1、余弦定理的證實(shí)方法大全共十法一、余弦定理余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦 的積的兩倍,即在 ABC中,AB c, BC a, CA b,那么有2, 22a b c 2bccos A,b2 c2 a2 2ca cos B,c2 a2 b2 2abcosC.、定理證實(shí)為了表達(dá)的方便與統(tǒng)一,我們證實(shí)以下問題即可在 ABC中,AB c, AC b,及角A,求證：a2,22b c 2bc cos A.uuu uur UULT證法一：如圖1,在ABC中,由CB AB AC可得:uuu uuuuuu uur uur uuuCB CB (AB AC) (AB AC)

2、uuu 2 uuuT2 uuu uuuAB AC 2 AB AC,22b c2bc cos A即,a2 b2 c2 2bc cos A.證法二：本方法要注意對(duì)A進(jìn)行討論.(1)當(dāng) A 是直角時(shí),由 b2 c2 2bccos A b2 c2 2bccos90b2 c2 a2知結(jié)論成立. 當(dāng) A是銳角時(shí),如圖2-1,過點(diǎn)C作CDAB ,交AB于點(diǎn)D ,那么在 Rt ACD 中,AD bcosA , CD bsin A.從而,BD AB AD c bcosA.在Rt BCD中,由勾股定理可得：_ 22_2BC BD CD ,22(c bcosA) (bsin A)點(diǎn)D就與點(diǎn)B重合；假設(shè) B是鈍角,圖

3、中的點(diǎn)D就在AB的延長(zhǎng)線上.當(dāng) A是鈍角時(shí),如圖2-2,過點(diǎn)C作CD AB ,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D ,那么在 Rt ACD 中,AD bcos( A)bcosA, CD bsin( A) bsin A.從而,BD AB AD c bcosA.在Rt BCD中,由勾股定理可得:BC2BD2 CD2(cbcosA)2 (bsin A)222cb cos A b即,a2b22bccos A.綜上(1),(2),(3)可知,均有a2 b2 c2 2bccosA成立.證法三：過點(diǎn)A作ADBC,交BC于點(diǎn)D,那么在Rt ABD中,sin在Rt ACD中,sinBD,cos cCD,cosADcADb由 co

4、s A cos(coscossinsin 可得:cos AADADbBDCDAD2BD CDbc2AD2 2BD CD2bcc2 BD2 b2 CD2 2BD2bcCD222b c (BD CD)2bc,222b c a2bc整理可得a2,22b c 2bc cos A.證法四：在ABC中,由正弦定理可得sin A sin BcsinCcsin(A B)從而有 bsin A asin B ,csin A a sin( A B) asin AcosB a cos Asin B .將帶入,整理可得acosB c bcosA.將,平方相加可得 a2 (c bcosA)2 (bsin A)2 b2 c

5、2 2bccosA .即,a .2 2cos A 2 2cos( B C)cos( B C) 4sin Bsin C cosA由于 cos(B C) cos(A) cosA,因此2 .cos A cos(B C)cos( B C) 2sin BsinCcosAcosA cos(B C) 2sin Bsin CcosA cosBcosC sin Bsin C cos(B C).這,顯然成立. b2 c2 2bc cos A.2RsinB,c 2RsinC.證法五：建立平面直角坐標(biāo)系(如圖4),那么由題意可得 點(diǎn)A(0,0) , B(c,0) , C(bcosA,bsinA),再由兩點(diǎn)間距離公式

6、可得 a2 (c b cos A)2 (bsin A)2 c2 2cb cos A b2.即,a2 b2 c2 2bc cos A.證法六：在 ABC中,由正弦定理可得a 2Rsin A, b于是,a2 4R2sin2 A 4R2sin2(B C)-2/ 2r 2c2r .2c c .八 八、4R (sin Bcos C cos Bsin C 2sin Bsin CcosB cosC)4R2(sin2 B sin2C 2sin 2 Bsin2C 2sin Bsin CcosBcosC)4R2(sin2B sin2C 2sin BsinCcos(B C)_2.2_.2_、4R (sin B si

7、n C 2sin Bsin C cos A)_2 _2 _(2Rsin B) (2RsinC) 2(2Rsin B)(2 Rsin B)cos A,22b c2bc cos A即,結(jié)論成立.證法七：在 ABC中,由正弦定理可得a 2Rsin A, b 2RsinB, c 2RsinC.于是,a2 b2 c2 2bccosA_2 , 2 ,_2 . 2 _2 , 2 2 . _ . _.4R sin A 4R sin B 4R sin C 8R sin Bsin C cosA2222sin A 2sin B 2sin C 4sin BsinCcosA 2.2sin A 2 cos2B cos2C

8、 4sin Bsin C cosA即,結(jié)論成立.證法八：如圖5,以點(diǎn)C為圓心,以CA b為半徑作eC,直線BC與eC交于點(diǎn)D,E,延長(zhǎng)AB交eC于F ,延長(zhǎng)AC交eC于G.那么由作圖過程知AF 2bcosA , 故 BF 2bcosA c.由相交弦定理可得：BA BF BD BE,即,c (2 b cos A c) (b a) (b a),整理可得：a2 b2 c2 2bc cos A.證法九：如圖6,過C作CD /AB,交 ABC的外接圓于D,那么AD BC a, BD AC b.分別過C,D作AB的垂線,垂足分別為E,F,那么AE BF bcosA,故CD c 2bcosA.圖6由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ,即,a a c (c 2b cos A) b b .整理可得：a2 b2 c2 2bc cos A.證法十：由圖7-1和圖7-2可得a2 (c bcosA)2 (bsin A)2, 整理可得：a2 b2 c2 2bc cos A.余弦定理的證實(shí)方法還有很多,比方可以用物