1、MINITAB統(tǒng)計根底1 .正態(tài)總體的抽樣分布1) 樣本均值X的分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及T分布樣本標(biāo)準(zhǔn)差計算公式:T分布的定義：Studentdistribution ,如果X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,S2服從個自由度的卡方分布,且它們相互獨立,那么隨機量所服從的分布稱為個自由度的t分布.其分布密度函數(shù)為:r f(x|v)=-mi當(dāng) L8時的極限分布即是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 當(dāng)v = 1時就是Cauchy 分布.T分布只包含1個參數(shù).數(shù)學(xué)期望和方差分別為 0, 一三("W 1時期望不存在,卜 <2方差不存在).我們常常用 Kv表示0個自由度的t分布.MINITAB 對于更一般的t分布還增加了一個“

2、非中央?yún)?shù),當(dāng)非中央?yún)?shù)為0時,就得到了我們現(xiàn)在所說的t分布.在用MINITAB 計算時,只要注意這一點就行了.自由度：可以簡單理解為在研究問題中,可以自由獨立取值的數(shù)據(jù)或變量的個數(shù).范例：ZN(0 , 1),求Z=1.98 時的概率密度.計算-> 概率分布-> 正態(tài)分布-> 概率密度-> 輸入常數(shù)1.98-> 確定概率密度函數(shù)=0和標(biāo)準(zhǔn)差=1正態(tài)分布,均值x f( x )1.98 0.0561831ZW),求PQW2M計算-> 概率分布-> 正態(tài)分布-> 累積I率-> 輸入常數(shù)2.4->確定累積分布函數(shù)正態(tài)分布,均值 =0和標(biāo)準(zhǔn)差=

3、1x P( X <= x )2.40.991802Z-N(0 , 1),求使得 P(Z<x)=0.95 成立的x值,即Z的0.95 分位數(shù).計算-> 概率分布-> 正態(tài)分布-> 逆累積概率-> 輸入常數(shù)0.95-> 確定可編輯逆累積分布函數(shù)正態(tài)分布,均值 =0和標(biāo)準(zhǔn)差=1P X <= x x0.951.64485自由度=12 ,求使得PZ <X=.95成灰的值.計算-> 概率分布->t 分布-> 逆累積概率-> 輸入自由度 12-> 輸入常數(shù) 0.95-> 確 定逆累積分布函數(shù)學(xué)生t分布,12自由度P X

4、 <= x x0.951.7822自由度=12 ,求使得Pl£3.2)3)計算-> 概率分布->t分布-> 累積I率-> 輸入自由度12->輸入常數(shù)3->確定累積分布函數(shù)學(xué)生t分布,12自由度x P( X <= x )30.994467雙樣本均值差的分布正態(tài)樣本正態(tài)樣本方差 S2的分布卡房卡方分布假設(shè)X1 , X2 ,Xn是從正態(tài)總體及(3 口0中抽出的一組樣本量為 n的獨立隨機樣本,記那么當(dāng)U時:當(dāng)未知時,用又替H后可以得到(n - 1)S2十國-幻 Xa(n-1)其概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布.n的卡方分布.它的密卡方分布的定

5、義：把n個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量的平方和稱為自由度為度表達式為：參數(shù)mN 1稱為自由度.卡方分布有向右的偏斜,特別在較小自由度情況下(V越小,分布越偏斜).我們常用f3 表達自由度為M的卡方分布.卡方分布有很多用途,其中一項就是用來分析單個正態(tài)總體樣本方差的狀況；還可以用來進行分布的擬合 優(yōu)度檢驗,即檢驗資料是否符合某種特定分布；對于離散數(shù)據(jù)構(gòu)成的列聯(lián)表,也可以用來分析兩個離散型 因子間是否獨立等.卡方分布的性質(zhì)a)卡方分布的加法性：設(shè)X和丫彼此獨立,且都服從卡方分布,其自由度分別為n1 , n2.假設(shè)令Z=X+Y , 那么Z服從自由度為n1+n2的卡方分布.b)假設(shè) X XCn),那么

6、E(X) = n , V(X) = 2口.計算以下各卡方分布的相關(guān)數(shù)值：自由度=10,求使得pa<H)= O95成立的*值.計算->概率分布->卡方分布->逆累積I率-> 自由度=10->常數(shù)=0.95-> 確定逆累積分布函數(shù)卡方分布,10自由度P( X <= x )x0.9518.307自由度=10 ,求計算->概率分布->卡方分布->累積I率-> 自由度=10 -> 常數(shù)=28確定自由度累積分布函數(shù) 卡方分布,10x P( X <= x ) 280.9981954)兩個獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布F分布兩個

7、獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布是F分布.2 I 22設(shè)有兩個獨立的正態(tài)總體N(%.)和"),它們的方差相等.又設(shè)Xi,X2,Xn是來自N(i* U)2的一個樣本丫1, 丫2,Yn是來自Nt?,酬)的一個樣本,這兩樣相互獨立.它們的樣本方差之比是自由 度為n-1和m-1的F分布：n-1稱為分子自由度；m-1為分母自由度；F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布.實際上,F統(tǒng)計量就是由兩個卡方隨機變量相除所構(gòu)成的,如果 '* "J , 丫"",且二者相互獨 立,那么稱二者比值的分布為F分布,即其密度函數(shù)是:F分布的應(yīng)用非常廣泛,尤其是在判斷兩正態(tài)總體

8、方差是否相等以及方差分析(ANOVA )等問題上面.計算F0.95 (8, ,18 )的數(shù)值.計算-> 概率分布-> F分布-> 逆累積I率-> 分子自由度=8 -> 分母自由度 =18 -> 常數(shù)=0.95 ->確定逆累積分布函數(shù)F分布,8分子自由度和18分母自由度 P( X <= x )x0.952.510162 .參數(shù)的點估計1)點估計的概念 用單個數(shù)值對于總體參數(shù)給出估計的方法稱為點估計.設(shè)是總體的一個未知參數(shù),X1, X2,Xn是從總體中抽取的樣本量為n的一個隨機樣本,那么用來估計未知參數(shù)的統(tǒng)計量6 (X1, X2,Xn)稱為的估計量,

9、或稱為 的點估計.我們總是在參數(shù)上方畫一個帽子“表示該參數(shù)的估計量.在工程中經(jīng)常出現(xiàn)的點估計問題之最好結(jié)果是：? 對于總體均值 M , 口 二又；? 對于總體方差/,第二甲；? 對于比率p , 6 =1 , X是樣本量為n的隨機樣本中我們感興趣的那類出現(xiàn)的次數(shù)；I AA. I .? 對于K - 口2 ,修-E =(兩個獨立隨機樣本均值之差)；? 對于P1 - P2,估計為Pl - °(兩個獨立隨機樣本比率之差)； 2)點估計的評選標(biāo)準(zhǔn)3 .參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)是總體的一個待估參數(shù),從總體中獲得樣本量為n的樣本是X1, X2,Xn,對給定的顯著性水平a (0<a <1 ),有統(tǒng)

10、計量： L= ? L (X1 ,X2,Xn)與U= ?U(X1, X2,Xn),假設(shè)對于任意有 P(? lW? W? U)= 1 - a,那么稱隨機區(qū)間? l, ? u是的置信水平為1- a的置信區(qū)間, l與 u分別稱為 置信下限和置信上限.置信區(qū)間的大小表達了區(qū)間估計的精確性,置信水平表達了區(qū)間彳t計的可靠性,1 - a是區(qū)間估計的可靠程度,而a表達了區(qū)間估計的不可靠程度.在進行區(qū)間估計時,必須同時考慮置信水平與置信區(qū)間兩個方面.對于置信區(qū)間的選取,一定要注意,決 不能認(rèn)為置信水平越大的置信區(qū)間就越好.實際上,置信水平定的越大,那么置信區(qū)間相應(yīng)也一定越寬,當(dāng)置信 水平太大時,那么置信區(qū)間會寬

11、得沒有實際意義了.這兩者要結(jié)合在一起考慮,才更為實際.通常我們?nèi)≈眯潘?平為0.95 ,極個別情況下可取 0.99或0.90 , 一般不取其他的置信水平.1 單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間當(dāng)X '網(wǎng),J時,正態(tài)總體均值的置信區(qū)間有以下三種情況：a當(dāng)總體方差o時,正態(tài)總體均值 禺的1 - “置信區(qū)間為:式中,I &是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 1-區(qū) 分位數(shù),也就是雙側(cè) a分位數(shù).例如a =0.05時,1在MINITAB 中,我們通過：統(tǒng)計-> 根本統(tǒng)計量-> 單樣本Z來實現(xiàn)的.由于實際情況中,標(biāo)準(zhǔn)差的情況很少見,因此我們這里重點關(guān)注的是標(biāo)準(zhǔn)差位置時的情況.b)當(dāng)總體方差未知時,O&#

12、39;用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替,此時正態(tài)總體均值3的1 - “置信區(qū)間為:,r1上5一1)+- 一,山八 1-二八,、山八 行式中,】己表不自由度為n - 1的t分布的1 2分位數(shù),也就是t分布的雙側(cè) a分位數(shù).例如“=0.05時,樣本量n = 16時,%再7(/15) = 2.131 ,其值略大于4丹75= L96.在MINITAB 中,我們通過： 統(tǒng)計-> 根本統(tǒng)計量-> 單樣本t來實現(xiàn)的.某集團公司正推進節(jié)省運輸費用活動,下表為 20個月使用的運輸費用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù):17421827168117421676168017921735168718521861177817471678175

13、417991697166418041707假設(shè)運輸費用是服從正態(tài)分布的,求運輸費用均值的95%置信區(qū)間.統(tǒng)計->根本統(tǒng)計量-> 單樣本t -> 樣本所在列=運輸費用-> 選項-> 置信水平=95-> 確定.單樣本T:運輸費用均值標(biāo)變量 N 均值標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤 95%置信區(qū)間運輸費用20 1745.261.913.8(1716.2, 1774.2)c)前兩種情況討論的是當(dāng)總體為正態(tài)分布時,H的區(qū)間估計,然而當(dāng)總體不是正態(tài)分布時,如果樣本量n超過30 ,那么可根據(jù)中央極限定理知道：區(qū)仍近似服從正態(tài)分布,因而仍可用正態(tài)分布總提示的均 值口的區(qū)間估計方法,而且可以直接

14、用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差,即采用公式:_ S _ S在MINITAB 中,通常直接采用：統(tǒng)計-> 根本統(tǒng)計量-> 圖形化匯總 中得到總體均值的置信區(qū)間結(jié)果.只不過要注意的是：總體非正態(tài)時,在小樣本情況下此結(jié)果并不可信,只有當(dāng)樣本量超 過30后,由于中央極限定理的保證,此結(jié)果才是可信的.2)單正態(tài)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間正態(tài)總體方差的置信區(qū)間是:(n-l)S2- L)X 2(n -1) k2(n-1) N I 式中,和丁 分別是'一上分位數(shù)與a分位數(shù).當(dāng)X '網(wǎng)上 的時,正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間是:(門一【犬口 ,-1將X義-1)某集團公司正推進節(jié)省運輸費用活動,

15、下表為20個月使用的運輸費用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù):17421827168117421676168017921735168718521861177817471678175417991697166418041707假設(shè)運輸費用是服從正態(tài)分布的,求運輸費用方差和標(biāo)準(zhǔn)差的95%置信區(qū)間.統(tǒng)計-> 根本統(tǒng)計量-> 單方差->樣本所在列=運輸費用->選項->置信水平=95-> 確定.單方差檢驗和置信區(qū)間：運輸費用方法卡方方法僅適用于正態(tài)分布.Bonett方法適用于任何連續(xù)分布. 統(tǒng)計量變量 N 標(biāo)準(zhǔn)差方差運輸費用2095%置信區(qū)間61.93830變量方法運輸費用卡方Bonett

16、標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間(47.1, 90.4)(49.0, 86.6)方差置信區(qū) 間(2215, 8170)(2401,7507)求總體標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間另一種方法：統(tǒng)計>根本統(tǒng)計量-> 圖形化匯總-> 變量:運輸費用>置信水平：95 -> 確定Minit m一無色.工行 1*, *'1 |iFh|fa<|UME,1w立A二件i&喑唱甚電(8 s猛£ |二囹|才算©小霞魴計圜娜緘爵:,軍疆公孤回日®卜方差分析出DOE(D>限制圜©D) IMCD窗口改)幫即凹、礪描困蝴計縱.三號存喘擇述族計,“1Z單柱本皿,.

17、1+冬插木11格助的隹建工昌9)卜可整/生存名變量勵卜時間序表格CDk非攀數(shù)(M.EDACE)>成效和杵本數(shù)量也) L- Q.-一JF42t雙樣tt ht配對t®.“定義0)副量(UA分析改善電51j e1P單比國因一2P雙匕座(Qk.盤單樣本Poisson率隊品雙桂本Poisson奉n4ClC2C3運希費用1174221S2731681/單方差©“/般方差®國相關(guān)©,.“畫協(xié)方差93含正態(tài)性檢臉14 B67891743_ lfi76_ 1S90179217361C97|1I101852111861兒,一TT 1 J KI 112177313174

18、714151S7S1754/ bIS IT IS 示圖于17gg 1E97 lesa琳抵匚總一運輸費用匯總95*量格區(qū)間17fi»1TZ01740i"*017B015Wr= - nr 正恚蘭上安A邛力也IEF 寶Q£(X堆工174f. 2憬準(zhǔn)金61.9方差3S29. 7謔支Cl 061?肆烹T.奚陽M3H期聶口至16610棄一日分位益工融包款匕心一 S總?cè)膫€位案1797,3最大黃.工流L.9勝定建董冒區(qū)網(wǎng)1T1S.2177i2初=士樂登情區(qū)聞16H. i7潮粽遭4ffllE回47. I90, i3)單總體比率的置信區(qū)間當(dāng)X '' b(l,p)時,

19、也就是x取“非0那么1的0-1分布,我們常需要估計總體中感覺的那類比率的置信區(qū)間,比方,一批產(chǎn)品中,不合格品率的大致范圍；顧客滿意度調(diào)查中,有抱怨顧客的比率范圍等.這里我們記總體比率為 p,樣本比率為 P .可以證實,當(dāng)樣本量足夠大時(要求np>5及np (1-p ) >5),且p值適中(0.1<p<0.9 ),那么可用正態(tài)分布去近似二項分布,因而近似有:pn p)11 ,O因此,由P服從的正態(tài)分布構(gòu)造總體比率 p的置信區(qū)間為:2000名被調(diào)查一電視臺為了調(diào)查新節(jié)目收視率,在節(jié)目放映時間內(nèi)進行了 調(diào)查.在接受調(diào)查的 者中有1230名正在收看本節(jié)目.求此節(jié)目收視率的95%

20、置信區(qū)間.統(tǒng)計-> 根本統(tǒng)計量-> 單比率-> 匯總數(shù)據(jù)：事件數(shù) =1230 ,實驗數(shù)=2000->選項->置信水平：95 ;勾選使用正態(tài)分布的檢驗和區(qū)間-> 確定由于np>5及np (1-p) >5,可用于正態(tài)分布近似二項分布,故可以勾選使用基于正態(tài)分布的檢驗 和區(qū)間.單比率檢驗和置信區(qū)間樣本 X N 樣本p 95%置信區(qū)間1123020000.615000(0.593674, 0.636326)使用正態(tài)近似.4) 雙總體均值差的置信區(qū)間設(shè)有兩個總體 '印')J 叮L %),從總體X中抽取的樣本Xi, X2,Xn,樣本均值為區(qū),

21、樣本方差為& ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為SX ,從總體Y中抽取的樣本丫1,丫2,Yn,樣本均值為Y ,樣本方差為 ' ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 S'.對兩總體均值差異 % = "d的區(qū)間估計常有以下三種情況:都時,兩總體均值差異a)兩個總體均服從正態(tài)分布,且兩個總體的方差“置信水平下的置信區(qū)間為：m只要樣本量足夠大,無論兩總體的方差是否相等,上式都成立.2_2b)兩個總體均服從正態(tài)分布,且兩個總體的方差叼一% 均未知時,兩總體均值差異瓦一%的1-a置信水平下的置信區(qū)間為：(國-WT,(n + m-2 均分,QC - Y) 4-(n+m-2)SP式中,一家冶金公司需要減少其排放到廢水

22、中的生物氧需求量含量.用于廢水處理的活化泥供給商建議,用純氧取代空氣吹入活化泥以改善生物氧需求量含量此數(shù)值越小越好.從兩種處理的廢水中分別抽取10個和9個樣品,數(shù)據(jù)如下：空氣184194158218186218165172191179氧氣163185178183171140155179175生物氧需求量含量服從正態(tài)分布,試確定：該公司采用空氣和采用純氧減少生物氧需求量含量均 值之差的95%置信區(qū)間.求兩總體與 . 的置信區(qū)間：統(tǒng)計-> 根本統(tǒng)計量-> 雙樣本t->樣本在不同列中：第一=空氣,第二=氧氣-> 勾選假定等方差-> 選項：置信水平=95 ,備擇=不等于-

23、> 確定.雙樣本T檢驗和置信區(qū)間：空氣,氧氣空氣與氧氣的雙樣本T均值標(biāo)N 均值標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤空氣 10186.520.06.3氧氣 9 169.914.74.9差值=mu 空氣-mu 氧氣差值估計值：16.61差值的95% 置信區(qū)間：-0.58, 33.80差值 =0 與 w 的T檢驗：T 值=2.04 P 值=0.057 自由度 =17兩者都使用合并標(biāo)準(zhǔn)差=17.7356c當(dāng)兩個總體均服從正態(tài)分布,且兩個總體的方差仃J均未知時,兩總體均值差異 一%的1- “置信水平下的置信區(qū)間為：式中,自由度u的計算公式為:假定A, B兩名工人生產(chǎn)相同規(guī)格的軸棒,關(guān)鍵尺寸是軸棒的直徑.由于A使用的是老式

24、車床,B使用的是新式車床,二者精度可能有差異. 經(jīng)檢驗,他們的直徑數(shù)據(jù)確實來自兩個方差不等的正態(tài)分布.現(xiàn)他們各測定13根軸棒直徑,數(shù)據(jù)如下：12345678910111213A14.714.214.015.010.612.116.618.212.211.216.613.416.86128587041755B12.310.213.113.213.810.910.512.811.613.512.413.212.57886067374242試確定A, B生產(chǎn)的軸棒直徑差異的 95%置信區(qū)間.求兩總體 如_%的置信區(qū)間：統(tǒng)計-> 根本統(tǒng)計量-> 雙樣本t->樣本在不同列中：第一 =空 氣,第二=氧氣-> 選項：置信水平=95 ,備擇=不等于-> 確定.雙樣本T檢驗和置信區(qū)間：A工人,B工人A工人 與B工人 的雙樣本 T均值標(biāo)N 均值標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤A 工人1314.322.350.65B 工人1312.361.150.32差值=mu A 工人-mu B 工人差值估計值：1.965差值的95%置信區(qū)間：0.435, 3.496差值 =0 與 w 的T檢驗：T 值=2.71 P 值=0.015 自由度 =17獨立隨機樣本取自均值 咫 未知,標(biāo)準(zhǔn)差未知的兩個正態(tài)分布總體,假設(shè)第一個總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差Si=0.73,樣