1 求數(shù)列前 n 項(xiàng)和 的 8 種 常用 方法 一 定義法） ： 1 1() ( 1 )22nn n a a n a d 特別 地 ，當(dāng)前 n 項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， 2 1 1( 2 1 )k a ，即前 n 項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算； （ 1） 1q ， 1nS ； （ 2） 1q ， 1 11，特別要注意對(duì)公比的討論； 比數(shù)列的數(shù)列； （ 1）1 121 2 3 ( 1 )n n n L ； （ 2）21 2 2 2 2 1163 11 2 3 ( 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 )2n n n n n n n L ； （ 3）31 3 3 3 3 2( 1 )21 2 3 L ； （ 4）1(2 1) 21 3 5 ( 2 1 ) L . 例 1 已知33 x，求 23 nx x x x 的前 項(xiàng)和 . 解：由212l o gl o o g 1l o g 3323 23 x x x x L1 )1(211)211(21 n 1例 2 設(shè) 1 2 3 ， *n N ,求1)32()(n 解： 易知 )1(21 n， )2)(1(211 n 1)32()(n 4342 nn n50)8(12 當(dāng) 88n ，即 8n 時(shí)， 501)( 二 如果一個(gè)數(shù)列 首末兩端等 “ 距離 ” 的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù) ，那 2 么求這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的 ，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n 個(gè) )(1 . 例 3 求 89s 2222 的值 解：設(shè) 89s i i i i i n 22222 S 將式右邊反序得 1s i i i i i n 22222 S （反序） 又因?yàn)?1c o ss 90c o s (s 2 +得 （反序相加） )89c o s i n)2c o s i n)1c o s i 22222 S 89 S 4 函數(shù) 1 x ，求 1 1 11 2 2 0 1 2 12 0 1 2 2 0 1 1 2f f f f f f f 的值 . 三 適用于差比數(shù)列（如果 么 做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以 q ，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減， 即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 . 如：等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的 . 例 5 求和： 132 )12(7531 nn 解：由題可知， 1)12( 的通項(xiàng)是等差數(shù)列 21n 的通項(xiàng)與等比數(shù)列 1的通項(xiàng)之積 設(shè) nn 12(7531 432 （設(shè)制錯(cuò)位） 得 12(222221)1( 1432 （錯(cuò)位相減） 即 ： 12(1121)1( 1 21)1()1()12()12( 變式 求數(shù) 列 ,22,26,24,22 32 n 項(xiàng)的和 . 解：由題可知， 22的通項(xiàng)是等差數(shù)列 2n 的通項(xiàng)與等比數(shù)列 的通項(xiàng)之積 設(shè)226242232 1432 2226242221 （設(shè)制錯(cuò)位） 得 ，1432 222 22 22 22 222)211( （錯(cuò)位相減） 11 222 12 3 124 2 四 即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。這是分解與組合思想 （分是為了更好地合） 在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 . 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的 . 適用于1， 其中 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。 其基本方法是 1na f n f n . 常見裂項(xiàng)公式 ： （ 1） 1 1 1( 1) 1n n n n， 1 1 1 1() ()n n k k n n k；111 1 1 1()n n n na a d a a （ 公差為 d ）； （ 2）1111 () .（根式 在分 母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和） ；（ 3） 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )n n n n n n n ； （ 4） 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1na n n n n ； )121121(211)12)(12()2( 2 （ 5）)1( 11,2)1( 1212 1)1( )1(22 1)1( 21 則； （ 6） t t )1co s (co ； （ 7） 11( 1 ) ! ! ( 1 ) !nn n n； （ 8）常見放縮公式： 2 1 211112 ( ) 2 ( )n n n nn n n n n . 例 6 求數(shù)列 ,11,321,211n 項(xiàng)和 . 解：設(shè) n 111 （裂項(xiàng)） 則 11321211 n（裂項(xiàng)求和） )1()23()12( 11n 例 7 求和 1 1 1 11 3 3 5 5 7 ( 2 1 ) ( 2 1 )nS . 例 8 在數(shù)列 1211 n n，又12求數(shù)列 前 n 項(xiàng)的和 . 4 解： 211211 nn n )111(82122 n（裂項(xiàng)） 數(shù)列 n 項(xiàng)和 )111()4131()3121()211(8 n （裂項(xiàng)求和） )111(8 n 18 求證： 1s i o o o s 12c o o s 11c o o s 12解：設(shè) 89c 1c S t t )1co s (co （裂項(xiàng)） 89c 1c S （裂項(xiàng)求和 ） 88t a t a n)2t a t a n)1t a t a n)0t a ( t a i n 1 )0ta ta 1 1 原等式成立 變式 求 1 1 1 13 1 5 3 5 6 3 . 解：1 1 1 13 1 5 3 5 6 31 1 1 11 3 3 5 5 7 7 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 5 2 5 7 2 7 91 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 3 5 5 7 7 911(1 )2949 五 例 10 在等差數(shù)列 2 52 3 , 2 2 ，求：（ 1）數(shù)列 2）數(shù)列 n 項(xiàng)和 . 六 和 法 : 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列， 可把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè) 5 項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成 常見的 數(shù)列，然后 分別 求和， 再將其合并即可 . 例 11 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： 231,71,41,1112 n， 解 ：設(shè) )231()71()41()11(12 )23741()1111( 12 （分組） 當(dāng) 1a a 1 時(shí)，2 )13( n 2 )13( 分組求和） 當(dāng) 1a 時(shí)，2)13(1111 2 )13(11 aa n . 例 12 求數(shù) 列 1 2 1n n n的前 n 項(xiàng)和 . 解：設(shè) 23 32)12)(1( 2)(1( )32( 231將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 321 1 123n n k kS k k k （分組） )21()21(3)21(2 222333 2 )1(2 )12)(1(2 )1(22 （分組求和） 2 )2()1(2 變式 求數(shù)列 1 1 1 11 , 2 , 3 , , ,2 4 8 2 的前 n 項(xiàng)和 . 解：231 1 1 11 2 3 ( )2 4 8 21 1 1 1(1 2 3 ) ( )2 2 2 211( 1 ) 122n 七 求和 法 ： 在數(shù)列求和過程中，將某些項(xiàng)分組合并后即可轉(zhuǎn)化為 具有某種特殊的性質(zhì)的 特殊數(shù)列 ，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，最后 再將它們求和 ，則稱之為并項(xiàng)求和 1 f n類型， 可采用兩項(xiàng)合并求 例 13 求 + + + + + 的值 . 解 ： 設(shè) + + + .+ + )180c o s (c o s （ 找特殊性質(zhì)項(xiàng) ） （ + +（ + + （ + +L +（ + + （ 合并求和 ） 0 6 例 14 數(shù)列 na： 12321 ,2,3,1，求2002S. 解：設(shè)2002S2002321 由 12321 ,2,3,1可得 ,2,3,1 654 ,2,3,1,2,3,1 121110987 2,3,1,2,3,1 665646362616 0665646362616 特殊性質(zhì)項(xiàng)） 2002S2002321 （合并求和） )()()(66261612876321 ( 2002200120001999 46362616 5 例 15 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若103231365 lo g,9 求的值 . 解：設(shè)1032313 lo g n 由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)） 和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) lo )l o g( l o g)l o g( l o g)l o g( l o g 6353932310313 n （合并求和） )( l o g)( l o g)( l o 9lo 10 變式 求和 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 9 9 1 0 0 . 八 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法 . 例 16 求11 1 1 1 1 1 1 1 1 1n 個(gè)之和 . 7 解：由于1 1111 1 1 1 9 9 9 9 ( 1 0 1 )99 kk k 個(gè) 個(gè)（找通項(xiàng)及特征） 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1n 個(gè) )110(91)110(91)110(91)110(91 321 n（分組求和） 1 2 3111( 1 0 1 0 1 0 1 0 ) 1 1 1 199 n n 個(gè)9110 )110(1091 )91010(811 1 例 17 已知數(shù)列 1 1)(1(,)3)(1( 8n 的值 . 解： )4)(2( 1)3)(1( 1)1(8)(1( 1 通項(xiàng)及特征） )4)(3( 1)4)(2( 18 制分組） )4131(8)4121(4 項(xiàng)） 111 1)4131(8)4121(4)(1(nn （分組、裂項(xiàng)求和） 418)4131(4 313變式 求55 5 5 5 5 5 5 5 5 5n 個(gè)的前 n 項(xiàng)和 .