3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用近幾年來導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題在高考試卷中已經(jīng)出現(xiàn)，并且新教材中導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用體的比重也有所增加，因此應(yīng)更加重是這方面的學(xué)習(xí)。現(xiàn)在，我們研究幾個(gè)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的實(shí)際問題。1 有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的的兩側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為3a元和5a元，問供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最省？CBDxA分析：根據(jù)題設(shè)建立數(shù)學(xué)模型，借助圖像尋找個(gè)條件間的聯(lián)系，適當(dāng)設(shè)定變?cè)瑯?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)和其他方法求出最值，可確定C點(diǎn)的位置。解法一：據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，如圖所示，則BD=40，AC=50x, 又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，由題意得令在（0，50）上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時(shí)AC=50-x=20(km)，所以供水站建立在A、D之間距甲廠20間距甲廠20km處，可是水管費(fèi)用最省。解法二：設(shè)則，。設(shè)總的水管費(fèi)用為，依題意，有+=令。根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，（km），即供水站建在即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可是供水管費(fèi)用最省。評(píng)注：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問題中加以說明。2. 生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)一件次品則損失100元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是（1） 將該產(chǎn)品的日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x的函數(shù)。（2） 為獲最大利潤(rùn)，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？分析：次品率p=日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量。每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為正品數(shù)為x(1p)。解：因?yàn)榇纹仿?，?dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有件次品，有件正品，所以=。由得x=16,或x=(舍去)。當(dāng)時(shí)，時(shí)所以，當(dāng)x=16時(shí)，T最大。及該廠的日產(chǎn)量為6件時(shí)，能獲得最大盈利。3. 若電燈（B）可在過桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動(dòng)，桌面上由與點(diǎn)O距離為a的另一點(diǎn)A，問電燈與點(diǎn)O的距離為多大時(shí)，可使點(diǎn)A出有最大的亮度？（如圖，有光學(xué)知識(shí)，亮度y與成正比，與成反比）xarBAo解：設(shè)O 到B的距離為x，則于是=（c適于燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）。當(dāng)即方程的根為（舍）與x+0 極大值所以在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)在點(diǎn)取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與O點(diǎn)距離為時(shí)，點(diǎn)A 的亮度y為最大。4. 現(xiàn)要制作一個(gè)體積為30的圓柱形無蓋容器，其底面用鋼板，側(cè)面用鋁板。已知每平方米鋼板的價(jià)格是鋁板的3倍，問怎樣設(shè)計(jì)才能是材料費(fèi)用最少？分析：這是一道實(shí)際應(yīng)用題，列出材料費(fèi)用的函數(shù)式，把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值的問題。解析：設(shè)圓柱形容器的底面半徑為xm，則圓柱的高為，底面面積為，側(cè)面積為。又設(shè)每平方米鋁板的價(jià)格為a元，鋼板的價(jià)格為3a元，總費(fèi)用為y元，則，令得因?yàn)閥只有一個(gè)使其為零的點(diǎn)，即只有一個(gè)極值點(diǎn)。由題意，y一定有最小值，故此極值點(diǎn)就是y的最小值點(diǎn)，這是圓柱的高為（m）。故圓柱的底面半徑為m，高為m時(shí)總費(fèi)用最少。點(diǎn)評(píng)：在建立函數(shù)表達(dá)式時(shí)，首先要適當(dāng)選取自變量及其取值范圍，自變量選得恰當(dāng)有時(shí)可減少運(yùn)算量。5. （2020年遼寧）甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠。由于乙方生產(chǎn)需要占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定的凈收入。在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x(元)與年產(chǎn)量t噸滿足函數(shù)關(guān)系。若乙方每年生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價(jià)格）。（1）將乙方的年利潤(rùn)（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額，在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少?解：（1）法一：因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，取得最大值。所以乙方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量噸。法二：因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為由令得當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，取得最大值。所以乙方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量噸。（2）解：設(shè)甲方凈收入為元，則。將代入上式，得到甲方凈收入與賠付價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式又令，得s=20。當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，所以s=20時(shí)，v取得最大值。因此甲方向乙方要求賠付價(jià)格s=20元/噸時(shí)，獲最大凈收入。評(píng)述：本題主要考查函數(shù)的概念，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值、最小值的方法以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問題的能力。6. （2020年全國(guó)3）用長(zhǎng)為 90cm、寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四角分別截取一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)角，再焊接而成（如圖）。問該容器高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器高為xc