.,1,Home,目錄,3.2柯西-古薩基本定理,3.3柯西積分公式,3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),3.1復(fù)積分的概念,第3章復(fù)變函數(shù)的積分,.,2,3.1復(fù)積分的概念,1復(fù)變函數(shù)的積分定義,定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為:,.,3,.,4,2復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：,.,5,復(fù)積分的計(jì)算方法：,一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分,.,6,1線性性：,3復(fù)積分的性質(zhì)：,.,7,例題1,（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針?lè)较虻膯挝话雸A周。,解（1）,.,8,（2）參數(shù)方程為,可見(jiàn)積分與路徑有關(guān)。,.,9,例題2,解：,例如,.,10,例題3,解：,可見(jiàn)，積分僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),而與路徑無(wú)關(guān)。,.,11,例題4,證明：,.,12,定理1（Cauchy-Goursat）,如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:,注1：定理中的曲線C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。,3.2柯西-古薩基本定理,.,13,注2：如果曲線C是D的邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)與C上解析,即在閉區(qū)域D+C上解析,甚至f(z)在D內(nèi)解析,在閉區(qū)域D+C上連續(xù),則f(z)在邊界上的積分仍然有,推論：,與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。,如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，,.,14,柯西-古薩基本定理還可推廣到多連通域:,假設(shè)C及C1為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則,定理2(復(fù)合閉路定理),.,15,證明：取,這說(shuō)明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。,-閉路變形原理,.,16,推論（復(fù)合閉路定理）：,(互不包含且互不相交)，,所圍成的多連通區(qū)域，,.,17,例題1,C如圖所示：,解：,存在f(z)的解析單連通域D包含曲線C，故積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。,或,現(xiàn)設(shè)z=it，t從-3變化到1，,.,18,例題2求,C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。,解：,現(xiàn)分別以z=0,1為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.,.,19,.,20,練習(xí)：計(jì)算積分,解：現(xiàn)分別以z=1,2為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.由復(fù)合閉路定理知：,.,21,3.3柯西積分公式,若f(z)在D內(nèi)解析，則,分析：,在上節(jié)的基礎(chǔ)上,我們來(lái)進(jìn)一步探討如下積分:,.,22,定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則,-解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。,.,23,證由于f(z)在z0連續(xù),任給e0,存在d(e)0,當(dāng)|z-z0|d時(shí),|f(z)-f(z0)|e.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且Rd.,.,24,從而有:,.,25,例題1計(jì)算,解：,因?yàn)閒(z)=cosz在復(fù)平面上解析,又-i在內(nèi),所以,.,26,例題2計(jì)算,解：方法1,因?yàn)閒(z)=sinz在復(fù)平面上解析,又-1,1均在內(nèi),所以,.,27,解：方法2,利用復(fù)合閉路定理,分別以-1,1為圓心,作兩個(gè)互不相交互不包含的圓周C1，C2,.,28,練習(xí)計(jì)算,解：,因?yàn)楸环e函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn),所以,.,29,例題3,解：,.,30,.,31,一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說(shuō)它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.,3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),.,32,定理解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:,其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.,.,33,證設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即,因此就是要證,.,34,按柯西積分公式有,.,35,因此,現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0,而,.,36,f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|1.,解1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.,.,40,.,41,練習(xí):求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=2.,解：,因?yàn)閦=1在|z|=2包圍的區(qū)域D內(nèi)，又f（z）=5z2-3z+2在復(fù)平面上解析.,.,42,練習(xí):求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=3/2.,解：由于,在|z|=3/2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z=0,z=-1，分別分別以0,-1為圓心,作兩個(gè)互不相交互不包含