1(x)=0還有另一個(gè)解x0,則f-1(x0)=0,由反函數(shù)的定義知f(0)=x0,與已知矛盾，故方程f-1(x)=0有惟一解 (3)解 fx(x),即fx(x)f(0) 6 證明 對(duì)f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=x,又得f(x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)=f(x),f(x)在x(1,1)上是奇函數(shù) 設(shè)1x1x20,則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=f(),1x1x20,x1x20,1x1x20 0,于是由知f()0,從而f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在x(1,0)上是單調(diào)遞減函數(shù) 根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知f(x)在x(0,1)上仍是遞減函數(shù)，且f(x)0 7 解 (1)因污水處理水池的長(zhǎng)為x米，則寬為米，總造價(jià)y=400(2x+2)+2482+80200=800(x+)+1600,由題設(shè)條件 解得12 5x16,即函數(shù)定義域?yàn)?2 5，16 (2)先研究函數(shù)y=f(x)=800(x+)+16000在12 5,16上的單調(diào)性，對(duì)于任意的x1,x212 5,16,不妨設(shè)x1x2,則f(x2)f(x1)=800(x2x1)+324()=800(x2x1)(1),12 5x1x216 0x1x2162324,1,即10 又x2x10,f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1),故函數(shù)y=f(x)在12 5,16上是減函數(shù) 當(dāng)x=16時(shí)，y取得最小值，此時(shí)，ymin=800(16+)+16000=45000(元)，=12 5(米）綜上，當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米，寬為12 5米時(shí)，總造價(jià)最低，最低為45000