等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用摘要主要討論了等價(jià)無(wú)窮小量在求積商、和差及冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用,并通過一些具體的例題體現(xiàn)了無(wú)窮小量替換在求極限中的靈活性、多樣性和重要性關(guān)鍵詞等價(jià)無(wú)窮小量積商結(jié)構(gòu)和差結(jié)構(gòu)冪指結(jié)構(gòu)極限應(yīng)用1等價(jià)無(wú)窮小量在求積商結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用11等價(jià)無(wú)窮小定義及重要結(jié)論定義111若則稱為時(shí)的無(wú)窮小量10LIM,XFXF0X定義112若則稱與是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小記作10LI1,XGFG0GXF應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換,必須記住一些基本的等價(jià)無(wú)窮小量,如時(shí),0X,等,1LNARCTRSINTASINXEXXNN121COSX定理111設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有1,HGF0UGXF0,若存在,則0LIMXFH0LIMX0LIXF證明0LIXG0LIXF0LIXFH0LIMXFH定理112設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有1,GUXGF0,若存在,則0LIMXHF0LIXH0LIXF證明0LIXG0LIXF0LIMXF0LIXHF由定理111和定理112,可以得到以下一個(gè)重要的結(jié)論,它在求積和商的極限中有很重要的作用,需加強(qiáng)對(duì)它的理解結(jié)論111設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量,若21,GX1XH00LIMXFGH存在,則01LIMXFH0LIXFG證明01LIMXFGXH01LIXFGHX0LIXF01LIMX01LIXGH0LIMXFGH從結(jié)論111容易看出,當(dāng)時(shí),結(jié)論就是上面定理111的情形當(dāng)去掉分H子并略去相關(guān)條件,結(jié)論111就是定理112的情形,即兩定理是結(jié)論的特殊情況,XG需要要很好的理解上面的結(jié)論12定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例121求XX4SINARCTLM0解由于故由定理112得T,X4SIN0XIARCTL0XLIM41例122利用等價(jià)無(wú)窮小量求極限3SINX解由于這個(gè)極限的分子不滿足上面定理和結(jié)論的要求,需要我們對(duì)它進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使之成為定理和結(jié)論需要的形式,容易看出,而COS1SINITAXXXIN故有0,X2COS1X0,3SINX030TAILIMSX2301LCOSXX說(shuō)明這道題是結(jié)論111的應(yīng)用,應(yīng)注意的是,在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí),要注意所求極限的形式與上面所給定理和結(jié)論是否相對(duì)應(yīng),不滿足時(shí)不能隨意替換,需要適當(dāng)?shù)淖冃?變成我們需要的形式,如剛才這個(gè)極限的分子就不與上面的結(jié)論要求相對(duì)應(yīng),需要上面的適當(dāng)?shù)淖冃卫?23求極限1SINCOSLIM320XXE解由于由結(jié)論111得IIN1220,313XEX0,320COSSI1LIXXE230COSINLIMX0COSIN2LMXX21說(shuō)明這道例題與例112類似,雖然形式比較復(fù)雜,但只要嚴(yán)格按照上面的結(jié)論就可以迎刃而解了2等價(jià)無(wú)窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用21重要定理及其結(jié)論課本中一般強(qiáng)調(diào)等價(jià)無(wú)窮小代換法則只在乘除的情況下可以使用,在加減的情況下不能隨意使用,那么究竟在什么樣的情況下加減的形式可以使用呢現(xiàn)在來(lái)著重介紹一下,下面先來(lái)看和的情形定理211設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量,且31,FX1XG0,則0LIM1XFKG11FF證明當(dāng)時(shí),因?yàn)?知1XFF1XG,且01LIXFG0LIXK01LIMX0LI,XFK1所以01LIXFGX011LIXFGX1K當(dāng)時(shí),有已知條件知K,0LIMXGF01LI,XGF01LIMXF所以故01LIXFGX011LI,XGFX1FXGFXG定理211表明,在計(jì)算與兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和有關(guān)的極限運(yùn)算時(shí),若其為同階無(wú)窮小且兩者商的極限不為時(shí),則可用與其等價(jià)的無(wú)窮小量分別替換,將是運(yùn)算過程1更為簡(jiǎn)潔對(duì)于差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限類似得如下定理定理212設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量,且21,FX1XG0則0LIM1,XFKG1FGF定理212表明,在計(jì)算與兩個(gè)無(wú)窮小量的差有關(guān)的極限運(yùn)算時(shí),若其為同階無(wú)窮小且兩者商的極限不為時(shí),則可用與其等價(jià)的無(wú)窮小量分別替換,將是運(yùn)算過程更為簡(jiǎn)潔定理211和定理212解決了等價(jià)無(wú)窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用,下面對(duì)定理211和定理212推廣可得到如下一些結(jié)論結(jié)論211設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量,且21,FX1XG0若或存在,則,LIM0KXGF0LIMXHFR0LIMXHXRFGLIXGFXLI11XX或0LIMXHRFXG01LIMXHRFXG證明由所給條件知,11F再由結(jié)論111可直接得0LIMXHFXGR01LIMXHFXGR結(jié)論212設(shè),為時(shí)的無(wú)41FF1,11XR0窮小量,且為常數(shù),若,LI0KXBGAX,LI0SXDRCHX,ABCDKS存在,則0LIMXFCHDR0LIMXAFBGC011LIMXFGXHR證明由知0LIXAFBG1LI10FX0LIXAFBG01LI0,XAFBG從而即同理01LIM,XAFBG1XBGAFXF1XDRCHXRC所以0LIMXAFBGXCHDR01LIMXAFBGXCHDRR0111LIMXAFBGXCHDRR011LIMXAFBGXCHDR結(jié)論212的得到增強(qiáng)了定理的應(yīng)用范圍,使其應(yīng)用更加廣泛,進(jìn)一步體現(xiàn)了等價(jià)無(wú)窮小代換的廣泛性與靈活性,暗示我們對(duì)于一些復(fù)雜的極限可以通過等價(jià)無(wú)窮小代換使之簡(jiǎn)潔而有效22定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例221求極限XX5TAN2SI3RCSI1LM0解由于當(dāng)時(shí),并且LXI0RCS3LIN1XXLIM031故當(dāng)時(shí),0XARI1LN又由于當(dāng)時(shí),并且SI2,XX5TXX2SIN5TAL0LI0251故當(dāng)時(shí),X5TA由結(jié)論212得XX5TAN2SI3RCSI1LM034LIM0X說(shuō)明這道題是對(duì)定理和結(jié)論的直接應(yīng)用,對(duì)于既有積商,又有和差的極限,首先判斷其是否符合和差形式的條件,然后在應(yīng)用上面推廣的結(jié)論,這樣做顯然比直接利用洛必達(dá)簡(jiǎn)單些,在求極限中,往往我們先利用等價(jià)無(wú)窮小代換,再利用洛比達(dá)會(huì)起到事半功倍的效果例222求極限為常數(shù)0ARCTNLIMSILXKEXKL解因?yàn)楫?dāng)時(shí),X,SIN,ARCTN,LXKLLXLKX所以由結(jié)論211有SINIARCTLM0KXLXELKLXLKIM0例223求極限2230TA1LNIX解當(dāng)時(shí),并且2331SIN1SIN,2XXESI1LIM302EXLIM20X故當(dāng)時(shí),0X3SIN2EX1SIN32EX223XX又當(dāng)時(shí),并且,TA,1L20L1IMTN3X20LI13X故當(dāng)時(shí),0X222TA1LN所以由結(jié)論212有2230TANLSI1IXEX31LI20說(shuō)明例223跟例221一樣,只要嚴(yán)格遵守上面推廣的結(jié)論就可以很快得到結(jié)果,其解法既快捷又簡(jiǎn)便,很好的體現(xiàn)了利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的優(yōu)越性總之,有上述的幾個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于某些函數(shù)極限的計(jì)算利用等價(jià)無(wú)窮小替換比洛比達(dá)法則簡(jiǎn)單易行,可起到事半功倍的效果,必要的時(shí)候兩種方法可以同時(shí)進(jìn)行3等價(jià)無(wú)窮小量在求冪指結(jié)構(gòu)未定式、函數(shù)的極限中的應(yīng)用01031重要定理及其結(jié)論本節(jié)主要介紹等價(jià)無(wú)窮小量了冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用,在冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中利用等價(jià)無(wú)窮小代換可以適當(dāng)?shù)陌逊爆嵉氖阶舆M(jìn)行化簡(jiǎn),從而有利于我們更快更好的解決這一類極限,下面我們先從引理入手引理311設(shè)和在有定義,為時(shí)的無(wú)窮小量,5XFG0XU1XFF0且則有10,FXFLN1LXFF0證明由條件知,且01LIM,NXF01LINXF01LNIXF01LIXF0LLIXFFX01LNIMXF所以LNL1XFF0引理312設(shè)和在有定義,為時(shí)的無(wú)窮小G0XU1XFF0量,且則1,FXFLN1LNF證明因?yàn)?又因?yàn)?LNXF1XF1XFF所以L1XF下面介紹未定式、的基本定理及其結(jié)論00定理311設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量,且61XFF1XG00,FX則型10,FX10LIMGXX0LI0證明由的連續(xù)性及引理311得E10LIGXXF10LNLIGXFE10LIMNXGFELN1I0XFGX0LIMGXF結(jié)論311設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量,且則00IX,10LIMGXXF0LIGXF結(jié)論312設(shè)為時(shí)的無(wú)窮小量,且1F0X0LI,XG0,FX則1,F01LIGXXF0LIMG結(jié)論313設(shè),為時(shí)的無(wú)21F1X,11XRXH0窮小量,若它們滿足如下條件1）,1LIM0XGF1LI0XRH2）0,1GFF則0LIHXRX10LIHXRXF證明由得,1LIM0GFXLI0RX111,FFGXHRXHRX再由定理311可得0LIHXRXF101LIMHXRXFG定理312設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量,且1F1G1,F則型1,FX10LIMGXXF01LIGXF證明由的連續(xù)性及引理312得E10LIXGXFLN1IM0FXGXELN1IM0FXGXE10LIGXF根據(jù)定理312,下面得到更一般的情況結(jié)論314設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量,且,31XFF1XG00LIM1XH,則0LIM1XFH10LIMXXHF01LIMGXHF定理313設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量,且,51FF1G00XF則型,01XF0LIGXXF10LIXF0證明由的連續(xù)性及引理311得E01LIMGXXF01LNLIGXFE01LNIMGXFXE10LNLIGXFE10LIMGXXF結(jié)論315設(shè),為時(shí)的無(wú)窮小量,1FF11H且則0,FX,1F,1LIM0KXHG0LIMGXHXF10LIGXHXF注釋311很容易看出,上面的部分定理是結(jié)論的特殊情況,三種未定式的情況互有關(guān)聯(lián),因此要想很好的應(yīng)用定理和結(jié)論,需要對(duì)三種未定式靈活應(yīng)用,提倡相互聯(lián)系解題,反對(duì)將它們割裂注釋312這些結(jié)論將定理進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐茝V,不但有指數(shù)的形式,而且融合和差的形式,一方面使其應(yīng)用更加廣泛,另一方面突出體現(xiàn)了等價(jià)無(wú)窮小代換在求極限的靈活性和多樣性的特點(diǎn)32定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例321求極限XX10ARCTNLIM解因?yàn)?所以01LIX02LI1XX10又因?yàn)?故由定理311及結(jié)論313可得XARCTNXX10ARCTNLIM1LIM0X說(shuō)明這是一個(gè)型的極限,是對(duì)定理及結(jié)論的應(yīng)用,首先判斷它是否符合定理或結(jié)0論的條件,然后再利用定理或結(jié)論例322求極限2ARCSIN0LIARCTNIXX解由于當(dāng)時(shí),且X2T,所以滿足結(jié)論313的條件,0ARCTNLIM1SX01LIM2ARCSINXX故由結(jié)論313得2ARCSIN0LIARCTIXX20LXX30LIMX30LI2X30LIM1X說(shuō)明這也是一個(gè)型的極限,與例221類似,加深對(duì)結(jié)論313的理解0例323求極限（是常數(shù)）1SIN0LIMTAXX,解在的內(nèi),無(wú)論如何可以有,又當(dāng)時(shí),有U0TA0X,則由定理312得XXSIN,TA1SIN0LIMTAXX10LMXE說(shuō)明這是一個(gè)型的極限,是對(duì)定理312的簡(jiǎn)單應(yīng)用,同樣需要判斷是否符合條1件即可例324求極限1LN0LITAXX解由于和是時(shí)的無(wú)窮小量,且時(shí),滿足定理313TANL0XTANX的條件,所以有1LN0LIMTAXX1LN0IXE說(shuō)明這是一個(gè)型的極限,是對(duì)定理313及結(jié)論的簡(jiǎn)單應(yīng)用0參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析上冊(cè)M第三版