1/15數(shù)學(xué)問(wèn)題解決及其教學(xué)論文20世紀(jì)80年代以來(lái)，問(wèn)題解決已成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育的一種潮流。由于它的研究與開(kāi)發(fā)不僅關(guān)系到如何提高學(xué)生的科學(xué)文化素質(zhì)、思想品德素質(zhì)和教學(xué)質(zhì)量問(wèn)題，而且也與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、課程設(shè)置、教材教法、教學(xué)模式等各項(xiàng)改革密切相關(guān)，是一個(gè)領(lǐng)域廣闊的研究陣地，所以受到國(guó)內(nèi)外許多研究機(jī)構(gòu)、專家、學(xué)者及廣大教師的普遍關(guān)注。對(duì)于什么是問(wèn)題解決，也有一些不同的觀點(diǎn)和看法。1988年發(fā)表的美國(guó)21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)認(rèn)為，問(wèn)題解決是把前面學(xué)到的知識(shí)用到新的和不熟悉的情境中的過(guò)程，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問(wèn)題解決。最近20年來(lái)，世界上幾乎所有的國(guó)家都把提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。英國(guó)1982年的COCKCROFT報(bào)告認(rèn)為問(wèn)題解決是那種把數(shù)學(xué)用之于各種情況的能力，并針對(duì)當(dāng)時(shí)英國(guó)教育界的情況，呼吁教師要把“問(wèn)題解決”的活動(dòng)形式看作教或?qū)W的類型，看作課程論的重要組成部分而不應(yīng)當(dāng)將其看成課程附加的東西。不論是教學(xué)過(guò)程，還是教學(xué)目的，也不論是教學(xué)方法，還是教學(xué)內(nèi)容，作為國(guó)際數(shù)學(xué)教育的核心和數(shù)學(xué)教育改革的一種新趨勢(shì)，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育研究的重要課題。對(duì)于什么是數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然目前尚無(wú)統(tǒng)一看法，但大體說(shuō)來(lái)，它有以下特點(diǎn)一是非常規(guī)性；二是重視情境應(yīng)2/15用，給出一種情境，一種實(shí)際需求，以克服一種現(xiàn)實(shí)困難為標(biāo)志；三是探究性。1從歷史角度來(lái)看，正是問(wèn)題的提出、探究和解決，推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的不斷發(fā)展。從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，就是數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出和解決的歷史。數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，正如恩格斯所說(shuō)“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非常現(xiàn)實(shí)的材料。”當(dāng)人們與客觀世界產(chǎn)生接觸，從數(shù)量關(guān)系或空間形式的角度反映出認(rèn)識(shí)與客觀世界的矛盾時(shí)，就形成了問(wèn)題。以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問(wèn)題稱為數(shù)學(xué)問(wèn)題。希爾伯特在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上以“數(shù)學(xué)問(wèn)題”為題發(fā)表演講時(shí)說(shuō)“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿著生命力；而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。正如人類的每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊和自由的境界?！庇捎跀?shù)學(xué)問(wèn)題包含著有關(guān)數(shù)學(xué)的疑問(wèn)因素和未知方面，所以，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，對(duì)已有的數(shù)學(xué)概念或結(jié)論產(chǎn)生疑問(wèn)，或者對(duì)數(shù)學(xué)的未知領(lǐng)域進(jìn)行探索時(shí)，都會(huì)提出一些不同問(wèn)題。但是，教學(xué)中所要解決的并不是那些尚未3/15解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是前人已有的數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)。只有提出問(wèn)題，讓學(xué)生明了產(chǎn)生問(wèn)題的情境，才能引起學(xué)生有目的的思考。正是由于學(xué)生把特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題確定為自己努力攻克的方向，才能使思維活動(dòng)以一定的方法、在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行，才能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，不斷沖擊頭腦中舊有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于人類的生產(chǎn)、生活實(shí)踐，來(lái)源于人們了解自然、認(rèn)識(shí)自然的科技活動(dòng)。古代巴比倫人在觀測(cè)天文、丈量土地和進(jìn)行貿(mào)易中形成了位值觀念和六十進(jìn)制數(shù)系，并發(fā)現(xiàn)了大量數(shù)表、計(jì)算方法以及包括解一元二次方程在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。早在公元前5世紀(jì)，古希臘人就已經(jīng)形成后來(lái)被稱為幾何三大作圖問(wèn)題的倍立方問(wèn)題、三等分任意角問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題。成書(shū)于公元1世紀(jì)前后的九章算術(shù)，集古代數(shù)學(xué)問(wèn)題之大成，記載了我國(guó)古代勞動(dòng)人民在生產(chǎn)、生活和社會(huì)活動(dòng)中形成的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題246個(gè)。九章算術(shù)是我國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中具有最深遠(yuǎn)影響的一部著作，它反映出我國(guó)古代數(shù)學(xué)是怎樣從實(shí)際生活中分析出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，又怎樣從研究具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題入手，通過(guò)抽象與歸納而得到解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法的?？v觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，可以看到數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)的歷史進(jìn)程中的重要作用。它既是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的起點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)4/15發(fā)現(xiàn)的路標(biāo)；它既有數(shù)學(xué)發(fā)展的探索和導(dǎo)向作用，又可以為數(shù)學(xué)理論的形成積累必要的資料；它既可以導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和理論的創(chuàng)新，又可以激發(fā)人們的創(chuàng)造和進(jìn)取精神。由數(shù)學(xué)問(wèn)題的形成和來(lái)源可以看到，數(shù)學(xué)問(wèn)題種類繁多，但用于“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”教學(xué)的問(wèn)題大致有以下三種，它們具有不同的教育價(jià)值和功能。1可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的非常規(guī)的實(shí)際問(wèn)題。21世紀(jì)是信息化的時(shí)代，是現(xiàn)代科技迅速發(fā)展的知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代。隨著數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展以及電子計(jì)算機(jī)和絡(luò)技術(shù)的廣泛使用，科學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)化的進(jìn)程日益加速。任何科學(xué)技術(shù)要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化，都必須首先把研究對(duì)象用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法表述為具有一定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)體系，即建立有關(guān)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，這是科學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)問(wèn)題要能夠給學(xué)生提供嘗試建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生根據(jù)觀察和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)思想以及歸納、類比的方法得出猜想，然后再進(jìn)行證明。將生活、生產(chǎn)等社會(huì)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題抽取出來(lái)，通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)思想或方法來(lái)解決問(wèn)題，這是人們認(rèn)識(shí)世界的重要途徑。非常規(guī)的問(wèn)題往往不是純數(shù)學(xué)化的問(wèn)題模式，而是一種情境，一種實(shí)際需求，只是為了克服實(shí)際碰到的困難。因此，要培養(yǎng)適應(yīng)知識(shí)經(jīng)濟(jì)社會(huì)需要的高素5/15質(zhì)、創(chuàng)造型人才，就要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，是學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的重要保障，也是基礎(chǔ)教育不可或缺的任務(wù)之一。“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！?12探究性問(wèn)題。通過(guò)一定的探索、研究去深入了解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和真理的問(wèn)題叫做探究性問(wèn)題。這里，對(duì)于對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系、圖形性質(zhì)及其變化規(guī)律，數(shù)學(xué)公式、法則、命題、定理等的探索和發(fā)現(xiàn)，雖然只是對(duì)前人工作的一種重復(fù)和再發(fā)現(xiàn)，但知識(shí)形成、發(fā)展過(guò)程的意義則被學(xué)習(xí)者重新建構(gòu)?！皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、模擬、推斷等探索性和挑戰(zhàn)性活動(dòng)。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生投入到探索與交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)之中?！?65數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)就是一個(gè)探索的過(guò)程。例如，在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理后，教師可以讓學(xué)生通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)去探索四邊形、五邊形，六邊形等多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題，然后通過(guò)歸納得到多邊形內(nèi)角和定理。通過(guò)探究，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)6/15學(xué)思維能力，科學(xué)探索精神，而且可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，從而建立自信心，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生形成完整的獨(dú)立人格具有重要的作用。3開(kāi)放性問(wèn)題。全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在第三學(xué)段教材編寫建議中寫道教材可以“提供一些開(kāi)放性的問(wèn)題，使學(xué)生在探索的過(guò)程中進(jìn)一步理解所學(xué)的知識(shí)”。293開(kāi)放性問(wèn)題旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性，因而也有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識(shí)。例如，在ABC中，三邊A、B、C成等差數(shù)列，由此可得哪些結(jié)果這是一個(gè)結(jié)論開(kāi)放的問(wèn)題，由三邊成等差數(shù)列，聯(lián)系三角形的有關(guān)定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面積公式以及其他三角、幾何定理公式，可得到許多結(jié)果，諸如SINASINC2SINB，等等。1197通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探討，不僅復(fù)習(xí)鞏固了所學(xué)知識(shí)，將多學(xué)科的許多不同思想方法都聯(lián)系到了一起，而且充分表現(xiàn)了思維的多向性、靈活性和創(chuàng)造性。如前所述，問(wèn)題解決中的“問(wèn)題”主要是指那些非常規(guī)性的或者條件不充分、結(jié)論不確定的開(kāi)放性、探究性問(wèn)題?！皢?wèn)題”常常給出聯(lián)系實(shí)際的情境，主體必須要將它數(shù)學(xué)化，并且必須探究解決問(wèn)題的策略。數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的基礎(chǔ)。要使問(wèn)題解決教學(xué)取得良好成效，必須預(yù)先將問(wèn)題設(shè)計(jì)好。好的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)7/15的探索性，它要求人們具有某種程度的獨(dú)立見(jiàn)解、判斷力、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神；具有現(xiàn)實(shí)意義或與學(xué)生的實(shí)際生活有著直接的聯(lián)系，具有趣味性和魅力；具有多種不同的解法或有多種可能的解答，即開(kāi)放性；能推廣或擴(kuò)充到各種情形。3數(shù)學(xué)問(wèn)題除了應(yīng)具備以上特點(diǎn)，在設(shè)計(jì)時(shí)還要遵循以下原則。1可行性原則。在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師首先要細(xì)致地鉆研教材，研究學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律和知識(shí)水平，提出既有一定難度又是學(xué)生力所能及的問(wèn)題，也就是說(shuō)，要選擇在學(xué)生能力的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的問(wèn)題。學(xué)生的第一發(fā)展水平和第二發(fā)展水平之間存在著差異。教師應(yīng)走在學(xué)生發(fā)展的前面，創(chuàng)造“最近發(fā)展區(qū)”，并注意適時(shí)、適度創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)、學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、教材及學(xué)生的生活實(shí)際，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題。這些問(wèn)題既能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲望，又能使學(xué)生積極主動(dòng)地去尋求解決問(wèn)題的策略，并通過(guò)一定的努力或小組討論、探究，最后歸納出具有一般規(guī)律性的結(jié)果。例如，在初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)性質(zhì)以后，可以設(shè)計(jì)一道關(guān)于找圓心的問(wèn)題。給學(xué)生一張上面畫(huà)有一個(gè)圓的紙，提出問(wèn)題我們?cè)鯓哟_定這個(gè)圓的圓心學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，可以用許多不同的方法獲得答案。其中用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有“半圓上的圓周角是直角”8/15的定理，“弦的垂直平分線通過(guò)圓心”的性質(zhì)，等等。2185在小學(xué)高年級(jí)，甚至在中學(xué)階段，可以將“六角星”問(wèn)題，即“如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12這些數(shù)填在六角星中各條線段的交點(diǎn)上，使每條線上四個(gè)數(shù)字之和都等于26”提供給學(xué)生進(jìn)行探究?！傲切恰眴?wèn)題是一個(gè)寓教于樂(lè)、數(shù)形結(jié)合的典型的開(kāi)放性問(wèn)題，并可進(jìn)行不同的條件變化，得到許許多多不同的解。42漸進(jìn)性原則。漸進(jìn)性原則要求問(wèn)題設(shè)計(jì)要有層次性，要由淺入深，由易到難。人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程，是一個(gè)漸進(jìn)過(guò)程，是從認(rèn)識(shí)最簡(jiǎn)單的對(duì)象開(kāi)始，逐步發(fā)展到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的相互關(guān)系及它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。人們對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，如同對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)一樣，也是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)中就要遵循由淺入深，由易到難，有層次、循序漸進(jìn)的原則，使學(xué)生在問(wèn)題的探究中不斷獲得成功，逐步樹(shù)立起學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，培養(yǎng)勇于探索、敢于攀登的精神。如當(dāng)學(xué)生觀察下面這些等式12341，23451，34561，45671時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，它們分別等于5，11，19，29的平方。這時(shí)可以提出問(wèn)題“從這些等式中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律”當(dāng)學(xué)生通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)并提出一種9/15歸納猜想時(shí)，可以進(jìn)一步提出證明猜想的問(wèn)題。然后，再進(jìn)一步讓學(xué)生觀察類似的問(wèn)題135716，357916，5791116，79111316能不能提出類似的猜想進(jìn)而，從等差數(shù)列的角度，能否再提出幾個(gè)類似的問(wèn)題最后，能否把上面這些問(wèn)題的共同規(guī)律找出來(lái)這樣，根據(jù)由淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)的原則，依次提出問(wèn)題，逐步展開(kāi)問(wèn)題的探究，不僅可以把學(xué)生的探究活動(dòng)步步引向深入，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。3應(yīng)用性原則。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，世界各國(guó)的數(shù)學(xué)教育也越來(lái)越強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，這是當(dāng)前國(guó)際數(shù)學(xué)教育的重要?jiǎng)酉?。各?guó)都在數(shù)學(xué)課程中增加現(xiàn)代數(shù)學(xué)中具有廣泛應(yīng)用性的內(nèi)容，注重從生活實(shí)際和學(xué)生知識(shí)背景中提出問(wèn)題，結(jié)合生活中的具體實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，增強(qiáng)課堂教學(xué)中的實(shí)踐環(huán)節(jié)，重視培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)和用數(shù)學(xué)的能力，使學(xué)生能主動(dòng)嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法尋求解決問(wèn)題的途徑。在數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)中，要考慮能將數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型用于探究所提出的問(wèn)題。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)的培養(yǎng)?！皯?yīng)用意識(shí)主要表現(xiàn)在認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所10/15學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)地尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值?！?5例如，在學(xué)生已經(jīng)掌握三角形中邊角關(guān)系及平面上周角的有關(guān)知識(shí)后，可給出這樣的問(wèn)題“有若干個(gè)城市，它們之間的距離彼此互不相等。如果從每個(gè)城市都起飛一架飛機(jī)到離該城市最近的城市降落。證明每個(gè)城市降落的飛機(jī)都不超過(guò)五架?！边@個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)造平面幾何模型，應(yīng)用簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)得到解決。5如前所述，由于數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于人類的生產(chǎn)、生活實(shí)踐，來(lái)源于人們了解自然、認(rèn)識(shí)自然的科技活動(dòng)，一般來(lái)說(shuō)，它是非常規(guī)的、由情境給出的一種實(shí)際需求，并且具有一定的探究性。因此，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決一般要通過(guò)以下幾個(gè)過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。1分析問(wèn)題背景，尋找數(shù)學(xué)聯(lián)系。通過(guò)對(duì)所給問(wèn)題的分析，理解問(wèn)題背景的意義，從中找出它們與哪些數(shù)學(xué)知識(shí)有聯(lián)系，以便建立有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，使實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，從而使非常規(guī)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題來(lái)解決。在這個(gè)過(guò)程中，要充分發(fā)揮學(xué)生的積極主動(dòng)性，必要時(shí)可以讓學(xué)生分組開(kāi)展討論，以集體的力量和智慧攻克難關(guān)。分析問(wèn)題的步驟非常重要，萬(wàn)事開(kāi)頭難，只要攻破了這一關(guān)，學(xué)生就會(huì)信心倍增，就會(huì)以更高的熱情投入到后面問(wèn)題的探討中去。在學(xué)生自主分析的同時(shí)，教師可在關(guān)鍵處給以必要的指導(dǎo)11/15和點(diǎn)撥，以控制教學(xué)的進(jìn)度，提高課堂教學(xué)效率。2建立數(shù)學(xué)模型。在分析的基礎(chǔ)上，將實(shí)際問(wèn)題符號(hào)化并確定其中的關(guān)系，進(jìn)而寫出由這些符號(hào)和關(guān)系所確定的數(shù)學(xué)聯(lián)系，用具體的代數(shù)式、函數(shù)式、方程式、不等式或相關(guān)的圖形、圖表等把這些數(shù)學(xué)聯(lián)系確定下來(lái)，就形成了數(shù)學(xué)模型。在建立數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，可要求學(xué)生獨(dú)立完成，因?yàn)榍懊娴姆治鲞^(guò)程，已經(jīng)使問(wèn)題明朗化，一般情況下學(xué)生都可以獨(dú)立完成數(shù)學(xué)建模任務(wù)。對(duì)于有困難的學(xué)生，也可以通過(guò)小組討論來(lái)完成這一工作。3求解數(shù)學(xué)問(wèn)題。根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特征，可采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想、方法和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。這里主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)的培養(yǎng)和形成。一般情況下，只要數(shù)學(xué)模型建立起來(lái)以后，學(xué)生自然會(huì)去聯(lián)想已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和熟悉的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)推理和演算，達(dá)到問(wèn)題的解決。4檢驗(yàn)。將數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解結(jié)果返回到實(shí)際問(wèn)題中去進(jìn)行檢驗(yàn)，看它是否與實(shí)際問(wèn)題的情形相吻合，從而決定是否要修改模型或另辟途徑。5交流和評(píng)價(jià)。在學(xué)生進(jìn)行研討、解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師要通過(guò)巡回觀察及時(shí)了解和掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，對(duì)于有困難的學(xué)生及時(shí)給予必要的指導(dǎo)，也可以作為學(xué)生的伙伴和助手，參加到學(xué)生的探究活動(dòng)中去。在多數(shù)學(xué)生完12/15成任務(wù)以后，可組織學(xué)生進(jìn)行交流，然后對(duì)各種模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。學(xué)生通過(guò)交流、評(píng)價(jià)，進(jìn)一步完善各自的模型，同時(shí)也達(dá)到互相學(xué)習(xí)、取長(zhǎng)補(bǔ)短、共同提高的目的。6推廣。如果問(wèn)題得到了解決，看它是否可以進(jìn)行推廣。如果解決過(guò)的問(wèn)題是一個(gè)具體問(wèn)題，就可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納、類比和猜測(cè)，得到普遍的結(jié)論，然后再證明這個(gè)結(jié)論。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)求最大值及等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)后，可設(shè)計(jì)這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題一幢33層的大樓有一部電梯停在第1層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō)，他往下走一層樓梯不滿意度是1，往上走一層樓梯不滿意度是3。現(xiàn)在32人打算下到第1層且他們分別住在第2層至第33層的每一層。如果你是一名電梯管理員，請(qǐng)你確定將電梯停在哪一層可以使這32人的不滿意度達(dá)到最小最小值是多少在解決此問(wèn)題的基礎(chǔ)上，可推到一般情形N層樓時(shí)。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)是通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生親身體驗(yàn)和感受分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的全過(guò)程。它強(qiáng)調(diào)使用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、合作意識(shí)和實(shí)際操作能力。通過(guò)問(wèn)題解決能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成深刻的、結(jié)構(gòu)化的理解，形成自己的、可以遷移的問(wèn)題解決策略，而且產(chǎn)生更為濃厚的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、形成13/15認(rèn)真求知的科學(xué)態(tài)度和勇于進(jìn)取的堅(jiān)定信念。由于問(wèn)題解決教學(xué)是近年來(lái)受到廣泛重視的一種教學(xué)模式，它強(qiáng)調(diào)把學(xué)習(xí)設(shè)置到復(fù)雜的、有意義的問(wèn)題情境中，通過(guò)讓學(xué)習(xí)者合作解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)隱含于問(wèn)題背后的科學(xué)知識(shí)，形成解決問(wèn)題的技能，并形成自主學(xué)習(xí)的能力。6所以，問(wèn)題解決教學(xué)是通過(guò)高水平的思維來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，來(lái)建構(gòu)知識(shí)的。傳統(tǒng)的教學(xué)模式比較重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，基本技能訓(xùn)練，數(shù)學(xué)計(jì)算、推理和空間想象能力的培養(yǎng)，而不重視學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)和實(shí)際操作的訓(xùn)練，致使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)