1、浙江省2020年高考摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案（滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題（本題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的。）1.如果復(fù)數(shù) 上q（a w R , i為虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則 a的值為2 iA.1B.-1C. 3D.-32 .若 A =0,1,2 , B=x|x = 2a,aw A,則 AljB =A. 0,1,2B. 0,1,2,3C. 0,1,2,4D. 1,2,43 .在等比數(shù)列an 中，若 a5+a7 =4（a1+a3 ）,則 a6=（）a?A. 1B. 1C. 2D.4424 .公元263年左右，我

2、國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了 “割圓術(shù)”， 利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖， 則輸出 n 的值為（）（參考數(shù)據(jù)：sin15 ° =0.2588, sin7.5 ° =0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 965 .若直線y =mx+1與圓C :x2+y2+2x+2y = 0相交于A, B兩點，且AC，BC ,則m =A.B. -1C.D.t牙+ 2y玉16 .若x、y滿足約束條件 Ux+y>

3、-1 ,則z=3x-2y的最小值為I x-y< 011D. 5A.B.C.337 .已知(1 +，x)n展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相同，且(1 +£x)n =a0 +ax + a2x2 + anXn,若 a +a? + an =242 ,則(x +土)4展開式中常數(shù)項 xA. 32B. 24C. 4D. 8168 .如圖所示的網(wǎng)格是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為9.A. 40B.D.若 p :三xw R,sin x = a -2 ,1 Q 。q:函數(shù)f(x)= x x +ax在R上是增函數(shù)，則3803p是q的A.充

4、分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2210.已知橢圓 +4=1(a Ab >0)的兩個焦點為F1,F2, P為橢圓上一點，NF1PF2=90 口。若 a b. 一 2PF1F2的內(nèi)切圓面積為一c ,則橢圓的離心率為4A. 12B.6C.2D .貝23311.已知函數(shù)一_ 二、一1f(x) =sin(2x3)，右方程f(x) = 3在(0,冗)的解為玉？2(玉< x?),則sin(x1 - x2)=A.2,3B.C.D.x,x < 012.已知a,bw R ,函數(shù)f(x)=i 1.，若函數(shù)y = f (x) axb恰有三個-x3 (a+1)x2

5、 +ax,x>0,32零點，則A. a < -l , b<0B. a< -1,b>0 C. a> -1,b<0D. a>-l , b>0二、填空題(本題共 4小題，每小題5分，共20分。)13 .已知角口的頂點與直角坐標(biāo)系的原點重合， 始邊與x軸的非負(fù)半軸重合， 終邊經(jīng)過點P(-1,2),則 cos2:=14 .在矩形ABCD中，AB=2, BC=J2-F在邊CD上若AB AF = 3，則cos.ADB=AD2 22 一5、型的值是 2 AD 2215.已知函數(shù) f (x )= Asin儂x+邛 X A>0,© >0j

6、* <nJI)的圖象過點P.,0 ，且圖象上與點P12最近的一個最高點是Q.J,2 I,把函數(shù)f (x )的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的3 cp倍,縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) g(x )的圖象，則函數(shù) g(x )的單調(diào)遞增區(qū)間是13 12116 .已知f (x)是函數(shù)f(x)= ax十一bx +cx的導(dǎo)函數(shù)，且 f'(1)=a, 3a>2c>2b,則下列 322說法正確的是 f'(0) A0;b 曲線y = f(x)在x =-2處的切線斜率最小;2a函數(shù)f(x)在(3,依)存在極大值和極小值;f 1(x)在區(qū)間(0,2)上至少有一個零點1721題為必考題，每個三

7、、解答題(共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第試題考生都必須作答.第 22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。)（一）必考題（共 60分）17 .（本小題滿分12分）已知數(shù)列%滿足：an #1,an.=2 1（nW N" ），數(shù)列0中，r =L ,且“，b2, b4成 anan -1等比數(shù)列.（1）求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（2）若Sn是數(shù)列%n 的前n項和，求數(shù)列11的前n項和Tn.Sn18 .（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐PABC中，31PC _L 平面 ABC, PC =3, /ACB=一, D,E 分別 2為線段 AB,BC 上的點，且 CD=DE=J2，

8、CE=2EB=2.（1）證明：ED _L平面PCD ;（2）求二面角 A-PD -C的余弦值.19 .（本小題滿分12分）某保險公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為A、B、C三類工種,從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000,由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：工種類別ABC賠付頻率110521051 104已知A、B、C三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在

9、開展此業(yè)務(wù)的過程中固定支出每年10萬元.（1）求保險公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的期望值；（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：方案1:企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費的70%,職工個人負(fù)責(zé)30%,出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.20 .(本小題滿分12分)已知橢圓C：0+%=1儂Ab>o)經(jīng)過點e(J3,i),離心率為96,。為坐標(biāo)原點a b3(1)求橢圓C的方程.(2)若點P為橢圓C上一

10、動點，點 A(3,0)與點P的垂直平分線l交y軸于點B ,求OB的最小值.21 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) =aln x+(1a)x2 bx+1在點(1, f(1)處的切線與 y軸垂直.(1)若a= 1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若0 <x <e , f (x) < 0成立，求a的取值范圍.(二)選考題(共 10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。)22 .選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線CyX2y2-x= 0, Q二/十/一？y = O.(1

11、)以過原點的直線的傾斜角 日為參數(shù)，寫出曲線 G的參數(shù)方程；(2)直線過原點，且與曲線 力，0分別交于4, R兩點(力，日不是原點)。求的最大值.23 .選彳4-5:不等式選講(10分)已知函數(shù)(1)當(dāng)白=0時，解不等式人乃皂口；(2)若二次函數(shù)尸三/十以14的圖象在函數(shù)y =的圖象下方，求白的取值范圍選擇題1.D2.C 3.A 4.B5.D 6.C 7.B13.17.填空題5解答題14.1 15.解：(1)bn 1 電=1,數(shù)列也是公差為(2)由題意可得b;Snn n 1Tn =2111 -18. (1)參考答案8.D 9.A 10.C 11.A 12.C2r2k二 g k Z16.anan

12、 1 7an -12 - _1 an 一1an -1an -1an1的等差數(shù)列;= bib4,即(b +1 2 =b1(b1 +3 ),所以 bi =1Snn1.-11I=2X 1+1)<1 2n證明：因為 PC，平面ABC, DEU平面ABC,所以PC - DE .由CE = 2,CD = DE =42得ACDE為等腰直角三角形,故 CD _LDE .B又 PC PCD =C ,且 PC u 面 PCD , CD u 面 PCD ,故DE _L平面PCD .(2)解：如圖所示，過點D作DF垂直CE于F ,易知 DF =FC = FE =1,又 EB=1 ，故 FB=2., “n由 /A

13、CB =，得 DFAC, 2DF FBACBC,33故 AC = DF =_22以點C為坐標(biāo)原點，分別以 CA, CB,CP的方向分別為X軸,y軸，z軸的正方向,建立如圖空間直角坐標(biāo)系 C -xyz ,-f3LfC(0,0,0) , P(0,0,3) , A(3,0,0) , E(0,2,0) , D(1,1,0),2TT1ED =(1,-1,0), DP =(-1,-1,3),DA =(,-1,0) 2設(shè)平面PAD的法向重為n1=(x1,y1,z1 ),則n，DP=0,-X1 - y ' 3Z1 0即12X1 _y1 =0令 x1 2 ,則 y1 1, z1 1,故可取 n1 =(2

14、,1,1).由(1)可知DE _L平面PCD ,故平面PCD的法向量n2可取為"ED，即 n2=(1,-1,0)則cos.2)=汁=又二面角A PDC為銳二面角,所以二面角 A-PD-C的余弦值為 .列為6X2525-100104P一101 105Y25_425-10010P2 105Z4040-50104P11 一 4101 10419. (I)設(shè)工種 A B C職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X、Y、Z,則X、Y、Z的分布保險公司的期望收益為1E X =25 110522 )E(Y)= 25帚,42+ (25 100x104 產(chǎn)荷=5;1 EZ =40 1 而C 4“41_

15、+ (40-50x10 產(chǎn)存= 10；保險公司的利潤的期望值為 12000xE(X ) + 6000M E(Y )十2000M E(Z )-100000=90000,保險公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的期望值為9萬元.(n)方案1：企業(yè)不與保險公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開支共為：4142414412000 M100 父 104 M +6000 M100 M104 父+2000父 50 父104 父+12 父104 =46父104 ,105105104方案2:企業(yè)與保險公司合作，則企業(yè)支出保險金額為：(12000X25 + 6000V 25 + 2000乂 40 7 0.7 = 37.1 黑 10

16、4,46104 >37.1X104 ,故建議企業(yè)選擇方案 2.20. (I)因為橢圓的離心率為所以1備2,故b2 *2,所以橢圓C的方程為為2y1 2-a3二1又點e(73,1又橢圓上,31 二 -1所以a21 21 ,a -a3解得a2 = 6 ,22所以橢圓C的方程為二十衛(wèi)一=1.62(n)由題意直線l的斜率存在，設(shè)點 P(x0,y0 K y0 *0),41,+ (25 -100 m 10 F 赤=15;則線段AP的中點D的坐標(biāo)為包上3,典,且直線AP的斜率kAPyoX。- 3因為直線l _L AP , 1故直線l的斜率為kAPy。3 - x。,且過點D ,所以直線l的方程為：y-比

17、23 - x。xo3I x -yo22令 x= f(1)=。，即f (x尸。恒成立.=°'得 y=T'22 ,2 人則B。,包上92Vo22由過 + 也=1 ,得 x2 =6 -3y2 , 62化簡得B0,一 2_-2y。-32yo所以O(shè)B當(dāng)且僅當(dāng)所以O(shè)B21. (1)_ 2_一2 y。- 32y。y。=2 yo=yo，即y。的最小值為,6._3_2 y。=-6.2f (x) a- 2(1 a)x -bx,由題x |3 =娓.2y。- .2, .2時等號成立.f (1)=a 2(1 - a) -b=。解得 a + b = 2,由 a=i,得 b=i.一 . 一 1因為

18、f (x )的定義域為(。，F(xiàn)),所以f (x) =1 -1-(x -1)x x故當(dāng)xW(Q1)時，f (x) A。，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)xW(1,收)時，f'(x)。，f(x)為減函數(shù),(2)由(1)知 b=2-a,22(1 a)x (a 2)x a 2(1 -a)x -a (x -1)a所以 f (x) = - 2(1 - a)x -(2 - a)- x(i )若 a =1 ,則由(1)知 f (x lax2(1-a) lx.2(1-a)x-1) 口 a c/且<。,一 2(1 - a)(ii )若 a>1,貝 U,(2(1a)xa jx-1)f (x):xx當(dāng)xW(Q

19、1)時，f (x) A。，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)xW(1, 十叼時，f'(x)。，f(x)為減函數(shù),f (X max =f(1)=0,即 f(x 尸。恒成立.,、升2,(iii )右一<a<1,則(2(1-a)x-ax-1)3f (x)=-2(1 -a)|x2(1 a)(x-1) 口 a .且>1 ,2(1-a)x故當(dāng)xW(0,1)時，f (x) >0 , f(x)為增函數(shù)，a當(dāng) xW(1,2(1 a)時'f (x)H0，f(x)為減函數(shù),a當(dāng) xe(；，依)時，f (x) >0 , 2(1 -a)f (x)為增函數(shù),由題只需f(e尸0即可，即a十(

20、1a)e2(2a)e+1 < 0 ,解得而由22e -2e 1 2 (e -2)12e -e -1一33e2 -3e-3>0,且2e -2e 12 -e-1 = 2e e1 e -e -1> e2 -2e 1 ae -e -12e 2e 1 /<0 ,得一2w a <1 e e 12(iv )右 a =一則3所以 x W(1,e),2(v)右 a <一，則32(x _1)2 一. 一f'(x)=2(x D ±0, f(x)為增函數(shù)，且 f(1)=0, 3xf(x) >f (1)=0,不合題意，舍去； a<1 , f (x)在 xW(1,e)上都為增函數(shù)，且 f(1) = 0,所以xW(1,e), f(x)f (