本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計）題目（中文）求函數(shù)極限方法的探討（英文）BEGFUNCTIONLIMITMETHODISDISCUSSED姓名學(xué)號院（系）數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系專業(yè)、年級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2007級指導(dǎo)教師教授2011年3月20目錄目錄21緒論62一元函數(shù)極限概念與求法721一元函數(shù)極限的概念722一元函數(shù)極限的求解方法7221利用一元函數(shù)的定義求解7222利用極限的四則運算求函數(shù)極限8223利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)極限9224利用等價無窮小代換求函數(shù)極限10225利用無窮小量性質(zhì)法11226利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系11227利用數(shù)學(xué)公式，定理求函數(shù)極限12228利用變量替換求函數(shù)極限16229用左右極限與極限關(guān)系173二元函數(shù)極限的概念與求法1831二元函數(shù)極限的概念1832二元函數(shù)極限的求法18321利用二元函數(shù)的極限的定義求極限18322利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求解19323利用極限的四則運算求解20324利用有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量求解20325利用等價無窮小替換求解21326利用分子或分母有理化求解21327利用夾逼定理求解2133小結(jié)224結(jié)語225致謝236參考文獻23求函數(shù)極限的方法探討摘要函數(shù)極限概念與函數(shù)極限求法是近代微積分學(xué)的基礎(chǔ)，本文主要對一元函數(shù)、二元函數(shù)極限定義和它們的求解方法進行了歸納和總結(jié)，并在某些具體的求解方法中就其中要注意的細(xì)節(jié)和技巧做了說明，以便于我們了解函數(shù)的各種極限以及對各類函數(shù)極限進行計算。函數(shù)極限的求法有很多，每種方法都有其優(yōu)缺點，對某個具體的求極限問題，我們應(yīng)該選擇最簡單的方法?！娟P(guān)鍵詞】函數(shù)定義，數(shù)學(xué)定理，公式，函數(shù)極限BEGFUNCTIONLIMITMETHODISDISCUSSEDABSTRACTFUNCTIONLIMITCONCEPTANDFUNCTIONLIMITOFMODERNCALCULUSISINTRODUCED,THISPAPERMAINLYBASEDONACIRCULARFUNCTION,DUALFUNCTIONLIMITDEFINITIONANDTHEIRSOLVINGMETHODS,ANDSUMMARIZESSOMECONCRETE,ANDTHESOLVINGMETHODOFSHOULDPAYATTENTIONTOINTHEDETAILSANDSKILLSSOTHATWEUNDERSTANDTHATVARIOUSEXTREMEANDTHEFUNCTIONOFVARIOUSFUNCTIONLIMITTOCALCULATEWEHAVEMANYFUNCTIONLIMIT,EACHMETHODHASITSADVANTAGESANDDISADVANTAGES,TOASPECIFICASK,WESHOULDCHOOSETHELIMITOFTHEMOSTSIMPLEMETHOD【KEYWORDS】AFUNCTIONDEFINITION,MATHEMATICALTHEOREMS,FORMULA,FUNCTIONLIMIT1緒論極限研究的是函數(shù)的變化趨勢,在自變量的某個變化過程中,對應(yīng)的函數(shù)值能無限接近某個確定的數(shù)，那這個數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念,是貫穿高等數(shù)學(xué)的一條主線,它將高等數(shù)學(xué)的各個知識點連在了一起。所以,求極限的方法顯得尤為重要的。我們知道,函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的對象,而極限方法則是在高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的重要方法,因此怎樣求極限就非常重要。早在我國古代劉徽的九章算術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”就涉及了到了極限。古希臘人的“窮竭法”也蘊含了極限思想。到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限作出過各自的定義。在有了極限的定義之后，為了判斷具體某一函數(shù)是否有極限，人們必須不斷地對極限存在的充分條件和必要條件進行探討。在經(jīng)過了許多數(shù)學(xué)家的不斷努力之后，法國數(shù)學(xué)家柯西獲得了完善的結(jié)果，即柯西收斂原理。到了近代，在數(shù)學(xué)家們的努力下給了極限一個專業(yè)的定義有了極限的定義自然就有了許多求極限的方法。求函數(shù)極限的方法有很多，其中有利用定義求函數(shù)極限、利用夾逼定理求函數(shù)極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用極限的四則運算、利用變量替換、利用等價無窮小代換、利用定積分求合公式、利用導(dǎo)數(shù)定義、利用泰勒公式、利用黎曼引理、利用柯西收斂原理、利用羅必達(dá)法則求極限等一些方法，而其中大部分是用于求解一元函數(shù)的極限。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。比如,極限的四則運算法則是相同的,但是隨著變量個數(shù)的增加,二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)極限變得要復(fù)雜得多。因此本文除了對一元函數(shù)的求解方法進行概括總結(jié)外，還對二元函數(shù)的求極限方法進行了一些簡單的歸納和說明，并與求一元函數(shù)的極限方法進行了比較，從而使閱讀本文的人更快更好的掌握一元函數(shù)，二元函數(shù)極限的求解技巧和它們的異同點。2一元函數(shù)極限概念與求法21一元函數(shù)極限的概念設(shè)FA,R是一個一元實值函數(shù)，AR如果對于任意給定的0，存在正數(shù)X，使得對于適合不等式XX的一切X，所對應(yīng)的函數(shù)值FX都滿足不等式FXA1,N0XNALI解當(dāng)X1時,存在唯一的正整數(shù)K,使得KXK1于是當(dāng)N0的時候有KNXNA1以及KNKXN1又因為當(dāng)X時,K有KNKA1LIM0LI1AAKN及1LIKN0LIAKN則0XNLIM小結(jié)利用函數(shù)的基本性質(zhì)來求解函數(shù)極限對一些特定的函數(shù)極限的求解有著十分重要的作用，熟悉和了解函數(shù)的基本性質(zhì)是解決此類函數(shù)極限方法的重要前提。224利用等價無窮小代換求函數(shù)極限設(shè)都是同一極限過程中的無窮小量，且有,，存在，,LIM則也存在，且有LIMLILI例題求極限20SINCO1LXX解,SIN2220SINCO1LMXX12注在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”此外不僅無窮小量代換能求函數(shù)極限，還能運用無窮小量與無窮大量的關(guān)系，以及無窮小量的性質(zhì)法來求解函數(shù)極限。225利用無窮小量性質(zhì)法（特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)FX、GX滿足（1）0LIM0XF2M為正整數(shù)MG則LI0XFX例題求的極限X1SINL0解由而LIM0X1SINX故原式1SINL0X226利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系（1）若則LIMXF01LIMXF2若且FX0則0LIF1LIXF例題求下列極限（1）（2）51LIMX1LIMX解（1）由故LI05LI（2）由故01LIMX1LIMX227利用數(shù)學(xué)公式，定理求函數(shù)極限2271羅比塔法則（適用于未定式極限）定理若AXGFXFFIXGXUXGGFIXXXLIMLIL00LI,0L0000），則或可為實數(shù)，也可為內(nèi)可導(dǎo)，且的某空心鄰域在與此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注運用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點1、要注意條件，也就是說，在沒有化為時不可求導(dǎo)。,02、應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。4、當(dāng)不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求LIMXGFAX極限須用另外方法。例題（1）1LN2I0XEX（2）0,IMAX解（1）令FX,21XEXGXL1N2,1XEXF21XG2“3“1,XGEXF由于0,0F但2“G從而運用羅比塔法則兩次后得到1212LIM12LIM1LNIM3021020XEXEXEXXX（2）由故此例屬于型，AXXLI,LI由羅比塔法則有0,1LIMLINLIM1XAXAXXA小結(jié)對于一些特定類型的函數(shù)求極限（型，型）可以適用羅比塔法則進行求解，關(guān)系是要知道此類函數(shù)的類型是屬于型還是型。02272利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開式1、2NXXOE2、1253SIN2NNXOX3、421CO2NNXX4、1LNNNO5、121NXOXX6、X12NXO上述展開式中的符號都有N0LIM0NXO例題求02LI0AXAX解利用泰勒公式，當(dāng)有21O于是XAXLIM0XAX12LI0XXOAOAX22LIM0AXXXX211LIMLI00小結(jié)此類題型考驗的是我們對泰勒展式的熟悉程度，因此解決此類題目要十分熟悉泰勒展式的結(jié)構(gòu)以及用途。2273利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限原理若函數(shù)F滿足如下條件IF在閉區(qū)間上連續(xù)IIF在A,B內(nèi)可導(dǎo)則在A,B內(nèi)至少存在一點,使得ABFF此式變形可為10ABFABF例題求XEXSINLIMI0解令對它應(yīng)用中值定理得F10SINSIINSISINXXFXFXEX即10SISINSIINXXFXX連續(xù)XEF10SINSILM0FXX從而有SILII0EX小結(jié)利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限關(guān)鍵至于拉格朗日中值定理的合理運用。2274利用黎曼引理求函數(shù)極限求（A0）20COSLIM1APXD解原式000COS21COS21LILIMLILN1AAAPPPXPXDDXDA2275利用夾逼定理求函數(shù)極限若存在正整數(shù)N,當(dāng)NN時,有XNYNZN,且,AZNXNLILI則有AYNLIM例題求FN的極限21N解對任意正整數(shù)N,顯然有,N22而,由夾逼性定理得01NLIM2即FN的極限是02數(shù)學(xué)公式，定理在求函數(shù)極限的方法中有著大量的運用。不僅僅只有上述公式，定理能求解出函數(shù)極限，還有柯西收斂準(zhǔn)則，定積分求和公式等一些數(shù)學(xué)公式定理能將函數(shù)極限求解出來。228利用變量替換求函數(shù)極限此方法適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型特別地有M、N、K、L為正整數(shù)。KLXMNKL1I例題求下列函數(shù)極限（1）、N（2）XMNXLI1N13LIMXX解（1）令T則當(dāng)時,于是1X1T原式NTTTTMTNMTLILI1211（2）由于123LIXX1M令T則21TX13LIMXX1LIX210LIMTTETTTTLILI21010229用左右極限與極限關(guān)系此方法適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形。原理函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限LIM0XFLIM0XFX及右極限都存在且都等于A。即有LI0XAAFXLI00XFLI0F例題設(shè)F1,22XE求及LIM0FXLIF1LIMLILI000XXFEXXX解由1FLIM0FX不存在由（又LIM01LILI01LIM12111XFFXXXX3二元函數(shù)極限的概念與求法31二元函數(shù)極限的概念設(shè)為定義在上的二元函數(shù),為的一個聚點,是一個確定的實FD2R0PDA數(shù)若對任給正數(shù),總存在某正數(shù),使得當(dāng)時,都有0U,則稱在上當(dāng)時,以為極限,記作FPAF0A0LIMPDF32二元函數(shù)極限的求法321利用二元函數(shù)的極限的定義求極限根據(jù)點沿任意連續(xù)曲線趨于時0,LIM,XYFXYA,XY0,XY趨于我們可取某一特殊方向,求出當(dāng)趨于時,FAK,XK的極限,然后再利用定義驗證這一極限是即為二重極限XY例設(shè)1SINI,0,0,XYXYFO當(dāng)且當(dāng)或求,0,LIMXYF解取特殊方向,求出沿直線趨于時的極限YX,YX0,0,001LILI,LIMSNIXYXXYFF01LIM2SNX現(xiàn)在用定義證明,0,LIXYF對,當(dāng)或時,則當(dāng),01,0XYXY0，X,時,有YF當(dāng),時,當(dāng),2XY2XY時,有,0XY,FXY1SINIYX1SINIYXII2于是,對,當(dāng),時,有0XY0XFXY所以,0,LIMXYF322利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求解若在點處連續(xù),則,FXY0Y00,LIM,XYFXYF例求極限2,0,1LIMXY解因為在處連續(xù)2,所以2,0,1LIXY20,1XY323利用極限的四則運算求解設(shè)時函數(shù)和的極限存在,則0,XY,FXYG；0,1LIM,XYF00,LIMLI,XYXYFGY；000,2,XY30,LIMXYFXYG0,LIM,XYFXYG0,LI,0XYGY例求極限2,LIXYXYE解2,LIXYXY2,LIMXY22,1LIXYXXYE因為且2LIM0XE1LI0YE故2,LIXYXY同理2,1LI0YXXYE所以2,LIMXYXY324利用有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量求解若當(dāng)時,而為有界變量,則當(dāng)0,XY,0FXYGXY時,G例求極限3,0,1LIMSINCOXYYX解因為3,0,LIXY當(dāng)時,與均有界,1SINXCOSY所以3,0,LIMI0XYY325利用等價無窮小替換求解設(shè)與,與均是等價無窮小量,且,則當(dāng)時,必LIMA或有LIMLIA或例求極限2,0,1COSLIMXYXY解因為22CS,0,X221XYXY1又,0,LIMXY所以2,0,1COSLIXYXY22,0,1LIMXYYX326利用分子或分母有理化求解若分子或分母的極限為,不能運用商的極限運算法則時,采用通過分子或0分母有理化,消去分母中趨于零的因子,再運用極限運算法則例求極限2,0,LIM1XYYX解2,0,LIXYY22,0,21LI1XYXYXY22,0,1LIMXYXY2,0,LIM1XYXY327利用夾逼定理求解若在的某個領(lǐng)域內(nèi),成立不等式,且0XY,UXYFVXY,則0,LIMXYU0,LIXYVYA0,LIMXYA例求極限22,LIXXY解因為2210XX又21LIM0XX所以22,LI0XXYY33小結(jié)對于求二元函數(shù)極限，其中很多地方都能使用到求解一元函數(shù)極限的方法定義求解法、無窮小替代法，夾逼法等都能從中看到求一元函數(shù)極限的方法的蹤跡，要解得一個二元函數(shù)的極限就必須得熟練的掌握好一元函數(shù)極限極限的求解方法，將其方法融入到求解二元函數(shù)極限中去，從而使得問更加的簡單化，明朗化。4結(jié)語本文主要是在考慮函數(shù)極限存在的前提下撰寫的。求函數(shù)極限的方法并不是一成不變的，每一個題目適用于它的解決方法也不是唯一的，只要一個函數(shù)的極限存在總會有一個或者多個方法與之對應(yīng)。本文重點在于對一元函數(shù)極限的求解方法，對于多元函數(shù)，只列舉了部分求解二重極限的方法，而其中與一元函數(shù)極限的求法有很大的聯(lián)系，細(xì)觀一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的解法，可以從中更好的了解到一個函數(shù)的性質(zhì)，乃至用途。函數(shù)極限不僅僅是數(shù)分中的重點難點，更是近代微積分學(xué)的基礎(chǔ)，因此了解和熟練的掌握一個函數(shù)極限的求法對于整個高等數(shù)學(xué)來說都是十分重要的。以上只是列舉了大部分的函數(shù)極限的求解方法，但方法并不只限于以上幾種，或許還有未知的方法等著我們?nèi)グl(fā)掘。5參考文獻1、王艷,周文麗,張俊麗,湯木蘭求極限的幾種方法J西安歐亞學(xué)院學(xué)報,200532、張宏達(dá)高等數(shù)學(xué)中求極限的常用方法J北京交通管理干部學(xué)院報,2004VOL433、胡喜和談求極限的方法J內(nèi)蒙古電大學(xué)刊,200514、徐榮貴求極限的方法和技巧J四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,200615、王偉