1、曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分習(xí)題課 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)絡(luò)絡(luò)dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (與方向有關(guān))（一曲線積分與曲面積分（一曲線積分與曲面積分與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有

2、連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)絡(luò)絡(luò) RdxdyQdzdxPdydz計計 算算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān)) 一代,二投,三定向 (與側(cè)

3、有關(guān)) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二各種積分之間的聯(lián)系（二各種積分之間的聯(lián)系點函數(shù)點函數(shù))(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 時時上區(qū)間上區(qū)間當當.),()(,2 DdyxfdMfDR 時時上上區(qū)區(qū)域域當當積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分 dVzyxfdMfR),(

4、)(,3 時時上區(qū)域上區(qū)域當當.),()(,3 dszyxfdMfR 時時上上空空間間曲曲線線當當.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時時上上曲曲面面當當曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時時上上平平面面曲曲線線當當曲線積分曲線積分計算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baLdx

5、dxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面面元元素素dS)(投影投影面元素面元素dxdy理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdy

6、yPxQLD 格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLd

7、xdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推廣推廣為平面向量場為平面向量場)(MA為空間向量場為空間向量場)(MA梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三場論初步（三場論初步是是保保守守場場。的的路路徑徑無無關(guān)關(guān)，稱稱到到而而與與從從兩兩點點的的位位置置有有關(guān)關(guān)，、只只與與）：若若定定義義（FBABArdFPAB 354 . 004;03;21),(),(),(354 LrdFLFFrotFgradvFFFz

8、yxRzyxQzyxPFP，的的環(huán)環(huán)量量為為內(nèi)內(nèi)沿沿任任意意閉閉路路在在）（內(nèi)內(nèi)是是無無旋旋場場在在）（內(nèi)內(nèi)是是有有勢勢場場，在在）（內(nèi)內(nèi)是是保保守守場場；在在）（則則下下列列四四個個條條件件等等價價內(nèi)內(nèi)有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，的的三三個個分分量量在在，是是一一個個線線單單連連通通區(qū)區(qū)域域，）若若定定理理：（ 并求勢函數(shù)。并求勢函數(shù)。為有勢場，為有勢場，、證明、證明例例zxyxxyyasin,cos,cos1 zxyxxyyzyxkjiarotsincoscos 解解：0 LzdzxydyxxydxyvsincoscosOABC xyzzdzxydyxdx000sincos01cos

9、sin zxy曲面面積的計算法曲面面積的計算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，例例 2 2 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx內(nèi)內(nèi)的的側(cè)側(cè)面面積積. .解解由對稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參參數(shù)數(shù)方方程程為為,cossin3)()

10、(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324 tdtt.233 例例 3 驗驗證證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在在整整個個xoy平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某一一函函數(shù)數(shù)),(yxu的的全全微微分分, ,并并求求這這樣樣一一個個),(yxu. .解解yyeyxxyxQxyyxyxP128),(,83),(2322 是是某某個個函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分 ,1632xQxyxyPdyyeyxxdxxyyxyxuyyx)128()83(),(23),()0 ,

11、0(22 BAO)1(124)128(223023 yyyyABOAeyeyxyxdyyeyxx例例 5 5 設(shè)在半平面設(shè)在半平面0 x內(nèi)有力內(nèi)有力)(3j yi xrkF 構(gòu)成力構(gòu)成力場場, ,其中其中k為常數(shù)為常數(shù), , 22yxr . .證明在此力場中證明在此力場中, ,場力場力所作的功與所取的路徑無關(guān)所作的功與所取的路徑無關(guān) . .例例 4 試確定試確定 , ,使得使得dyryxdxryx 22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,其中其中22yxr , ,并求并求),(yxu. . LazyxazyxLdsxyxzyz23:,)222(12222、)0()0 ,()

12、0 ,()ln(2 22222222 aaBaAayxLdyaxxyxdxxayIL的弧段的弧段依反時針方向到依反時針方向到上由點上由點是圓周是圓周其中其中、計算、計算取逆時針。取逆時針。為為其中其中、計算、計算)0()1(4322222 RRyxLyxydxxdyIL LazyxazyxLdsxyxzyz23:,)222(12222、dszyxzyxIL)()(2222 解解：dsaaL)49(22 dsaL 452323ad 22dar 2a ra 2452。 453a )0()0 ,()0 ,()ln(2 2222222222 aaBaAayxLdyaxxyxdxxayIL的弧段的弧段依

13、反時針方向到依反時針方向到上由點上由點是圓周是圓周其中其中、計算、計算)0 ,( aB )0 ,(aA22124axyxQ 解解：2212axyyP dyaxxyxdxxayIl)ln(2 222222 Ddxdy422 a dyaxxyxdxxayl)ln(2 222222 0022 dxxall取逆時針。取逆時針。為為其中其中、計算、計算)0()1(4322222 RRyxLyxydxxdyIL222244yxxyyPxQ 解：解：0)()1)1( dxdyyPxQIRD（)1)2( R（0)(4)1)3(22 dxdyyPxQyxydxxdyIRDl（2224: yxl llydxxdy

14、yxydxxdyI2224 222111222 Dldxdyydxxdy的的矩矩形形路路徑徑。點點為為連連接接其其中中、計計算算)6, 5(),6, 5(),6 , 5(),6 , 5(,)4()3(3()4()3(4(422222222 DCBALdyyxxyxxdxyxyyxyIL軸正向看去為順時針。軸正向看去為順時針。從從的交線，的交線，與旋轉(zhuǎn)拋物面與旋轉(zhuǎn)拋物面為球面為球面其中其中、計算：、計算：ozyxzzyxLdzyxdyyxyzdxxIL2222222215,)1()(5 的的矩矩形形路路徑徑。為為連連接接點點其其中中、)6, 5(),6, 5(),6 , 5(),6 , 5(,)

15、4()3(3()4()3(4(422222222 DCBALdyyxxyxxdxyxyyxyILdyyxxdxyxyIL2222 解解：dyyxxdxyxyL2222)4()3(3)4()3(4 yPxQyPxQ 2211 12222yxyxxdyydxI 1)4()3(2222)4()3()3()4(yxyxdyxdxy 4 軸軸正正向向看看去去為為順順時時針針。從從的的交交線線，與與旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面為為球球面面其其中中、計計算算：ozyxzzyxLdzyxdyyxyzdxxIL2222222215,)1()(5 2122zyxL解：解： 2sincoszyxL dI0)1sin(cos

16、cossincos20222 2 2222220,),(,),()(72222yxzyxzyxzyxfdszyxftFtzyx，其中其中、求、求內(nèi)內(nèi)的的部部分分。在在柱柱體體為為錐錐面面其其中中、計計算算xyxyxzzds2,62222 內(nèi)內(nèi)的的部部分分。在在柱柱體體為為錐錐面面其其中中、計計算算xyxyxzzds2,62222 dxdyzzdsyx221 解：解：dxdy2 dxdyyxID222 drrd cos202222。9232 2222220,),(,),()(72222yxzyxzyxzyxfdszyxftFtzyx，其其中中、求求 21),(),()(ssdszyxfdszyx

17、ftF解解： 1),(sdszyxfdxdyyxttds222 222222222)()(tyxdxdyyxttyxtF.62584t s1s2軸軸夾夾角角為為銳銳角角。其其法法向向量量與與為為有有向向曲曲面面其其中中、計計算算zzyxzszdxdydydzzxIs),10(,)2(822 所所截截出出部部分分的的外外側(cè)側(cè)。和和被被平平面面是是圓圓柱柱面面其其中中、計計算算024,)1(922 zzxyxsdxdyzydxdzIs）的旋度；）的旋度；，（在點在點）的散度；）的散度；，（在點在點外側(cè)通量；外側(cè)通量；所圍閉曲面所圍閉曲面與平面與平面向量場通過由錐面向量場通過由錐面求求、設(shè)向量、設(shè)向

18、量121)3(121)2(1)1()1()1()1(100022222 MMzyxzkzxzjzxyizxxA軸夾角為銳角。軸夾角為銳角。其法向量與其法向量與為有向曲面為有向曲面其中其中、計算、計算zzyxzszdxdydydzzxIs),10(,)2(822 1s vsdvI)12(1解解： 23 11sszdxdy Ddxdy 。2 I所所截截出出部部分分的的外外側(cè)側(cè)。和和被被平平面面是是圓圓柱柱面面其其中中、計計算算024,)1(922 zzxyxsdxdyzydxdzIs sydxdzI解：解： 左左右右ssydxdzydxdz 左左sDdxdzxdxdzx2244 84222202

19、dzxdxx）的的旋旋度度；，（在在點點）的的散散度度；，（在在點點外外側(cè)側(cè)通通量量；所所圍圍閉閉曲曲面面與與平平面面向向量量場場通通過過由由錐錐面面求求、設(shè)設(shè)向向量量121)3(121)2(1)1()1()1()1(100022222 MMzyxzkzxzjzxyizxxA RdxdyQdxdzPdydzQ)1(解解 vdv3 32 Adiv）（)1()1()1(3222zxzzxyzxxzyxkjiArot ）（ 432 ， 的的引引力力所所作作的的功功。對對質(zhì)質(zhì)點點運運動動過過程程中中質(zhì)質(zhì)點點求求在在此此運運動動到到自自沿沿曲曲線線點點之之間間的的距距離離），質(zhì)質(zhì)與與為為質(zhì)質(zhì)點點為為常常數(shù)數(shù)，為為的的引引力力大大小小對對質(zhì)質(zhì)點點的的質(zhì)質(zhì)點點、設(shè)設(shè)位位于于點點MAOBxxyMMArkrkMA).0 , 0()0 , 2(20()1 , 0(1122 ).,(),()()(