第一章隨機事件與隨機事件的概率11隨機事件引例一，擲兩次硬幣，其可能結(jié)果有上上；上下；下上；下下則出現(xiàn)兩次面向相同的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的。引例二，擲一次骰子，其可能結(jié)果的點數(shù)有1，2，3，4，5，6則出現(xiàn)偶數(shù)點的事件A，點數(shù)4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。從引例一與引例二可見，有些事件在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結(jié)果，這樣的事件，我們叫隨機事件。（一）隨機事件在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機事件，習(xí)慣用A、B、C表示隨機事件。由于本課程只討論隨機事件，因此今后我們將隨機事件簡稱事件。雖然我們不研究在一次試驗中，一定會出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件。必然事件在一次試驗中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習(xí)慣用表示必然事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件。不可能事件在一次試驗中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習(xí)慣用表示不可能事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)6的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件。（二）基本（隨機）事件隨機試驗的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果，叫基本隨機事件，簡稱基本事件，也叫樣本點，習(xí)慣用表示基本事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基本事件，或叫樣本點。全部基本事件叫基本事件組或叫樣本空間，記作，當(dāng)然是必然事件。（三）隨機事件的關(guān)系（1）事件的包含若事件A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，就說事件B包含事件A，記作。例如，擲一次骰子，A表示擲出的點數(shù)2，B表示擲出的點數(shù)3。A1，2，B1，2，3。所以A發(fā)生則必然導(dǎo)致B發(fā)生。顯然有（2）事件的相等若，且就記AB，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實際上是同一事件。（四）事件的運算（1）和事件事件A與事件B中至少有一個發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作或AB例如，擲一次骰子，A1，3，5；B1，2，3則和事件AB1，2，3，5顯然有性質(zhì)若，則有ABBAAA（2）積事件事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作AB或AB例如，擲一次骰子，A1，3，5；B1，2，3，則AB1，3顯然有性質(zhì)若，則有ABAAAA（3）差事件事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（AB）例如，擲一次骰子，A1，3，5；B1，2，3，則AB5顯然有性質(zhì)若，則有ABABAAB（4）互不相容事件若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB例如，擲一次骰子，A1，3，5；B2，4AB（5）對立事件事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對立事件。記作例如，擲一次骰子，A1，3，5，則顯然，對立事件有性質(zhì)注意A與B對立，則A與B互不相容，反之不一定成立。例如在考試中A表示考試成績?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。A與B互不相容，但不對立。下面圖11至圖16用圖形直觀的表示事件的關(guān)系和運算，其中正方形表示必然事件或樣本空間。圖11表示事件事件A圖12陰影部分表示AB圖13陰影部分表示AB圖14陰影部分表示AB圖15表示A與B互不相容圖16陰影部分表示事件的運算有下面的規(guī)律（1）ABBA，ABBA叫交換律（2）（AB）CA（BC）叫結(jié)合律（AB）CA（BC）（3）A（BC）ABAC（AB）（AC）ABC叫分配律（4）叫對偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生【答疑編號10010101針對該題提問】（2）A，B，C三事件都發(fā)生【答疑編號10010102針對該題提問】（3）A，B，C三事件都不發(fā)生【答疑編號10010103針對該題提問】（4）A，B，C三事件不全發(fā)生【答疑編號10010104針對該題提問】（5）A，B，C三事件只有一個發(fā)生【答疑編號10010105針對該題提問】（6）A，B，C三事件中至少有一個發(fā)生【答疑編號10010106針對該題提問】解（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）ABC例2某射手射擊目標(biāo)三次A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，請用A1、A2、A3的運算來表示B0、B1、B2、B3【答疑編號10010107針對該題提問】解（1）（2）（3）（4）例3，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運算表示下列事件。（1）A，B都發(fā)生且C不發(fā)生【答疑編號10010108針對該題提問】（2）A與B至少有一個發(fā)生而且C不發(fā)生【答疑編號10010109針對該題提問】（3）A，B，C都發(fā)生或A，B，C都不發(fā)生【答疑編號10010110針對該題提問】（4）A，B，C中最多有一個發(fā)生【答疑編號10010111針對該題提問】（5）A，B，C中恰有兩個發(fā)生【答疑編號10010112針對該題提問】（6）A，B，C中至少有兩個發(fā)生【答疑編號10010113針對該題提問】（7）A，B，C中最多有兩個發(fā)生【答疑編號10010114針對該題提問】解（1）（2）（3）（4）（5）（6）簡記ABACBC（7）簡記例4，若1，2，3，4，5，6；A1，3，5；B1，2，3求（1）AB；【答疑編號10010115針對該題提問】（2）AB；【答疑編號10010116針對該題提問】（3）；【答疑編號10010117針對該題提問】（4）；【答疑編號10010118針對該題提問】（5）；【答疑編號10010119針對該題提問】（6）；【答疑編號10010120針對該題提問】（7），【答疑編號10010121針對該題提問】（8）?！敬鹨删幪?0010122針對該題提問】解（1）AB1，2，3，5；（2）AB1，3；（3）2，4，6；（4）4，5，6；（5）4，6；（6）2，4，5，6；（7）2，4，5，6；（8）4，6由本例可驗算對偶律，正確例5，（1）化簡；【答疑編號10010123針對該題提問】（2）說明AB與是否互斥【答疑編號10010124針對該題提問】解（1）（2）例6A，B，C為三事件，說明下列表示式的意義。（1）ABC；【答疑編號10010125針對該題提問】（2）；【答疑編號10010126針對該題提問】（3）AB；【答疑編號10010127針對該題提問】（4）【答疑編號10010128針對該題提問】解（1）ABC表示事件A，B，C都發(fā)生的事件（2）表示A，B都發(fā)生且C不發(fā)生的事件（3）AB表示事件A與B都發(fā)生的事件，對C沒有規(guī)定，說明C可發(fā)生，也可不發(fā)生。AB表示至少A與B都發(fā)生的事件（4）所以也可以記AB表示，ABC與中至少有一個發(fā)生的事件。例7A，B，C為三事件，說明（ABBCAC）與是否相同?！敬鹨删幪?0010129針對該題提問】解（1）表示至少A，B發(fā)生它表示A，B，C三事件中至少發(fā)生二個的事件。（2）表示A，B，C三事件中，僅僅事件A與事件B發(fā)生的事件表示A，B，C三事件中僅有二個事件發(fā)生的事件。因而它們不相同。12隨機事件的概率（一）頻率（1）在相同條件下，進(jìn)行了N次試驗，在這N次試驗中，事件A發(fā)生了NA次，則事件A發(fā)生的次數(shù)NA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。（2）比值NA/N稱為事件A發(fā)生的頻率，記作FN（A），即歷史上有不少人做過拋硬幣試驗，其結(jié)果見下表，用A表示出現(xiàn)正面的事件試驗人NNAFN（A）摩根2048106105181蒲豐4040204805069皮爾遜12000601905016從上表可見，當(dāng)試驗次數(shù)N大量增加時，事件A發(fā)生的頻率FN（A）會穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見拋硬幣試驗，正面出現(xiàn)的事件A的頻率FN（A）的穩(wěn)定值大約是05。（二）概率事件A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件A發(fā)生的概率，記作P（A）實際上，用上述定義去求事件A發(fā)生的概率是很困難的，因為求A發(fā)生的頻率FN（A）的穩(wěn)定值要做大量試驗，它的優(yōu)點是經(jīng)過多次的試驗后，給人們提供猜想事件A發(fā)生的概率的近似值。粗略地說，我們可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P（A）就是事件A發(fā)生的可能性的大小，這種說法不準(zhǔn)確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于?yīng)用。下面我們不加證明地介紹事件A的概率P（A）有下列性質(zhì)（1）0P（A）1（2）P（）1，P（）0（3）若A與B互斥，即AB，則有P（AB）P（A）P（B）若A1，A2，AN互斥，則有（三）古典概型若我們所進(jìn)行的隨機試驗有下面兩個特點（1）試驗只有有限個不同的結(jié)果；（2）每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則這種試驗?zāi)Ｐ徒泄诺涓判?。例如，擲一次骰子，它的可能結(jié)果只有6個，假設(shè)骰子是均勻的，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是1/6，所以相等，這種試驗是古典概型。下面介紹古典概型事件的概率的計算公式設(shè)是古典概型的樣本空間，其中樣本點總數(shù)為N，A為隨機事件，其中所含的樣本點數(shù)為R則有公式例1，擲一次骰子，求點數(shù)為奇數(shù)點的事件A的概率?！敬鹨删幪?0010201針對該題提問】解樣本空間為1，2，3，4，5，6；A1，3，5N6,R3例2擲三次硬幣，設(shè)A表示恰有一次出現(xiàn)正面，B表示三次都出現(xiàn)正面，C表示至少出現(xiàn)一次正面，求（1）P（A）；【答疑編號10010202針對該題提問】（2）P（B）；【答疑編號10010203針對該題提問】（3）P（C）【答疑編號10010204針對該題提問】解樣本空間正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1）（2）（3）由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的計算公式只需知道樣本空間中的樣本點的總數(shù)N和事件A包含的樣本點的個數(shù)R就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點，因此，當(dāng)樣本空間的樣本點總數(shù)比較多或難于一一列舉的時候，也可以用分析的方法求出N與R的數(shù)值即可。例3，從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)碼中，取出三個不同的數(shù)碼，求所取3個數(shù)碼不含0和5的事件A的概率?！敬鹨删幪?0010205針對該題提問】解從10個不同數(shù)碼中，任取3個的結(jié)果與順序無關(guān)，所以基本事件總數(shù)A事件中不能有0和5，所以只能從其余8個數(shù)碼中任取3個，所以A中的基本事件例4，從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取一個，放回后再取一個，求所取兩個數(shù)字不同的事件A的概率?！敬鹨删幪?0010206針對該題提問】解（1）第一次取一個數(shù)字的方法有9種；第二次取一個數(shù)字的方法與第一次相同也是9種；由乘法原則，知兩次所取的數(shù)字方法有9992（種）每一種取法是一個基本事件，所以N92（2）所取兩個數(shù)字不同時，相當(dāng)于從中任取兩個數(shù)，其結(jié)果與順序有關(guān)，所取取法有也可按（1）的乘法原則求R，第一次的取法有9種，第二次的數(shù)字與第1次不同，所以只有8種，所以取法共有98（種）R98例5，袋中有5個白球，3個紅球，從中任取2個球，求（1）所取2個球的顏色不同的事件A的概率；【答疑編號10010207針對該題提問】（2）所取2個球都是白球的事件B的概率；【答疑編號10010208針對該題提問】（3）所取2個球都是紅球的事件C的概率；【答疑編號10010209針對該題提問】（4）所取2個球是顏色相同的事件的概率?！敬鹨删幪?0010210針對該題提問】解袋中共的8個球，從中任取2個球結(jié)果與順序無關(guān)，所以取法共有種，每一種取法的結(jié)果是一個基本事件，所以基本事件總數(shù)為（1）分兩步取。第一步，在5個白球中任取一個，方法數(shù)為5；第二步在3個紅球中取一個，方法數(shù)為3，根據(jù)乘法原則，共有53種方法，即有53種結(jié)果。（2）從5個白球中任取2個，結(jié)果與順序無關(guān)取法共有（種）B包含的基本事件共有R210（3）從3個紅球中任取2個的方法為（種）C包含的基本事件數(shù)R33（4）所取2個球顏色相同的有兩類第一類2個球都是白球的方法有（種）第二類2個球都是紅球的方法有（種）根據(jù)加法原則，所取2個球是顏色相同的方法共有10313種。2個球顏色相同的事件D包含R413種基本事件。例6，袋中有10件產(chǎn)品，其中有7件正品，3件次品，從中每次取一件，共取兩次，求（1）不放回抽樣，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率?！敬鹨删幪?0010211針對該題提問】（2）放回抽樣，第一次取一件產(chǎn)品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率【答疑編號10010212針對該題提問】解（1）第一次取一件產(chǎn)品的方法有10種不放回，第二次取一件產(chǎn)品的方法有9種由乘法原則知，取兩次的方法共有109種也可以用排列數(shù)計算，因為結(jié)果與順序有關(guān)，所以取法有（種）基本事件總數(shù)N109第一次取到正品，第二次取到次品的方法有73種，所以事件A包含的基本事件有（2）放回抽樣。由于有放回，所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是10種，由乘法原則知抽取方法共有1010100種，所以基本事件總數(shù)N1010100第一次取正品方法有7種，第二次取次品的方法有3種，由乘法原則，事件B包含的基本事件共有例7，將一套有1,2,3,4,5分冊的5本書隨機放在書架的一排上，求1，2分冊放在一起的事件A的概率。【答疑編號10010301針對該題提問】解（1）基本事件總數(shù)N54321（種）或者為（2）A包含的基本事件有（種）例8，擲兩次骰子，求點數(shù)和為7的事件A的概率?！敬鹨删幪?0010302針對該題提問】解（1）基本事件總數(shù)N6636（種）（2）A；A包含的基本事件數(shù)R6例9，從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)碼中任取3個，排成三位數(shù)，求（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的事件A的概率。（2）所排成的三位數(shù)是奇數(shù)的事件B的概率?！敬鹨删幪?0010303針對該題提問】解基本事件總數(shù)（個）（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的取法需分兩步第一步，取一個偶數(shù)放在個位碼位置，取法有3種；第二步，將其余6個數(shù)中任取兩個排成一排，分別處于十位數(shù)和百位數(shù)碼位置，共有種方法。根據(jù)乘法原則，事件A包含的基本事件數(shù)（2）所排成的三位數(shù)的取法也需分兩步進(jìn)行；第一步，取一個奇數(shù)放在個位碼位置，有4種方法。第二步，將其余6個數(shù)中任取兩個放在十位碼和百位碼，方法有種。根據(jù)乘法原則，事件B包含的基本事件數(shù)例10，袋中有9個球，分別標(biāo)有號碼1，2，3，4，5，6，7，8，9從中任取3個球，求（1）所取3個球的最小號碼為4的事件A的概率；【答疑編號10010304針對該題提問】（2）所取3個球的最大號碼為4的事件B的概率；【答疑編號10010305針對該題提問】解基本事件總數(shù)（個）（1）最小號碼為4的取法分兩步進(jìn)行第一步，取出4號球，方法只有1種第二步，在5，6，7，8，9這5個球中任取2個，方法數(shù)為A包含的基本事件（2）最大碼為4的取法為第一步，取出4號球方法只有1種第二步，在1，2，3號球中任取2個，方法數(shù)為B包含的基本事件例11，將兩封信投入4個信箱中，求兩封信在同一信箱的事件A的概率。【答疑編號10010306針對該題提問】解（1）先將第一封信投入信箱，有4種方法再將第二封信投入信箱，也有4種方法根據(jù)乘法原則共有44種方法基本事件總數(shù)N44（2）將兩封信同時投入一個信箱，方法有4種A包含的基本事件數(shù)R4例12，袋中有10個球，其中有6個白球，4個紅球，從中任取3個，求（1）所取的三個球都是白球的事件A的概率【答疑編號10010307針對該題提問】（2）所取三個球中恰有2個白球一個紅球的事件B的概率【答疑編號10010308針對該題提問】（3）所取3個球中最多有一個白球的事件C的概率【答疑編號10010309針對該題提問】（4）所取3個球顏色相同的事件D的概率【答疑編號10010310針對該題提問】解基本事件總數(shù)（1）A包含的基本事件數(shù)（2）B包含的基本事件數(shù)（3）C的基本事件包含兩類第一類，一個白球，二個紅球的取法有第二類，0個白球，三個紅球取法有種事件C包含的基本事件數(shù)（4）事件D包含的基本事件有兩類第一類，三個球都是白球的取法有種第二類，三個球都是紅球的取法有種事件D包含的基本事件數(shù)（種）（四）概率的加法公式請先看下面引例擲一次骰子，A1，3，5，B1，2，3請求（1）P（A）；【答疑編號10010311針對該題提問】（2）P（B）；【答疑編號10010312針對該題提問】（3）P（AB）；【答疑編號10010313針對該題提問】（4）P（AB）【答疑編號10010314針對該題提問】解（1）（2）（3）（4）由本例看出，P（AB）P（A）P（B）P（AB），本例的結(jié)果具有普遍性，下面我們不加證明地介紹下面公式特別情形（1）如果A與B互斥，即AB則P（AB）0這時（2）因為A與有性質(zhì)所以當(dāng)上面等式中左邊的概率P（A）不易求得，而且A的對立事件的概率則較易計算時，便可以通過容易計算的求難計算的概率P（A）。例1若P（A）05，P（AB）08，P（AB）03，求P（B）【答疑編號10010315針對該題提問】解因為P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（B）P（AB）P（AB）P（A）08030506例2，袋中有10件產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品，從只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。【答疑編號10010316針對該題提問】解A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三類事件，計算比較復(fù)雜。而對立事件則表示沒有次品，即都是正品的事件，比較簡單。因為基本事件總數(shù)事件包含的基本事件加法公式可推廣如下例3，P（A）04，P（B）05，P（C）04，P（AB）02，P（AC）024，P（BC）0，求P（ABC）?！敬鹨删幪?0010317針對該題提問】解（五）概率的減法公式因為，而，而BA與明顯不相容。特別地，若，則有ABA所以當(dāng)例1，已知P（B）08，P（AB）05，求【答疑編號10010318針對該題提問】解例2，若A與B互不相容，P（A）05，P（B）03，求【答疑編號10010319針對該題提問】解（1）P（AB）P（A）P（B）08根據(jù)對偶公式所以13條件概率（一）條件概率和乘法公式符號叫在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，叫條件概率，需要指出的是條件概率仍是事件A的概率，但是它有條件，條件是以B已經(jīng)發(fā)生為前提，或者是以B已經(jīng)發(fā)生為條件。例1，某廠有200名職工，男、女各占一半，男職工中有10人是優(yōu)秀職工，女職工中有20人是優(yōu)秀職工，從中任選一名職工。用A表示所選職工優(yōu)秀，B表示所選職工是男職工。求（1）P（A）；【答疑編號10010401針對該題提問】（2）P（B）；【答疑編號10010402針對該題提問】（3）P（AB）；【答疑編號10010403針對該題提問】（4）；【答疑編號10010404針對該題提問】解（1）（2）（3）AB表示所選職工既是優(yōu)秀職工又是男職工（4）表示已知所選職工是男職工。在已知所選職工是男職工的條件下，該職工是優(yōu)秀職工，這時N100,R10由本例可以看出事件A與事件不是同一事件,所以它們的概率不同,即由本例還可看出,事件AB與事件也不相同，事件AB表示所選職工既是男職工又是優(yōu)秀職工，這時基本事件總數(shù)N1200，R10。而事件則表示已知所選職工是男職工，所以基本事件總數(shù)N2100，R10，所以雖然P（AB）與不相同，但它們有關(guān)系，由本例可以看出本例的結(jié)果具有普遍性。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式顯然有若P（A）0則有將上面的結(jié)果改寫為整式有公式叫概率的乘法公式。例2，在10件產(chǎn)品中，有7件正品，3件次品，從中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求（1）P（A）；【答疑編號10010405針對該題提問】（2）；【答疑編號10010406針對該題提問】（3）P（AB）【答疑編號10010407針對該題提問】解（1）（2）（3）例3，若P（AB）03，P（B）05，求【答疑編號10010408針對該題提問】解例4，若P（A）08，P（B）04，求?！敬鹨删幪?0010409針對該題提問】解（1）（2）例5，某人壽命為70歲的概率為08，壽命為80歲的概率為07，若該人現(xiàn)已70歲時，問他能活到80歲的概率是多少【答疑編號10010410針對該題提問】解用A表示某人壽命為70歲，B表示某人壽命為80歲。已知P（A）08，P（B）07由于因為所以，已經(jīng)活到70歲的人能活到80歲的概率為0875乘法公式可以推廣為例6，袋中有三件正品，二件次品（）從中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率?！敬鹨删幪?0010411針對該題提問】解用A1表示第一次取到正品A2表示第二次取到正品A3表示第三次取到正品則用古典概型計算P（A1），這時N15，R13再用古典概型計算，這時N24，R22再用古典概型計算，這時N33，R32（二）全概公式定義若事件組滿足條件（1）互不相容（2）在一次試驗中，事件組中至少發(fā)生一個，即就說事件組是樣本空間的一個劃分。例如事件組A與有所以事件組是樣本空間的一個劃分。例如某產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠分別生產(chǎn)，A1表示該產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)，A2表示該產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)，A3表示該產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)，則事件組A1，A2，A3滿足（1）（2）所以事件組A1，A2，A3是樣本空間的一個劃分。下面介紹全概公式設(shè)是樣本空間的一個劃分，B是一個事件，則有【答疑編號10010412針對該題提問】證又BB互不相容也互不相容用乘法公式上式可改寫為特別地（1）若是的一個劃分，則有（2）是的一個劃分，所以全概公式的優(yōu)點是當(dāng)P（B）不易求而且條件概率容易計算時，可用全概公式求P（B）例1，袋中有5個球，其中有3個紅球，2個白球，從中每次取出一個球（不放回）用A表示第一次取到紅球，B表示第二次取到紅球，求（1）P（A）；【答疑編號10010413針對該題提問】（2）P（B）【答疑編號10010414針對該題提問】解（1）用古典概型N5,R3（2）直接求P（B）很困難，因為B發(fā)生的概率與事件A發(fā)生與之有關(guān)，用古典概型容易求得所以可用全概公式計算可見第一次，第二次取到紅球的概率相同。例2，已知男人中有5是色盲，女人中有1是色盲，若人群中男女各半。當(dāng)在人群中任取一人，問該人是色盲的概率是多少【答疑編號10010415針對該題提問】解用B表示該人是色盲者，A表示該人是男人直接求P（B）比較困難，原因在于該人是色盲的概率與該人的性別有關(guān)，但已知例3，甲乙兩臺車床加工同一產(chǎn)品，甲車床的次品率為003，乙車床的次品率為002，又知甲車床的產(chǎn)量是乙車床產(chǎn)量的兩倍，現(xiàn)將兩臺車床的產(chǎn)品放在一起，從中任取一件，求該產(chǎn)品是次品的概率。【答疑編號10010416針對該題提問】解用B表示該產(chǎn)品是次品，A表示該產(chǎn)品由甲車床生產(chǎn)已知例4，二門導(dǎo)彈射擊敵機，敵機未被擊中的概率為025，被擊中一彈的概率為05,被擊中二彈的概率為025，若敵機中一彈時被擊落的概率為07，敵機中二彈時，被擊落的概率為09。求敵機被擊落的概率?！敬鹨删幪?0010417針對該題提問】解用AK表示敵機的被擊中K彈，K0,1,2；B表示敵機被擊落已知顯然有其中A0,A1,A2是的一個劃分（三）逆概公式（貝葉斯公式）由可得公式叫逆概公式（貝葉斯公式）當(dāng)P（A）,P（B），已知時，可反過來求。例5，某地七月份下暴雨的概率為07，當(dāng)下暴雨時，有水量的概率為02；當(dāng)不下暴雨時，有水量的概率為005，求（1）該地七月份有水災(zāi)的概率【答疑編號10010501針對該題提問】（2）當(dāng)該地七月份已發(fā)生水災(zāi)時，下暴雨的概率【答疑編號10010502針對該題提問】解用B表示該地七月有水災(zāi)；A表示該地七月下暴雨已知（1）（2）例6，某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)，甲廠產(chǎn)量占50，次品率為001，乙廠產(chǎn)量占30，次品率為002，丙廠產(chǎn)量占20，次品率為005，求（1）該產(chǎn)品的次品率【答疑編號10010503針對該題提問】（2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率。【答疑編號10010504針對該題提問】解用B表示產(chǎn)品是次品，A1表示甲廠的產(chǎn)品，A2表示乙廠的產(chǎn)品，A3表示丙廠的產(chǎn)品。所以表示已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是甲廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是乙廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是丙廠產(chǎn)品；（1）（2）可見，若該產(chǎn)品是次品，則此次品是丙廠產(chǎn)品的可能性最大。例7，甲袋中有3個白球，2個紅球，乙袋中有2個白球，3個紅球，先從甲袋中取一個球放入乙袋，再從乙袋中取一個球，求（1）從乙袋中取出的球是白球的概率；【答疑編號10010505針對該題提問】（2）如果從乙袋中取出的球是白球，則這時從甲袋中取出白球的概率是多少從甲袋中取出紅球的概率是多少【答疑編號10010506針對該題提問】解用B表示從乙袋中取出白球；A表示從甲袋中取出白球，所以表示從甲袋中取出紅球。已知（1）（2）可見從甲袋中取出白球的可能性大。例8，已知，求（1）P（AB）；【答疑編號10010507針對該題提問】（2）【答疑編號10010508針對該題提問】解（1）（2）例9，若；求（1）P（B）；【答疑編號10010509針對該題提問】（2）P（AB）【答疑編號10010510針對該題提問】解（1）（2）（3）例10，已知；求【答疑編號10010511針對該題提問】解（1）（2）（3）14事件的獨立性（一）事件的獨立性（1）定義若P（AB）P（A）P（B），就說事件A與事件B相互獨立。（2）A與B獨立的性質(zhì)性質(zhì)一，若A與B獨立，則而若A與B獨立，則證A與B獨立，P（AB）P（A）P（B）（1）當(dāng)P（A）0時，（2）當(dāng)P（B）0時，性質(zhì)一說明A與B相互獨立時，A發(fā)生與否，對B發(fā)生的概率沒有影響，而且，B發(fā)生與否也對A發(fā)生的概率沒有影響。性質(zhì)二，若A與B獨立，則有（1）與獨立（2）與B獨立（3）A與獨立證用獨立性定義（1）A與B獨立，P（AB）P（A）P（B）由對偶公式與獨立（2）與B相互獨立（3）A與相互獨立由A與B獨立這一定義可推廣有下列結(jié)果若A，B，C相互獨立，則有P（ABC）P（A）P（B）P（C）若相互獨立，則有例1種子的發(fā)芽率為098，求三粒種子中至少有一粒發(fā)芽的概率?！敬鹨删幪?0010601針對該題提問】（解一）用B表示三粒種子中至少有一粒發(fā)芽A1表示第一粒種子發(fā)芽A2表示第二粒種子發(fā)芽A3表示第三粒種子發(fā)芽很明顯，A1，A2，A3相互獨立（解二）用對偶公式例2甲、乙、丙三人獨立破譯敵碼。甲能破譯的概率為乙能破譯的概率為丙能破譯的概率為求密碼被破譯的概率?！敬鹨删幪?0010602針對該題提問】解用B表示敵碼被破譯B甲乙丙例3某產(chǎn)品由三道工序獨立加工而成。第一工序的正品率為098；第二工序的正品率為099；第三工序的正品率為098。求該種產(chǎn)品的正品率和次品率?！敬鹨删幪?0010603針對該題提問】解用B表示產(chǎn)品是正品A1表示第一工序是正品A2表示第二工序是正品A3表示第三工序是正品BA1A2A3（1）（2）（二）重復(fù)獨立試驗概型先請看引例某人射擊目標(biāo)的命中率為P，他向目標(biāo)射擊三槍，求這三槍中恰中二槍的概率?！敬鹨删幪?0010604針對該題提問】解用B表示射擊三槍，恰中二槍的事件A1表示第一槍擊中目標(biāo)A2表示第二槍擊中目標(biāo)A3表示第三槍擊中目標(biāo)其中A1，A2，A3獨立由本例可見與，大小相同都是P2（1P），總共有三類，相當(dāng)于從1，2，3這三個數(shù)中，任取二個的方法數(shù)由本例可以推廣為某人射擊目標(biāo)的命中率為P（即每次命中率都是P），他向目標(biāo)射擊N槍，則這N槍中恰中K槍的概率為P（射擊N槍，恰中K槍）一般地，有下面普遍結(jié)果如果在每一次試驗中，事件A發(fā)生的概率不變都是P（A）P，則在這樣的N次重復(fù)相同的試驗中，事件A發(fā)生K次的概率的計算公式為P（在N次重復(fù)試驗中，A發(fā)生K次）其中P表示在每一次試驗時，A的概率，記為PP（A），習(xí)慣用符號PN（K）表示在N次