1、2020-2021中考數(shù)學 銳角三角函數(shù) 培優(yōu)易錯 難題練習(含答案)含詳細答案一、銳角三角函數(shù)1.如圖，山坡上有一棵樹 AB,樹底部B點到山腳C點的距離BC為6J3米，山坡的坡角為30.小寧在山腳的平地 F處測量這棵機勺高，點 C到測角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測得樹頂部 A的仰角為45,樹底部B的仰角為20,求樹AB的高度.(參考數(shù)值：sin20 =0.34:os20 =0.94tan20 【答案】6.4米 解：二,底部B點到山腳C點的距離BC為6 3米，山坡的坡角為 30. . DC=BC?cos30673 9 米,2,.CF=1 米, ，DC=9+1=10 米， ，GE=10

2、米， / AEG=45 ； ，AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20 =10 X 0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：樹高約為6.4米首先在直角三角形 BDC中求得DC的長，然后求得 DF的長，進而求得 GF的長，然后在直 角三角形BGF中即可求得BG的長，從而求得樹高2.如圖，4ABC 內(nèi)接于。O, BC 2,ABAC，點d為Ac上的動點，且cosB 且010(1)求AB的長度；(2)在點D運動的過程中，弦 AD的延長線交BC的延長線于點E,問AD?AE的值是否變化? 若不變，請求出 AD?AE的值；若變化，請說明理由.在點D的運動過程中，

3、過 A點作AHXBD),求證：BH CD DH .3）證明見解析【答案】（1） AB = M; （2） AD AE 10;【解析】【分析】（1）過A作AF，BC,垂足為F,交。于G,由垂徑定理可得 BF=1,再根據(jù)已 知結(jié)合RtAAFESPM求得 AB長；（2）連接DG,則可得AG為。的直徑，繼而可證明 DA3 4FAE根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 AD?AE=AF?AG連接BG,求得AF=3, FG=1 ,繼而即可求得 AD?AE的值；3(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,通過證明AD8 4ADN,可得 AC=AN,繼而可得 AB=AN,再卞|據(jù) AHXBN,即可證得 BH=

4、HD+CD.【詳解】(1)過A作AF BC,垂足為F,交。于G,1 . AB=AC, AF BC, . . BF=CF= BC=1,2BF 1 一 10 在 RtAAF沖,BF=1,，AB=cosB /10；10(2)連接DG,. AFXBC, BF=CF，AG 為。的直徑， . / ADG=/ AFE=90 又 / DAG=Z FAEDAGs FA匕2 .AD: AF=AG: AE, .AD?AE=AF?AG 連接 BG,貝U/ABG=90,BF AG, ，BF2=AF?FG,af=VabBf=3，1 .FG=-, 3 102 .AD?AE=AF?AG=AF? (AF+FQ =3 1=10;

5、(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,3 / ADB=Z ACB=Z ABC, / ADC+Z ABC=180, Z ADN+Z ADB=180 , / ADC=Z ADN,4 . AD=AD, CD=ND,5 .ADCAADN,.AC=AN, .AB=AC,，AB=AN, .AHXBN, .BH=HN=HD+CD.(2)根據(jù)S 四邊形 opeG=Soeg+Sxope=Soeg+(Sopc+Sx pc&Sa oe。構(gòu)建函數(shù)關系式即可.【點睛】本題考查了垂徑定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定 與性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關鍵3.已知：如圖，

6、在四邊形 ABCD中，AB/ CD, / ACB =90； AB=10cm, BC=8cm, OD 垂 直平分A C.點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為 1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點P作PH AB,交BC于點E,過點Q作QF/AC,分別交AD, OD于點F, G.連接OP,EG.設運動時間為t ( s ) (0vtv5),解答下列問題:(1)當t為何值時，點E在 BAC的平分線上？(2)設四邊形PEGO的面積為S(cm2)，求S與t的函數(shù)關系式;t ,使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出 t(3

7、)在運動過程中，是否存在某一時刻 的值；若不存在，請說明理由；t ,使OE! OQ?若存在，求出t(4)連接OE, OQ,在運動過程中，是否存在某一時刻的值；若不存在，請說明理由.3t2 15t 8856 , (0 t 5) ； (3)t 時,2OE OQ.EP AB, ECAC,可得 PE=EC由此構(gòu)建方程Sg邊形PEGO取得最大值；(4) t 覽時,5【解析】【分析】(1)當點E在/BAC的平分線上時，因為 即可解決問題.(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.(4)證明/EOCN QOG,可得tan/EOC=ta也QOG,推出EC GQ ,由此構(gòu)建方程即OCOG可解決問題.【詳解】(1)在

8、 RtABC 中，./ACB=90, AB=10cm, BC=8cm,.AC=Jl02 82 =6 (cm),OD垂直平分線段 AC, . OC=OA=3 (cm) , / DOC=90 ,1. CD/ AB,Z BAC=Z DCO, / DOC=Z ACB, .DOOBCA,AC AB BC一 ,OC CD OD6108一,3 CD OD，CD=5 (cm) , OD=4 (cm),. PB=t, PEAB,35易知：PE=-t, BE=-t,44當點E在/BAC的平分線上時，-. EP AB, EC AC, .PE=EC，3t=8-5t,44t=4.當t為4秒時，點E在/BAC的平分線上.

9、(2)如圖，連接OE, PC.S 四邊形 opeg=Sa oeg+Sa ope=Sa oeg+ ( Saopc+Sa pce-Sa oec)138253 8 -t43t216(0t 5) （3）存在.5)，68-(0 t3.t=5 時,2(4)存在.四邊形OPEG的面積最大，最大值為如圖，連接 OQ. .OEXOQ, / EOC吆 QOC=90 ； / QOC+Z QOG=90 ;/ EOC=Z QOG, tanZ EOC=tanZ QOG,EC GQ一 ,OC OG8 5t433t整理得:解得t55t2-66t+160=0 ,16 ,、人、一或10 (舍棄)5當 t16八,”一秒時，OEL

10、OQ.5683本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函 數(shù)，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.4.如圖（9）所示（左圖為實景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太 陽能熱水器：先安裝支架 AB和CD （均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平面夾角為 1 ,且在水平線上的射影 AF為1.4m.現(xiàn)已測量出屋頂斜面與水平面夾角為2,并已知tan 1 1.082,tan 2 0.412 .如果安裝工人確定支架 AB高為25cm,求支架CD的高（結(jié)果精確到【答案】解；過點且作m_LC

11、D于P，月交CD于尸“在 R2 ADF 中,DF = AFitn = 1,4x1.082 = 1.51 48（jp3）, q在公 EAF 中,EF = AF tan = 1,4x0.412 = 0.5763（同 （2 分），口因二口真一后尸= 1.51480.5762 = 093E（喀）（1 分）又可證四邊形ABCS為平行四邊形，故有CE = = 25二活（2分）,二 C7?二 口且 十 C宣二 3 8+25 = 118 8 kli9g麗（2 分）答：支架CD的高妁為11%陽.11分）/【解析】過A作AF CD于F ,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用。1、92表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE

12、為平行四邊形，故有 EC=AB=25cm再再根據(jù) DC=DE+EC行解答即可.5.已知：4ABC內(nèi)接于。O, D是弧BC上一點，OD，BC,垂足為H.（1）如圖1,當圓心 O在AB邊上時，求證： AC=2OH;（2）如圖2,當圓心O在4ABC外部時，連接AD、CD, AD與BC交于點P,求證：/ ACD=Z APB;（3）在（2）的條件下，如圖 3,連接BD, E為。O上一點，連接 DE交BC于點Q、交AB 于點N,連接OE, BF為。的弦，BF OE于點R交DE于點G,若/ACD-ZABD=2ZBDN, AC=5在，BN=3jg , tan/ABC、,求 BF 的長.（即）（鴕）（鄙）【答案

13、】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） 24.【解析】試題分析：（1）易證OH為4ABC的中位線，可得 AC=2OH; （2） / APB=/ PAC+Z ACP,Z ACD=Z ACB+/ BCD,又/ PAC 之 BCD,可證 / ACD=Z APB； (3)連接 AO延長交于 。于點I,連接IC, AB與OD相交于點 M,連接OB,易證/GBN=/ABC,所以BG=BQ. 在RtBNQ中，根據(jù)tan/ABC=1,可求得NQ、BQ的長.利用圓周角定理可求得 IC和AI的長度，設QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED的長度，最后利用tan/OED即可求得R

14、G的長度，最后由垂徑定理可求得BF的長度.試題解析：(1)在。O 中，- OD BC, .,.BH=HC,二.點 O 是 AB 的中點，AC=2OH;(2)在。O 中，- OD BC, .弧 BD項 CD, . / PAC4 BCD, / APB=/ PAC+Z ACP, /ACD=/ ACB+Z BCD, . / ACD=/ APB; (3)連接 AO 延長交于。O 于點 I,連接 IC, AB 與OD相交于點M,連接OB, / ACD- / ABD=2/ BDN, 二 / ACD- / BDN=Z ABD+Z BDN, / ABD+Z BDN=Z AND, / ACD- / BDN=Z A

15、ND, / ACD+Z ABD=1802/ AND=180/ AND=90 ,-1.V0 1 34- tan / ABC= , , 0 -,2AX22 / BNQ=Z QHD=90 ；/ ABC=Z QDH, -. OE=OD,Z OED=Z QDH,/ ERG=90, / OED=/GBN, / GBN=/ABC, / AB ED,BG=BQ= , GN=NQ=,21_ i ac/ ACI=90 , tan / AIC=tanZ ABC= , 工，ic=o/5,，由勾股定理可求得:AI=25, 一 , 一 1 設 QH=x, tan / ABC=tanZ ODE=,空，HD=2x,，OH=O

16、D- HD乏 也二215BH=BQ+QH=v + x ，門鼻丫 /Kr2AY9T 59. OB2=BH2+OH2, = ,虧十萬|十 -2x ,解得：工二%或不，當QH2jV2j22Z%區(qū)時，.QD=1,7 一1弓 9，ND=6j？,，MN=3o“，MD=15, . MD ,，QH=不符合題意，舍去，當 QH=_ 5后時，.-.QD= . ND=NQ+QD=4#,ED=10后,-1175- 9遭.，gd=gn+nd_,.，eg=ed- gd丁，. tanZ OED=-,2RG 1獲一19，EG=dRG,，RGq,BR=RG+BG=121 BF=2BR=24考點：1圓；2相似三角形；3三角函數(shù)；

17、4直角三角形6.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中/ BAC=45, /ACD=30,點E為CD邊上的中點，連接 AE,將4ADE沿AE所在直線翻折得到 AD耳D咬AC于F 點.若 AB=6/?cm.(1) AE的長為 cm；(2)試在線段AC上確定一點P,使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值； (3)求點D到BC的距離.C【答案】(1) 4; (2) 12cm； (3) 3V7 Vcm.【解析】試題分析：(1)首先利用勾股定理得出 AC的長，進而求出 CD的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進而得出答案: / BAC=45 , / B=90 ,AB=BC=

18、6,icm,，AC=12cm.AC 12CD =: / ACD=30 ； / DAC=90 ； AC=12cm, =(cm).點E為CD邊上的中點,AE=DC=、cm.(2)首先得出4ADE為等邊三角形，進而求出點E, D關于直線AC對稱，連接DD交AC于點P,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，此時DP+EP值為最小，進而得出答案.(3)連接CD, BD,過點。作D吐BC于點G,進而得出ABDCBD ( SSS ,則/D BG=45D G=GBS而利用勾股定理求出點D到BC邊的距離.試題解析：解：(1)4yl(2) .RtADC 中，/ACD=30,/ ADC=60 ,.E為CD邊上的中點，DE=AE4ADE

19、為等邊三角形. WAADE沿AE所在直線翻折得 AAD ,EAAD的等邊三角形， /AED =60 / EAC=Z DAC- / EAD=30 / EFA=90, 即 AC所在的直線垂直平分線段ED：點E, D關于直線AC對稱.如答圖1,連接DD交AC于點P, 此日DP+EP為最小，且 DP+EP=DD.（3）如答圖2,連接CD, BD,過點。作D dBC于點G, . AC垂直平分線 ED； .AE=AD, CE=CD,. ADE是等邊三角形， AD=AE=V?,答圖1,即DP+EP最小值為12cm.AE=EC .AD =CD =.AR = nc丹爐二fiDr在 ABD 和 CBD 中，AAB

20、DACBD（SSS , ./D BG =D BC=45 . . D G=GB設D G長為xcm,則CG長為&V2-Xcm,在RtAGtD C中，由勾股定理得其+。、2-工）=解得：恒=：川2 fgM = 3/ + $ （不合題意舍去）.點D到BC邊的距離為 入Ncm.考點：1 .翻折和單動點問題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；4.等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)；5.軸對稱的應用（最短線路問題）；6.全等三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想的應用.7.如圖，已知正方形在直角坐標系皿中，點公。分別在工軸、9軸的正半軸上，點在坐標原點.等腰直角三角板。取!的直角頂點。在原點，e、h分別在a

21、t、窕上,且0E1F】的位置，連結(jié)匚八，恒若三角板OEF繞Q點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得|OEH否若存在，請 求出此時廠點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，場（】，W或%【解析】（1）證明：:四邊形。力丹為正方形，.。=。八,三角板。尸是等腰直角三角形，.明二明又三角板而繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)至 叫F1的位置時，上力叫=叫.三也。（7尸1（2）存在,4分2丁丁過點月與“田平行的直線有且只有一條，并與 OF垂直，又當三角板PFF繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)一周時，則點在以門為圓心，以F為半徑的圓上,5分，過點“與F垂直的直線必是圓”的切線，又點”是圓門外一點，過點與圓門

22、相切的直線有且只有2條，不妨設為此時，耳點分別在0點和電點，滿足平|西,卬”。甌7分當切點的在第二象限時，點 燈在第一象限，在直角三角形仃回中口 = 4,門乃=2, OFi 1 cosOFi = - = -t4叫=6。,口叫=4點阿的橫坐標為：%.28*60。= r點|E L的縱坐標為：y* = 2sE6(P =、3,點埼的坐標為L /). 9分當切點心在第一象限時，點不在第四象限， 同理可求：點機的坐標為10. -口.綜上所述，三角板。尸產(chǎn)繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個位置，使得OEIKF,此時點日的坐標為/或心。.-W3 11分(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段，根據(jù)SAS定理證明；(2)

23、由于AOEF是等腰RtA,若OE/ CF,那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過程中，E、F的軌跡是以。為圓心，OE (或OF)長為半徑的圓，若 CF OF,那么CF必為。的切線，且 切點為F;可過C作。的切線，那么這兩個切點都符合F點的要求，因此對應的 E點也有兩個；在 RtOFC 中，OF=2, OC=OA=4 可證得 / FCO=30 ,即 / EOC=3 0,已知了 OE 的長，通過解直角三角形，不難得到E點的坐標，由此得解.8.如圖，AB是圓。的直徑，。為圓心，AD、BD是半圓的弦，且 / PDA=/ PBD.延長PD 交圓的切線BE于點E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由；(2)

24、如果 / BED=60, PD=/3,求 PA的長； (3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段 DF,點F正好在圓。上，如圖2,求證：四邊形DFBE為菱形.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)連接OD,由AB是圓。的直徑可得/ADB=90,進而求得ZADO+ZPDA=90 ,即可得 出直線PD為。的切線；(2)根據(jù)BE是。的切線，則/EBA=90,即可求得Z P=30 ,再由PD為。的切線，得 /PDO=90 ；根據(jù)三角函數(shù)的定義求得 OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根據(jù)題意可證得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圓O的直徑，得/ ADB

25、=90 ,設/ PBD我，則可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x, Z DBF=2x ,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，可得出4BDE是等邊三角形.進而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為。的切線，理由如下：如圖1,連接OD,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 , / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD OD, 點D在OO上， 直線PD為。O的切線；(2) BE是。的切線，/ EBA=90 ； / BED=60 ；/ P=30 ；2 .PD為。的切

26、線,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30, PD=W ,0 ODtan30 而解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2- 1=1;(3)如圖2,依題意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF,3 / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ,設 / PBD=x ,貝U / DAF=Z PAD=90 +x, / DBF=2x ,四邊形AFBD內(nèi)接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,即 90+x+2x=180,解得 x=30,/ ADF=Z

27、PDA=/ PBD=/ ABF=30 ,.BE、ED是。的切線， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,4BDE是等邊三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60, .BDF是等邊三角形， .BD=DF=BF .DE=BE=DF=BF本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大.9.如圖，AB是。的直徑，PA PC與。O分別相切于點 A, C, PC交AB的延長線于點 D, DE PO交PO的延長線于點 E.(1)求證：/EPD=/ EDO；3 一 一一(2)若

28、PC=3 tan/PDA=,求 OE 的長.4【答案】（1）見解析；（2）在2【解析】【分析】CD=2進而求得OE的長.3 一，（1）由切線的性質(zhì)即可得證 .（2）連接OC,利用tan/PDA=,可求出43OC=3,再證明OEgDEP根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出2【詳解】(1)證明：. PA, PC與。O分別相切于點 A, C,/ APO=Z CPO, PAL AO,-. DE PO,/ PAO=Z E=90 ； / AOP=Z EOD,/ APO=Z EDO,/ EPD=Z EDO.(2)連接OC,PA=PC=33 . tanZ PDA=-，4 在 RtPAD 中，AD=4, PD

29、= PA2 AD2 =5, ，CD=PD-PC=5-3=2/3 . tanZ PDA=-,4在 RtOCD中,3OC=-，25OD=，OC cd =3, / EPD=/ ODE, / OCP=/ E=90 ;.,.OEDADEP,PD PE DE =2,DO DE OE . DE=2OE,5 2 25在 RtOED中，OE2+DE2=OD2,即 5OE2= 5 =,24.OE=-52【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，充分利用3tan Z PDA=-,得線段的長是解題關鍵410.如圖所示的是一個地球儀及它的平面圖，在平面圖中，點A、B分別為地球儀的南、

30、北極點，直線 AB與放置地球儀的平面交于點D,所夾的角度約為 67,半徑OC所在的直線與放置它的平面垂直，垂足為點E, DE=15cm, AD=14cm.(1)求半徑 OA的長(結(jié)果精確到 0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin67 =0,9os67 =0.39 tan67 2.36(2)求扇形BOC的面積(兀取3.14,結(jié)果精確到1cm)【答案】(1)半徑OA的長約為24.5cm ; (2)扇形BOC的面積約為822cm2 .【解析】【分析】在RtODE中，DE=15, /ODE=67,根據(jù)/ODE的余弦值，即可求得 OD長，減去 AD 即為OA.(2)用扇形面積公式即可求得【詳解】在 RtODE 中

31、，DE 15cm, ODE 67. cos ODEDEDO 150.39 OA OD AD 38.46 14 24.5 cm ,答：半徑OA的長約為24.5cm .(2) / ODE 67 , BOC 157 ,2n r-S扇形BOC3602157 3.14 24.523602822 cm答：扇形BOC的面積約為822cm2 .【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，本題把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)中 余弦定義來解題是解題關鍵.11.如圖，公路AB為東西走向，在點 A北偏東36.5方向上，距離5千米處是村莊 M , 在點A北偏東53.5方向上，距離10千米處是村莊N ；要在公路AB

32、旁修建一個土特產(chǎn) 收購站P (取點P在AB上)，使得M , N兩村莊到P站的距離之和最短，請在圖中作出 P的位置(不寫作法)并計算：(1) M , N兩村莊之間的距離；(2) P 到 M、N 距離之和的最小值.(參考數(shù)據(jù)：sin36.5 =0.6, cos36.5=0.8, tan36.5 = 0.75計算結(jié)果保留根號.)【答案】(1) M , N兩村莊之間的距離為 J29千米;(2)村莊M、N到P站的最短距離和是5 -.5千米.【解析】【分析】(1)作N關于AB的對稱點N與AB交于E,連結(jié)MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購站 的位置.求出 DN, DM,利用勾股定理即可解決問題.(2)由題意

33、可知，M、N到AB上點P的距離之和最短長度就是 MN的長.【詳解】解：作N關于AB的對稱點N與AB交于E,連結(jié)MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購站 的位置.,北(1)在 RtANE 中，AN=10, /NAB=36.5，NE=AN?sin/NAB=10?sin36.5, =6AE=AN?cos/ NAB=10?cos36.5 , =8過M作MCAB于點C,在 RtMAC 中，AM=5, /MAB=53.5，AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5, =3MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5 =4過點M作MD，NE于點D,在 RtA MND 中，MD=AE-AC=5,ND=N

34、E-MC=2, MN=, 52 22 = 29 ,即M, N兩村莊之間的距離為 J西千米.(2)由題意可知，M、N到AB上點P的距離之和最短長度就是MN的長.DN =10MD=5,在 RtMDN中，由勾股定理，得MN也2 102 =5 75 (千米)村莊M、N到P站的最短距離和是 5而千米.【點睛】本題考查解直角三角形，軸對稱變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會添加 常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.12.在 RtABC中，/ACB=90, AB= J7 , AC=2,過點 B作直線 m/AC,將 ABC繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn)得到 匕A BAA, B的對應點分別為 A, B,)射線C

35、A, CB分別交直線 m于點P, Q.(1)如圖1,當P與A重合時，求/ACA的度數(shù)；(2)如圖2,設A B BC的交點為M,當M為A的中點時，求線段 PQ的長；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當點 P, Q分別在CA, CB的延長線上時，i3t探究四邊形PAB的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形PA B的最小面積；若不存在，請說明理由.【答案】(1) 60; (2) PQ= ; (3)存在，S四邊形 pabq=3 J3 2【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得:BC cos/ ACB ACAC=AC=2,進而得到BC J3,依據(jù)/ABC=90。，可得3,即可得到 Z ACB=30 , /ACA=60 ;2

36、(2)根據(jù)M為AB的中點，即可得出 ZA=ZACM,進而得到PB YS BCtan/Q=tan/A/即可得到此眈美2進而得出PQ=PB+BQ i小，而 Sapcq pQXBC2(3)依據(jù)S四邊形PABQ=SzPCQ- S AC=SaPCQ J3 ,即可得到 S四邊形PABQ最小，即 SkPCQ最PQ,利用幾何法即可得到Sa pcq的最小值=3,即可得到結(jié)2論.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可得:AC=AC=2. / ACB=90 : AB, AC=2,BC 73.BC. /ACB=90； m / AC, . ./ABC=90； . . cos/ACB AC近，ACB=30。,2，/ACA=60(2) ,

37、M為AB的中點，ZACM=ZMAC,由旋轉(zhuǎn)可得：，/A=/ACM, tan Z PCB=tan /A , . PB BC Z BQC=Z BCP=Z A, tan Z BQC=tan Z A , . BQ=BC/ MAC=Z A,2, .1.PQ=PB+BQ(3) .S四邊形 PABQ=S1 PCQ Sa A,CB=SaPCQ J3 ,S四邊形 PABQ 最/、，即Sa pcqJ1小,Sa pcq IpQ 汨C2取PQ的中點G.&Q,2(4) /PCQ=90； . .CG - PQ,即 PQ=2CG 當 CG最小時，PQ 最小， . CG, PQ,即 CG與2CB重合時，CG最小，CGnin

38、J3, PQmin=2j3,，9PCQ的最小值=3, S四邊形 pabq=3 J3 ;【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì) 的綜合運用，解題時注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中 心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.13.已知：如圖，直線 y=x+ 12分別交x軸、y軸于A、B點，將4AOB折疊，使A點 恰好落在OB的中點C處，折痕為DE.(1)求AE的長及sin / BEC的值；(2)求4CDE的面積._375【答案】(1) 5岐，sin/BEC=； (2) 54【解析】【分析】(1)如圖，作CF，BE于

39、F點，由函數(shù)解析式可得點B,點A坐標，繼而可得ZA=Z B=45 ；再根據(jù)中點的定義以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得OC=BC=6CF=BF=3.2，設 AE=CE=x 貝U EF=AB-BF-AE=12/2-3 J2-x=9拒-x,在 RtCEF中，利用勾股定理求出 x 的值即可求得答案；(2)如圖，過點E作EMLOA于點M,根據(jù)三角形面積公式則可得2SacdE=Saaed= ADX AE 設 AD=y,則 CD=y, OD=12-y,在 RtOCD中，利用勾股定理求出y,繼而可求得答案.【詳解】(1)如圖，作 CFBE于F點,由函數(shù)解析式可得點 B (0, 12),點A (12, 0) , /

40、A=/B=45,又點C是OB中點，.oc=bc=G cf=bf=3/2，設 AE=CE=X 則 EF=AB-BF-AE=12 2 -3 2 -x=9 2 -x,在 RtCEF中，CEcP+e巴即 x2= (90-X)2+ (3&)2, 解得：x=5 J2，一CF 3_故可得 sin/BEC= 一 AE=52 ；CE 5(2)如圖，過點E作EMLOA于點M,運ADXAE4設 AD=y,則 CD=y, OD=12-y,在 RtOCD中,OC2+OD2=CD2,即 62+ (12-y) 2=y2,2.275一 ADX AE=- -故 SA cde=S aed=解得：y= , IP AD=,【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，涉及了勾股定理、折疊的性質(zhì)、三角形面積、一次函數(shù) 的性質(zhì)等知識，綜合性較強，正確添加輔助線、