1、第三節(jié)二項式定理二項式定理的應(yīng)用(1)能用計數(shù)原理證明二項式定理(2)會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題知識點一二項式定理1定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫作二項式定理2通項Tk1Cankbk為展開式的第k1項易誤提醒(1)二項式的通項易誤認為是第k項實質(zhì)上是第k1項(2)(ab)n與(ba)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，所以公式中的第一個量a與第二個量b的位置不能顛倒(3)通項是Tk1Cankbk(k0,1,2，n)其中含有Tk1，a，b，n，k五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素自測練習(xí)1.6的展開式中常數(shù)項為_解析：由

2、題意可知常數(shù)項為C(2x)2460.答案：602.8的展開式中的有理項共有_項解析：Tr1C()8rrrCxr為4的倍數(shù)，故r0,4,8共3項答案：3知識點二二項式系數(shù)與項的系數(shù)1二項式系數(shù)與項的系數(shù)(1)二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)C(k0,1，n)叫作二項式系數(shù)(2)項的系數(shù)項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與二項式系數(shù)是兩個不同的概念2二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即CC增減性當(dāng)k時，二項式系數(shù)逐漸減小最大值當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cn；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為Cn或Cn

3、3.各二項式系數(shù)的和(ab)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即CCCCC2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即CCCCCC2n1.易誤提醒二項式系數(shù)與展開式項的系數(shù)的異同：在Tk1Cankbk中，C就是該項的二項式系數(shù)，它與a，b的值無關(guān)；Tk1項的系數(shù)指化簡后除字母以外的數(shù)，如a2x，b3y，Tk1C2nk3kxnkyk，其中C2nk3k就是Tk1項的系數(shù)自測練習(xí)3(2015高考四川卷)在(2x1)5的展開式中，含x2的項的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)解析：由二項展開式的通項Tr1C(2x)5r(1)r(r0,1，5)知，當(dāng)r3時，T4C(2x)53(

4、1)340x2，所以含x2的項的系數(shù)是40.答案：404C3C5C(2n1)C_.解析：設(shè)SC3C5C(2n1)C(2n1)C，S(2n1)C(2n1)C3CC，2S2(n1)(CCCC)2(n1)2n，S(n1)2n.答案：(n1)2n考點一二項展開式中特定項與系數(shù)問題|1(2016海淀模擬)3的展開式中的常數(shù)項為()A12 B12C6 D6解析：由題意可得，二項展開式的通項為Tr1C(x2)3rr(2)rCx63r，令63r0，得r2，3的展開式中的常數(shù)項為T21(2)2C12，故選A.答案：A2(2015高考安徽卷)7的展開式中x5的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)解析：由題意知，展開式的通項

5、為Tr1C(x3)7rrCx214r，令214r5，則r4，T5Cx535x5，故x5的系數(shù)為35.答案：353若n展開式中含有x2項，則n的最小值是_解析：n的展開式的通項是Tr1Cnr(x)rC(1)rxrn.依題意得，關(guān)于r的方程rn2，即r有正整數(shù)解；又2與5互質(zhì)，因此n2必是5的倍數(shù)，即n25k，n5k2，n的最小值是3.答案：3求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)r1，代回通項公式即可考點二二項式系數(shù)性質(zhì)與各項系數(shù)和問題|(1)若n展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則展開式的

6、常數(shù)項是()A360 B180C90 D45(2)若a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4，則a2a3a4_.解析(1)展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則展開式總共11項，所以n10，通項公式為Tr1C()10rrC2rx5r，所以r2時，常數(shù)項為180.(2)x4(x1)14C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C，對照a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4得a2C，a3C，a4C，所以a2a3a4CCC14.答案(1)B(2)14(1)賦值法研究二項式的系數(shù)和問題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n、(

7、ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令xy1即可(2)二項式系數(shù)最大項的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大(2015成都一中模擬)設(shè)(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為()A2 B1C1 D2解析：令等式中x1可得a0a1a2a11(11)(1)92，故選A.答案：A考點三多項式展開式中特定項或系數(shù)問題|在高考中，常常涉及一些多項式二項式問題，

8、主要考查學(xué)生的化歸能力，歸納起來常見的命題角度有：1幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題2幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題3三項展開式中的特定項(系數(shù))問題探究一幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題1(2016商丘月考)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項的系數(shù)是()A74 B121C74 D121解析：展開式中含x3項的系數(shù)為C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.答案：D探究二幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題2(2015高考全國卷)(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a_.解析：法一：直接將(ax

9、)(1x)4展開得x5(a4)x4(64a)x3(46a)x2(14a)xa，由題意得1(64a)(14a)32，解得a3.法二：(1x)4展開式的通項為Tr1Cxr，由題意可知，a(CC)CCC32，解得a3.答案：3探究三三項展開式中特定項(系數(shù))問題3(2015高考全國卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10 B20C30 D60解析：(x2xy)5(x2x)y5的展開式中只有C(x2x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系數(shù)為CC30，故選C.答案：C(1)對于幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題，只需依據(jù)二項展開式的通項，從每一項中分別得到特定的項，再求和即可(

10、2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決30.一般與特殊的思想在二項式問題中的應(yīng)用(賦值法)【典例】若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則(a0a2a4)2(a1a3)2的值是_思維點撥要求解的問題與二項式系數(shù)有關(guān)考慮賦值法，令x1，可求得奇數(shù)項與偶數(shù)項系數(shù)之和解析令x1，得a0a1a2a3a4(2)4，令x1，得a0a1a2a3a4(2)4.故(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a2a4a1a3)(a0a2a4a1a3)(2)4(2)4(3

11、4)41.答案1方法點評賦值法是求展開式中的系數(shù)與系數(shù)和的常用方法，注意所賦的值要有利于問題的解決，可以取一個或幾個值，常賦的值為0，1.一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)的展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.跟蹤練習(xí)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.解析：令x1，則a0a1a2a1236，令x1，則a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，則a01，a2a4a121364.答案：364A組考點能力演練1若n的展開式中的所有二項式系數(shù)之和為512，則該展開式中常數(shù)項為()A8

12、4B84C36 D36解析：由二項式系數(shù)之和為2n512，得n9.又Tr1(1)rCx183r，令183r0，得r6，故常數(shù)項為T784.故選B.答案：B2已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3C2 D1解析：(1x)5中含x與x2的項為T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系數(shù)為105a5，a1.答案：D3(2016青島模擬)設(shè)(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，則展開式中系數(shù)最大的項是()A15x2 B20x3C21x3 D35x3解析：(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，則(11)na0a1a2an64，n

13、6，又(1x)6的展開式二項式系數(shù)最大項的系數(shù)最大，(1x)6的展開式系數(shù)最大項為T4Cx320x3.答案：B4(2016西城一模)若m的展開式中二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是()A21 B21C7 D7解析：2m128，m7，展開式的通項Tr1C(3x)7rrC37r(1)rx7，令7r3，解得r6，的系數(shù)為C376(1)621，故選A.答案：A5(2016廣州調(diào)研)已知a2cosdx，則二項式5的展開式中x的系數(shù)為()A10 B10C80 D80解析：a2cosdx2sin2，展開式的通項為Tr1C(2)rx103r，令103r1，則r3，T4C(2)3x80x.答案：D6.6

14、的展開式中常數(shù)項為_解析：6的通項為Tk1Cx6kkkCx62k，令62k0，得k3，故展開式中常數(shù)項為.答案：7(2015高考天津卷)在6的展開式中，x2的系數(shù)為_解析：二項式6展開式的第r1項為Tr1Cx6rrxrCrx62r，令62r2，解得r2，故x2的系數(shù)為C2.答案：8若(12x)2015a0a1xa2x2a2015x2015，則_.解析：當(dāng)x00時，左邊1，右邊a0，a01當(dāng)x時，左邊0，右邊a0011答案：19已知(a21)n展開式中的各項系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項，而(a21)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求正數(shù)a的值解：5展開式的通項Tr1C5rr5rCx，令205

15、r0，得r4，故常數(shù)項T5C16，又(a21)n展開式的各項系數(shù)之和為2n，由題意，得2n16，n4.(a21)4展開式中系數(shù)最大的項是中間項T3，從而C(a2)254，a.10(1)求證：122225n1(nN*)能被31整除；(2)求SCCC除以9的余數(shù)解：(1)證明：122225n125n132n1(311)n1C31nC31n1C31C131(C31n1C31n2C)，顯然C31n1C31n2C為整數(shù)，原式能被31整除(2)SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)2.C98C97C是整數(shù)，S被9除的余數(shù)為7.B組高考題型專練1(2014高考湖北卷)若二項式7的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a()A2B.C1D.解析：Tr1C(2x)7rr27rCar.令2r73，則r5.由22Ca584得a1，故選C.答案：C2(2014高考四川卷)在x(1x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為()A30 B20C15 D10解析：在(1x)6的展開式中，含x2的項為T3Cx215x2，故在x(1x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)為15.答案：C3(2015高考湖北卷)已知(1x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A29 B210C211 D212