第5講 數(shù)列的通項(xiàng)與求和學(xué)習(xí)目標(biāo)【目標(biāo)分解一】求數(shù)列通項(xiàng)常用的四種方法【目標(biāo)分解二】掌握等差(比)數(shù)列求和公式及方法、裂項(xiàng)相消求和.【目標(biāo)分解三】掌握數(shù)列分組求和、錯(cuò)位相減求和的方法.重點(diǎn)裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和【課前自主復(fù)習(xí)區(qū)】核心知識(shí)儲(chǔ)備1數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系：an提醒：在利用anSnSn1(n2)求通項(xiàng)公式時(shí)，務(wù)必驗(yàn)證n1時(shí)的情形2 遞推公式求通項(xiàng)常用的方法和技巧(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納猜想法(2)已知Sn與an的關(guān)系，利用an求an.(3)累加法 an1anf(n)，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf(n)(4)累乘法an1f(n)an，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為f(n)(5)構(gòu)造法an1qanp(其中p，q均為常數(shù)，pq(q1)0)，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tq(ant)，其中t，再利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解3數(shù)列求和常用的方法(1)分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cnanbn形式的數(shù)列求和問(wèn)題的方法，其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列(2)裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)代數(shù)式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的求和方法形如(其中an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列等(3)錯(cuò)位相減法：形如anbn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：巧拆分；構(gòu)差式；求和(4)倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等，可以用此法，一般步驟：求通項(xiàng)公式；定和值；倒序相加；求和；回顧反思易錯(cuò)提醒(1)公比為字母的等比數(shù)列求和時(shí)，需注意分類討論(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng).(3)在裂項(xiàng)變形時(shí)，務(wù)必注意裂項(xiàng)前的系數(shù).高考真題回訪1.an與an1的關(guān)系 (2020全國(guó)卷)數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.2數(shù)列求和 (2020全國(guó)卷)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為()A3 690 B3 660 C1 845 D1 8303.(2020全國(guó)卷改編)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S30，S55.則(1)an的通項(xiàng)公式為_；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為_4(2020全國(guó)卷改編)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根，則(1)an的通項(xiàng)公式為_；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為_【課堂互動(dòng)探究區(qū)】【目標(biāo)分解一】由遞推關(guān)系求an ,Sn【例1】(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求Sn)已知數(shù)列an滿足an13an2.若首項(xiàng)a12，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_. 【例2】(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求an)數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【我會(huì)做】1已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 018()A1 B C1D22已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an2n ，則Sn_. 【我能做對(duì)】1.(2020鄭州模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.【目標(biāo)分解二】裂項(xiàng)相消法求和【例3】(本小題滿分12分)(2020全國(guó)卷)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. 裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常見的裂項(xiàng)方式有：提醒：在裂項(xiàng)變形時(shí)，務(wù)必注意裂項(xiàng)前的系數(shù).【我能做對(duì)】(2020鄭州第三次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，且滿足Snan1n1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnlog3(an1)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn.【目標(biāo)分解三】錯(cuò)位相減求和【例4】設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形. 2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“SnqSn”的表達(dá)式.(3)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，這在以前的高考中經(jīng)常考查.【我會(huì)做】1.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比q0，S22a22，S3a42.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.2.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d1時(shí)，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.【我能做對(duì)】已知在公比大于1的等比數(shù)列an中，a2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個(gè)零點(diǎn)(1)求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn.【課后作業(yè)】：專題限時(shí)集訓(xùn)(二)1.已知等比數(shù)列an中，a2a84a5，等差數(shù)列bn中，b4b6a5，則數(shù)列bn的前9項(xiàng)和S9等于()A9B18C36D722 (2020全國(guó)卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_. 3 (2020全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.4.(2020全國(guó)卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10 (1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式5.(2020全國(guó)卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和6.已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且. (I)求數(shù)列an通項(xiàng)公式；(II) bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.7.【2020課標(biāo)3，文17】設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列 的前項(xiàng)和.8已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S36，S515. (1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 9.已知函數(shù)f(x)x2bx為偶函數(shù)，數(shù)列an滿足an12f(an1)1，且a13，an1.(1)設(shè)bnlog2(an1)，證明：數(shù)列bn1為等比數(shù)列；(2)設(shè)cnnbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.10(2020全國(guó)卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：