2015）期中數學試卷 一、選擇題：（本題共 30分，每小題 3分） 1下列式子中，屬于最簡二次根式的是 ( ) A B C D 2已知 接 B= ) A B C D 3下列實數中是無理數的是 ( ) A B C 0. D 4若式子 在實數范圍內有意義，則 ) A a 3 B a3 C a 3 D a3 5下列三個長度的線段能組成直角三角形的是 ( ) A 1， ， B 1， ， C 2， 4， 6 D 5， 5， 6 6下列等式不成立的是 ( ) A（ ） 2= a（ a0） B =a C（ ） 3= 3 D = 3 7若等腰三角形的腰長為 5長為 8么腰上的高為 ( ) A 12 10 6面積為 10的邊長介于 ( ) A 2B 3C 4D 59我國古代數學家趙爽的 “勾股方圓圖 ”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是 25，小正方形的面積是 1，直角三角形的兩直角邊分別是 a和 b，那么（ a+b） 2的值為 ( ) A 49 B 25 C 13 D 1 10如圖，四邊形 B= D=90， A=45， ， ，則 ) A 3 B 2 C D 二、填空題：（本題共 20分，每題 2分） 11 144的算術平方根是 _， 的平方根是 _ 12化簡： =_， 3 =_ 13比較大小： _ （填 “、或 =”） 14在實數范圍內分解因式： 48a=_ 15若二次根式 是最簡二次根式，則最小的正整數 a=_ 16若矩形的一個角的平分線分一邊為 4部分，則矩形的周長為_ 17如圖， 邊作等邊 接 ， ，則 _ 18如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為 _（結果保留 ） 19如圖， C=90，以斜邊 正方形對角線交于點 O，連接 知 ， ，則另一直角邊 _ 20如圖， C=90， ， 分別以 塊陰影部分的面積分別為 則 2+ 4等于 _ 三、解答題：（本題共 50分） 21計算： +（ ） 1（ +2） 0+|1 | 22解方程： （ 1） 16（ x+1） 2 1=0； （ 2）（ x 3） 3=27 23先化簡，再求值：（ ） ，其中 x= 24實數 a、 化簡： |a| 25如圖，長方形 D ， 將此長方形沿 點 重合，點 處 （ 1）試判斷 說明理由； （ 2）求 26附加題：如圖，在四邊形 D 的中點，且 F （ 1）求證： D； （ 2）請你探究 證明你的結論 27請在下列三個 22的方格中，各畫出一個三角形，要求所畫三角形是圖中三角形經過軸對稱變換后 得到的圖形，且所畫的三角形頂點與方格中的小正方形頂點重合，并將所畫三角形涂上陰影（注：所畫的三個圖形不能重復） 28如圖，在矩形 ， ，點 點 恰好落在 平分線上時， 長為多少？ 29如圖 1所示，等邊 據等腰三角形的 “三線合一 ”特性， 有 0， 于是可得出結論 “直角三角形中， 30角所對的直角邊等于斜邊的一半 ” 請根據從上面材料中所得到的信息解答下列問題： （ 1） A： B： C=1： 2： 3， AB=a，則 _； （ 2）如圖 2所示，在 0， ，垂足為 E，當 B=30時， _ （ 3）如圖 3所示，在 C， A=120， 足為E，那么 _ （ 4）如圖 4所示，在等邊 D、 C、 且 D、 ，作 ，猜想 說明理由 2015）期中數學試卷 一、選擇題：（本題共 30分，每小題 3分） 1下列式子中，屬于最簡二次根式的是 ( ) A B C D 【考點】 最簡二次根式 【分析】 根據最簡二次根式必須滿足兩個條件：（ 1）被開方數不含分母；（ 2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式進行判斷即可 【解答】 解： A、 =3，被開方數含能開得盡方的因數 ，不是最簡二次根式； B、 是最簡二次根式； C、 =2 ，被開方數含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式； D、 ，被開方數含分母，不是最簡二次根式； 故選： B 【點評】 本題考查最簡二次根式的定義，掌握最簡二次根式必須滿足兩個條件：（ 1）被開方數不含分母；（ 2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式是解題的關鍵 2已知 接 B= ) A B C D 【考點】 線段垂直平分線的性質 【分析】 根據線段的垂直平分線的性質進行分析即可得到答案 【解答】 解： B， 點 C， 點 故選： D 【點評】 本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵 3下列實數中是無理數的是 ( ) A B C 0. D 【考點】 無理數 【分析】 無 理數就是無限不循環(huán)小數理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱即有限小數和無限循環(huán)小數是有理數，而無限不循環(huán)小數是無理數由此即可判定選擇項 【解答】 解： A、 =2是整數，是有理數，選項錯誤； B、 是無理數，選項正確； C、 0. 是無限循環(huán)小數，是有理數，選項錯誤； D、 是分數，是有理數，選項錯誤 故選 B 【點評】 此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有： ， 2等；開方開不盡的數；以及像 等有這樣規(guī)律的數 4若式 子 在實數范圍內有意義，則 ) A a 3 B a3 C a 3 D a3 【考點】 二次根式有意義的條件 【分析】 根據被開方數大于等于 0列式計算即可得解 【解答】 解：由題意得， a 30， 解得 a3 故選 B 【點評】 本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數 5下列三個長度的線段能組成直角三角形的是 ( ) A 1， ， B 1， ， C 2， 4， 6 D 5， 5， 6 【考點】 勾股定理的逆定理 【分析】 根據勾股定理的逆定理進行判斷 【解答】 解 ： A、 12+（ ） 2=（ ） 2， 本選項正確； B、 12+（ ） 2（ ） 2， 本選項錯誤； C、 22+4262， 本選項錯誤； D、 52+5262， 本選項錯誤； 故選 A 【點評】 本題考查了勾股定理的逆定理，判斷線段能否組成直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可 6下列等式不成立的是 ( ) A（ ） 2= a（ a0） B =a C（ ） 3= 3 D = 3 【考點】 立方根；平方根 【分析】 A、根據平方根的性質化簡即可判定； B、根據平方根的性質化簡即可判定； C、根據立方根的性質化簡即可判定； D、根據平方根的性質化簡即可判定 【解答】 解： A、 a0，則 a0，所以（ ） 2= a，故選項正確； B、 =a（ a0），故選項錯誤； C、（ ） 3= 3，故選項正確； D、 3 0，所以 =（ 3 ） = 3，故選項正確 故選 B 【點評】 本題考查了平方根和立方根的概念 注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數； 0的平方根是 0；負數沒有 平方根 立方根的性質：一個正數的立方根式正數，一個負數的立方根是負數， 0的立方根是 0 7若等腰三角形的腰長為 5長為 8么腰上的高為 ( ) A 12 10 6考點】 等腰三角形的性質；勾股定理 【分析】 可以作出底邊上的高，且易求出底邊上的高為 3利用等積法可求得腰上的高 【解答】 解：如圖， C=5點 D 則 勾股定理可求得 設腰上的高為 h，則 D= ABh， 即 83= 5h， 解得 h= 故選 C 【點評】 本題主要考查等腰三角形的性質，在解題中等積法的應用可以起到事半功倍的效果 8面積為 10的邊長介于 ( ) A 2B 3C 4D 5【考點】 估算無理數的大小 【分析】 易得正方形的邊長，看在哪兩個正整數之間即可 【解答】 解：正方形的邊長為 ， ， 3 4， 其邊長在 3 故選： B 【點評】 考查估算無理數的大??；常用夾逼法求得無理數的范圍 9我國古代數學家趙爽的 “勾股方圓圖 ”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是 25，小正方形的面積是 1，直角三角形的兩直角邊分別是 a和 b，那么（ a+b） 2的值為 ( ) A 49 B 25 C 13 D 1 【考點】 勾股定理 【專題】 圖表型 【分析】 根據正方形的面積公式以及勾股定理，結合圖形進行分析發(fā)現：大正方形的面積即直角三角形斜邊的平方 25，也就 是兩條直角邊的平方和是 25，四個直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正方形的面積即 24根據完全平方公式即可求解 【解答】 解：由于大正方形的面積 25，小正方形的面積是 1， 則四個直角三角形的面積和是 25 1=24，即 4 4， 即 24， a2+5， 則（ a+b） 2=25+24=49 故選： A 【點評】 本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是注意完全平方公式的展開：（ a+b）2=a2+要注意圖形的面積和 a， 10如圖，四邊形 B= D=90， A=45， ， ，則 ) A 3 B 2 C D 【考點】 等腰直角三角形 【分析】 延長 延長線相交于點 E，根據 而求出 【解答】 解：如圖，延長 延長線相交于點 E， D=90， A=45， E=45，又 0 設 BC=x，則 （ C） =E （ 1+ x） =3+x 解得： x=3 故選 D 【點評】 本題考查了等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵 二、填空題：（本題共 20分，每題 2分） 11 144的算術平方根是 12， 的平方根是 2 【考點】 算術平方根；平方根 【分析】 （ 1）由于算術平方根的定義：一個非負數的正的平方根，即為這個數的算術平方根利用這個定義即可求出結果 （ 2） =4，也就是求 4的平方根 【解答】 解： 12的平方為 144， 144的算術平方根為 12 =4 4的平方根就是 =2 故答案為 ： 12， 2 【點評】 此題主要考查了算術平方根的定義，此題注意：算術平方根的概念易與平方根的概念混淆而導致錯誤弄清概念是解決本題的關鍵 12化簡： = ， 3 = 9 【考點】 實數的運算 【分析】 第一個式子根據二次根式的乘法法則計算； 第二個先化簡，再合并同類二次根式 【解答】 解： = ； 3 =3 12 = 9 故答案為： ， 9 【點評】 此題主要考查了實數的運算無理數的運算法則與有理數的運算法則是一樣的在進行根式的運算時要先化簡再計算可使計算簡便 13比較大?。?（填 “、或 =”） 【考點】 實數大小比較 【分析】 先把兩個實數平方，然后根據實數的大小比較方法即可求解 【解答】 解： （ ） 2=12，（ 3 ） 2=18， 而 12 18， 2 3 故答案為： 【點評】 此題主要考查了實數的大小的比較，比較兩個實數的大小，可以采用作差法、取近似值法、比較 14在實數范圍內分解因式： 48a=4a（ a+ ）（ a ） 【考點】 實數范圍內分解因式 【分析】 首先提公因式 4a，然后利用平方差公式分解 【解答】 解：原 式 =4a（ 2） =4a（ a+ ）（ a ） 故答案是： 4a（ a+ ）（ a ） 【點評】 本題考查實數范圍內的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式在實數范圍內進行因式分解的式子的結果一般要分到出現無理數為止 15若二次根式 是最簡二次根式，則最小的正整數 a=2 【考點】 最簡二次根式 【分析】 判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐 個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是 【解答】 解：二次根 式 是最簡二次根式，則最小的正整數 a=2， 故答案為： 2 【點評】 本題考查最簡二次根式的定義根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式 16若矩形的一個角的平分線分一邊為 4矩形的周長為 22或 20 【考點】 矩形的性質 【分析】 本題需分兩種情況解答 即矩形的一個角的平分線分一邊為 4者矩形的角平分分一邊為 3 當矩形的一個角的平分線分一邊為 4形的周長為 2（ 3+4） +24=22 當矩形的角平分分一邊為 3形的周長為 2（ 3+4） +23=20 【解答】 解：分兩種情況： 當矩形的一個角的平分線分一邊為 4形的周長為 2（ 3+4） +24=22 當矩形的角平分分一邊為 3 形的周長為 2（ 3+4） +23=20 【點評】 本題考查的是基本的矩形性質，考生需要注意的是分兩種情況作答即可 17如圖， 邊作等邊 接 ， ，則 【考點 】 全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質 【分析】 在 使得 D，即可判定 得 G=證 可證明 得 E，即可解題 【解答】 解：在 使得 D， 0， G= 0， 0， 在 ， E， G+E+， 故答案為： 4 【點評】 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了等邊三角形的判定和性質，本題中求證 18如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為 72（結果保留 ） 【考點】 勾股定理 【分析】 利用勾股定理求出另一直角邊，再由圓的面積公式計算即可 【解答】 解：如圖所示： a= =24， 故陰影部分的面積 = 122=72 故答案為： 72 【點評】 本題考查了勾股定理 的知識，解答本題的關鍵是利用勾股定理求出半圓的直徑 19如圖， C=90，以斜邊 正方形對角線交于點 O，連接 知 ， ，則另一直角邊 【考點】 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形 【專題】 計算題；壓軸題 【分析】 過 C，再過 F，由四邊形 到 B， 得出兩個角互余，再由 O，得到 兩個銳角互余，利 用同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，B，利用 全等三角形的對應邊相等可得出F， B，由三個角為直角的四邊形為矩形得到 據矩形的對邊相等可得出 F， F，等量代換可得出 F，即 斜邊 用勾股定理求出 據 為 【解答】 解法一：如圖 1所示，過 F M 四邊形 0， B， 0， 又 0， 0， 在 ， F， B， 又 0， 四邊形 F， F=5， F， ， 根據勾股定理得： 解得： F=6， M= 5=1， 則 F+ +1=7 故答案為： 7 解法二：如圖 2所示， 過點 M 延長線于點 M；過點 N 易證 N， B ， N=6 M 5=1， N+1=7 故答案為： 7 【點評】 此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及等腰直角三角 形的判定與性質、角平分線的判定，利用 了轉化及等量代換的思想，根據題意作出相應的輔助線是解本題的關鍵 20如圖， C=90， ， 分別以 塊陰影部分的面積分別為 則 2+4等于 16 【考點】 勾股定理 【分析】 過 ，連接 過證明 2+4=3，依此即可求解 【解答】 解：過 ，連接 圖中 S 4= 可證明 2+4 =3+（ 4）， =3 =4323 =16 故答案為 16 【點評】 本題考查勾股定理的知識，有一定難度，解題關鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結合和應用 三、解答題：（本題共 50分） 21計算： +（ ） 1（ +2） 0+|1 | 【考點】 實數的運算；零指數冪；負整數指數冪 【分析】 首先利用絕對值以及負指數的性質以及零指數冪的性質化簡求出即可 【解答】 解： +（ ） 1（ +2） 0+|1 | =2 +2 1+ 1 =3 【點評】 此題主要考查了絕對值以及負指數的性質以及零指數冪的性質等知識，正確把握運算性質是解題關鍵 22解方程： （ 1） 16（ x+1） 2 1=0； （ 2）（ x 3） 3=27 【考點】 立方根；平方根 【分析】 （ 1）根據平方根，即可解答； （ 2）根據立方根，即可解答 【解答】 解：（ 1） 16（ x+1） 2 1=0 16（ x+1） 2=1 x+1= x= 或 （ 2）（ x 3） 3=27 （ x 3） 3= 27 x 3= 3 x=0 【點評】 本題考查了平方根、立方根，解決本題的關鍵是熟記平方根、立方根的定義 23先化簡，再求值：（ ） ，其中 x= 【考點】 分式的化簡求值 【專題】 計算題 【分析】 原式括號中利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把 【解答】 解：原式 = = = ， 當 x= 時，原式 = 【 點評】 此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵 24實數 a、 化簡： |a| 【考點】 二次根式的性質與化簡；實數與數軸 【分析】 先根據二次根式的性質得出 |a| |a| |b|，推出結果是 |b|，根據正數的絕對值等于它本身得出即可 【解答】 解： 從數軸可知： a 0 b， ： |a| =|a| |a| |b| = |b| = b 【點評】 本題考查了二次根式的性質，實數與數軸等知識點，解此題的關鍵是根據數軸得出a 0 b，注意： =|a|，當 a0時， |a|=a，當 a0時， |a|= a 25如圖，長方形 D ， 將此長方形沿 點 重合，點 處 （ 1）試判斷 說明理由； （ 2）求 【考點】 翻折變換（折疊問題） 【分析】 （ 1）根據翻折不變性和平行線的性質得到兩個相等的角，根據等角對等邊即可判斷 （ 2）根據翻折的性質可得 E， D， 0，設 E=x，表示出 x，然后在 用勾股定理列出方程求出 為 值，再根據同角的余角相等求出 后利用 “角邊角 ”證明 據全等三角形對應邊相等可得 E，再根據三角形的面積公式列式計算即可得解 【解答】 解：（ 1） 根據翻折不變性得到 故 F （ 2） 矩形 與點 E， D， 0， G= C=90， D， G， 設 E =x，則 B x， 在 即 42+（ 8 x） 2= 解得 x=5， ， 0， 0， 在 ， E=5， 54=10 【點評】 本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，全等三角形的判定與 性質將翻折變換與勾股定理及等腰三角形的性質和判定相結合，體現了數學知識之間的密切聯系，是一道好題 26附加題：如圖，在四邊形 D 的中點，且 F （ 1）求證： D； （ 2）請你探究 證明你的結論 【考點】 線段垂直平分線的性質 【專題】 證明題；探究型 【分析】 （ 1）連接 據題意易得 C、 得 C，C，可證出 D （ 2）根據等 腰三角形的性質解答即可 【解答】 （ 1）證明：連接 點 C， 點 D 的 中點， C， D （ 2） 證明 由（ 1）知 C， 即 已知）， 腰三角形的三線合一） 同理， 【點評】 此題考查的是線段的垂直平分線的性質及等腰三角形的性質等幾何知識解答此 題的關鍵是連接 造出等腰三角形 27請在下列三個 22的方格中，各畫出一個三角形，要求所畫三角形是圖中三角形經過軸對稱變換后得到的圖形，且所畫的三角形頂點與方格中的小正方形頂點重合，并將所畫三角形涂上陰影（注：所畫的三個圖形不能重復） 【考點】 利用軸對稱設計圖案 【專題】 作圖題 【分析】 可分別選擇不同的直線當對稱軸，得到相關圖形即可 【解答】 解： 【點評】 考查利用軸對稱設計圖案；選擇不同的直線當對稱軸是解決本題的突破點 28如圖，在矩形 ， ，點 點 恰好落在 平分線上時， 長為多少？ 【考點】 翻折變換（折疊問題） 【分析】 過點 A作 AM 設 M=x，則 x在直角 A，由勾股定理得到： A5（ 7 x） 2由此求得 后在等腰 AA= A 【解答】 解：如圖所示，過點 A作