1、單利與復(fù)利的計算一、利息與利率 利息 利息是指占用資金所付出的代價或放棄資金使用權(quán)所得到的補償。如果將一筆資金存入銀行，這筆資金就稱為本金。經(jīng)過一段時間之后，儲戶可在本金之外再得到一筆利息，這一過程可表示為： FnPIn 式中 Fn 本利和；P 本金；In 利息。 下標(biāo) n 表示計算利息的周期數(shù)。計息周期是指計算利息的時間單位，如“年”、“季度”、“月”或“周”等，但通常采用的時間單位是年。 利率 利率是在單位時間(一個計息周期)內(nèi)所得的利息額與借貸金額(即本金)之比，一般以百分?jǐn)?shù)表示。用i 表示利率，其表達式為：i=I1/P*100%式中 I1 一個計息周期的利息。 上式表明，利率是單位本金

2、經(jīng)過一個計息周期后的增值額。 利率又分為基礎(chǔ)利率、同業(yè)拆放利率、存款利率、貸款利率等類型?；A(chǔ)利率是投資者所要求的最低利率，一般使用無風(fēng)險的國債收益率作為基礎(chǔ)利率的代表。同業(yè)拆放利率指銀行同業(yè)之間的短期資金借貸利率。同業(yè)拆放有兩個利率，拆進利率表示銀行愿意借款的利率；拆出利率表示銀行愿意貸款的利率。同業(yè)拆放中大量使用的利率是倫敦同業(yè)拆放利率(LIBOR)，指在倫敦的第一流銀行借款給倫敦的另一家第一流銀行資金的利率。我國對外籌資成本即是 在LIBOR 利率的基礎(chǔ)上加一定百分點，從LIBOR 變化出來的，還有新加坡同業(yè)拆放利率(SIBOR)、紐約同業(yè)拆放利率(NIBOR)、香港同業(yè)拆放利率(HIB

3、OR)等等。 二、單利計息與復(fù)利計息 利息的計算有單利計息和復(fù)利計息兩種。 單利計息 單利計息是僅按本金計算利息，利息不再生息，其利息總額與借貸時間成正比。單利計息時的利息計算公式為： InP·n·i n 個計息周期后的本利和為： FnP(1i·n) 我國個人儲蓄存款和國庫券的利息就是以單利計算的，計息周期為“年”。 復(fù)利計息 復(fù)利計息，是指對于某一計息周期來說，如果按本金加上先前計息周期所累計的利息進行計息，即“利息再生利息”。按復(fù)利方式計算利息時，利息的計算公式為： InP(1i)n1 n 個計息周期后的本利和為： FnP(1i)n 三、名義利率與實際利率 名

4、義利率與實際利率的概念 在以上討論中，我們都是以年為計息周期的，但在實際經(jīng)濟活動中，計息周期有年、季度、月、周、日等，也就是說，計息周期可以短于一年。這樣就出現(xiàn)了不同計息周期的利率換算問題。也就是說，當(dāng)利率標(biāo)明的時間單位與計息周期不一致時，就出現(xiàn)了名義利率和實際利率的區(qū)別。 名義利率，指一年內(nèi)多次復(fù)利時給出的年利率，它等于每期利率與年內(nèi)復(fù)利次數(shù)的乘積。實際利率，指一年內(nèi)多次復(fù)利時，每年末終值比年初的增長率。 例如某筆住房抵押貸款按月還本付息，其月利率為0.5%，通常稱為“年利率6%，每月計息一次”。這里的年利率6%稱為“名義利率”。當(dāng)按單利計算利息時，名義利率和實際利率是一致的； 但當(dāng)按復(fù)利計

5、息時，上述“年利率6%，每月計息一次”的實際利率則不等于名義利率(6%)。 例如，年利率為12%，存款額為1000 元，期限為一年，分別以一年1 次復(fù)利計息、一年4 次按季利率計息、一年12 次按月利率計息，則一年后的本利和分別為： 一年1 次計息F1000×(112%)1120(元) 一年4 次計息F1000×(13%)41125.51(元) 一年12 次計息F1000×(11%)121126.83(元) 這里的12%，對于一年一次計息情況既是實際利率又是名義利率；3%和1%稱為周期利率。由上述計算可知：名義利率周期利率×每年的計息周期數(shù)。 對于一年計

6、息4 次和12 次來說，12%就是名義利率，而一年計息4 次時的實際利率(13%)4112.55%；一年計息12 次時的實際利率(11%)12112.68%。 名義利率與實際利率的關(guān)系式 設(shè)名義利率為r，若年初借款為P，在一年中計算利息m次，則每一計息周期的利率為r/m，一年后的本利和為：FP(1r/m)m其 中利息為IFPP(1r/m)mP。故實際利率i與名義利率r的關(guān)系式為： i=(1+r/m)n1通過上述分析和計算，可以得出名義利率與實際利率存在著下述關(guān)系： 實際利率比名義利率更能反映資金的時間價值； 名義利率越大，計息周期越短，實際利率與名義利率的差異就越大； 當(dāng)每年計息周期數(shù)m1 時

7、，名義利率與實際利率相等； 當(dāng)每年計息周期數(shù)m1 時，實際利率大于名義利率； 當(dāng)每年計息周期數(shù)m時，名義利率r 與實際利率i 的關(guān)系為： i er1 二、復(fù)利計算 常用符號 在復(fù)利計算和考慮資金時間因素的計算中，常用的符號包括P、F、A、G、s、n 和i 等，各符號的具體含義是： P 現(xiàn)值； F 終值(未來值)； A 連續(xù)出現(xiàn)在各計息周期期末的等額支付金額，簡稱年值； G 每一時間間隔收入或支出的等差變化值； s 每一時間間隔收入或支出的等比變化值； n 計息周期數(shù)； i 每個計息周期的利率。 在復(fù)利計算和考慮資金時間因素的計算中，通常都要使用i 和n，以及P、F 和A 中的兩項。比較不同投資

8、方案的經(jīng)濟效果時， 常常換算成P 值或A 值，也可換算成F 值來進行比較。 公式與系數(shù) 一次支付的現(xiàn)值系數(shù)和終值系數(shù) 一次支付的現(xiàn)金流量圖如圖5-3 所示。如果在時間點t0 時的資金現(xiàn)值為P，并且利率i 已定，則復(fù)利計息的n 個計息周期后的終值F 的計算公式為： FP(1i)n 上式中的紅色部分稱為“一次支付終值系數(shù)”。 當(dāng)已知終值F 和利率i 時，很容易得到復(fù)利計息條件下現(xiàn)值P 的計算公式：P=F1/(1+i)n 上式中的紅色部分稱為“一次支付現(xiàn)值系數(shù)”。 等額序列支付的現(xiàn)值系數(shù)和資金回收系數(shù) 等額序列支付是指在現(xiàn)金流量圖上的每一個計息周期期末都有一個等額支付金額A，現(xiàn)金流量圖如圖5-4 所

9、示。此時，其現(xiàn)值可以這樣確定：把每一個A 看作是一次支付中的F，用一次支付復(fù)利計算公式求其現(xiàn)值，然后相加，即可得到所求的現(xiàn)值。計算公式是：P=A(1+i)n1/i(1+i)n =A/i11/(1+i)n式中的紅色部分稱為“等額序列支付現(xiàn)值系數(shù)”。 由上式可以得到當(dāng)現(xiàn)值P 和利率i 為已知時，求復(fù)利計息的等額序列支付年值A(chǔ) 的計算公式： A=Pi(1+i)n/(1+i)n1=Pi/1(1+i)-n式中的紅色部分稱為“等額序列支付資金回收系數(shù)”。 等額序列支付的終值系數(shù)和儲存基金系數(shù) 所謂等額序列支付的終值系數(shù)和儲存基金系數(shù)就是在已知F 的情況下求A，或在已知A 的情況下求F，現(xiàn)金流量圖如圖5-5

10、 所示。因為前面已經(jīng)有了P 和A 之間的關(guān)系，我們也已經(jīng)知道了P 和F 之間的關(guān)系，所以很容易就可以推導(dǎo)出F 和A 之間的關(guān)系。計算公式為： A=Fi/(1+i)n1上式中的紅色部分稱為“等額序列支付儲存基金系數(shù)”。 通過上式，我們可以很容易地推導(dǎo)出： F=A(1+i)n1/i上式中的紅色部分稱為“等額序列支付終值系數(shù)”。 等差序列的現(xiàn)值系數(shù)和年費用系數(shù) 等差序列是一種等額增加或減少的現(xiàn)金流量序列。換句話說， 這種現(xiàn)金流量序列的收入或支出每年以相同的數(shù)量發(fā)生變化。例如物業(yè)的維修費用往往隨著房屋及其附屬設(shè)備的陳舊程度而逐年增加，物業(yè)的租金收入通常隨著房地產(chǎn)市場的發(fā)展逐年增加等。逐年增加的收入或費

11、用，雖然不能嚴(yán)格地按線性規(guī)律變化，但可根據(jù)多年資料，整理成等差序列以簡化計算。 AtA1(n1)G 如果以G表示收入或支出的年等差變化值，第一年的現(xiàn)金收入或支出的流量A1已知，則第n年年末現(xiàn)金收入或支出的流量為A1 (n1)G，現(xiàn)金流量圖如圖5-6 所示。計算等差序列現(xiàn)值系數(shù)的公式為： P=A1(1+i)n1/i(1+i)n+G/i(1+i)n1/i(1+i)nn/(1+i)n上式中的紅色部分稱為“等差序列現(xiàn)值系數(shù)”。 若要將等差現(xiàn)金流量序列換算成等額年值A(chǔ)，則公式為： A=A1+G1/in/(1+i)n1上式中的紅色部分稱為“等差序列年費用系數(shù)”。 等比序列的現(xiàn)值系數(shù)和年費用系數(shù) 等比序列是

12、一種等比例增加或減少的現(xiàn)金流量序列。換句話說， 這種現(xiàn)金流量序列的收入或支出每年以一個固定的比例發(fā)生變化。例如建筑物的建造成本每年以10%的比例逐年增加、房地產(chǎn)的價格或租金水平每年以5%的速度逐年增加等。 AtA1 (1s)t-1 如果以等比系數(shù)s表示收入或支出每年變化的百分率，第一年的現(xiàn)金收入或支出的流量A1已知，則第n年年末現(xiàn)金收入或支出的流量為A1(1s)n-1，現(xiàn)金流量圖如圖5-7 所示。計算等比序列現(xiàn)值系數(shù)的公式為: P=A1/(is)1(1+s)/1+in i不等于sP=nA/(1+i) i等于s上式中的紅色部分稱為“等比序列現(xiàn)值系數(shù)”。 若要將等比現(xiàn)金流量序列換算成等額年值A(chǔ)，則公式為： A=A1i/(is)1(1+s)n1/(1+i)n1上式中的紅色部分稱為“等比序列年費用系數(shù)”。 復(fù)利系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示法 為了減少書寫上述