1、第三章第三章 靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。電位微分方程，鏡像法，分離變量法。1. 1. 電位微分方程電位微分方程已知，電位已知，電位 與電場強度與電場強度 e 的關系為的關系為 對上式兩邊取散度，得對上式兩邊取散度，得 對于線性各向同性的均勻介質，電場強度對于線性各向同性的均勻介質，電場強度 e 的散度為的散度為 e2 e e那么，線性各向同性的均勻介質中，電位滿足的微分方程式為那么，線性各向同性的均勻介質中，電位滿足的微分方程式為 2該方程稱為該方程稱為泊松方程泊松方程。 對于無源區(qū)，上式變?yōu)閷τ跓o源區(qū)，上式變?yōu)?02上式稱為上式

2、稱為拉普拉斯方程拉普拉斯方程。 泊松方程的求解。泊松方程的求解。vvd|)(41)( rrrr 已知分布在已知分布在v 中的電荷中的電荷 在無限大的自由空間產(chǎn)生的在無限大的自由空間產(chǎn)生的電位為電位為)(r因此，上式就是電位微分方程在自由空間的解。因此，上式就是電位微分方程在自由空間的解。 應用應用格林函數(shù)格林函數(shù) ，即可求出，即可求出泊松方程泊松方程的通解為的通解為) ,(rrgsrrrrrrrrrrd) ,()()() ,( d) () ,()(0 0 0ggvgsv式中式中格林函數(shù)格林函數(shù) 為為) ,(rrg| |41) ,(0rrrrg 對于無限大的自由空間，表面對于無限大的自由空間，表

3、面 s 趨向無限遠處，由于格林函數(shù)趨向無限遠處，由于格林函數(shù) 及電位及電位 均與距離成反比，而均與距離成反比，而 ds 與距離平方成正比，所以，與距離平方成正比，所以，對無限遠處的對無限遠處的 s 表面，上式中的面積分為零表面，上式中的面積分為零。 ),(0rrg 若若 v 為無源區(qū)，那么上式中的體積分為零。因此，第二項面積為無源區(qū)，那么上式中的體積分為零。因此，第二項面積分可以認為是泊松方程在無源區(qū)中的解，或者認為是拉普拉斯方程分可以認為是泊松方程在無源區(qū)中的解，或者認為是拉普拉斯方程以格林函數(shù)表示的積分解。以格林函數(shù)表示的積分解。 數(shù)學物理方程是描述物理量隨數(shù)學物理方程是描述物理量隨空間空

4、間和和時間時間的變化規(guī)律。對于某的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值初始值與與邊界值邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為這些初始值和邊界值分別稱為初始條件初始條件和和邊界條件邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為，兩者又統(tǒng)稱為該方程的該方程的定解條件定解條件。靜電場的場量與時間無關，因此電位所滿足的。靜電場的場量與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題邊值問題

5、。 通常給定的邊界條件有三種類型：通常給定的邊界條件有三種類型： 第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向導數(shù)值，這種邊值問第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向導數(shù)值，這種邊值問題又稱為題又稱為諾依曼諾依曼問題。問題。 第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向導數(shù)值，這種邊界條件又稱為物理量的法向導數(shù)值，這種邊界條件又稱為混合混合邊界條件。邊界條件。 第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷狄利克雷問題。問題。對于任何數(shù)學物理方程需

6、要研究解的對于任何數(shù)學物理方程需要研究解的存在存在、穩(wěn)定穩(wěn)定及及惟一性惟一性問題。問題。 泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學中已經(jīng)得到證明。可泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。以證明電位微分方程解也是惟一的。 由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實際意義。因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實際意義。 解的解的惟一性惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。 解的解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指當定解條件發(fā)生微

7、小變化時，所求得的解是否會是指當定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會發(fā)生很大的變化。發(fā)生很大的變化。解的解的存在存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。 靜電場的邊界通常是由導體形成的。此時，若給定導體上的靜電場的邊界通常是由導體形成的。此時，若給定導體上的電位值就是第一類邊界。電位值就是第一類邊界。 已知導體表面上的電荷密度與電位導已知導體表面上的電荷密度與電位導數(shù)的關系為數(shù)的關系為 ，可見，表面電荷給定等于給定了電位的，可見，表面電荷給定等

8、于給定了電位的法向導數(shù)值。因此，給定導體上的電荷就是第二類邊界。法向導數(shù)值。因此，給定導體上的電荷就是第二類邊界。 sn 因此，對于導體邊界的靜電場問題，當邊界上的因此，對于導體邊界的靜電場問題，當邊界上的電位電位，或電，或電位的位的法向導數(shù)法向導數(shù)給定時，或導體給定時，或導體表面電荷表面電荷給定時，空間的靜電場即給定時，空間的靜電場即被惟一地確定被惟一地確定。這個結論稱為。這個結論稱為靜電場惟一性定理靜電場惟一性定理。2. 鏡像法鏡像法 實質實質: :是以一個或幾個是以一個或幾個等效電荷等效電荷代替邊界的影響，將原來具代替邊界的影響，將原來具有邊界的有邊界的非均勻非均勻空間變成無限大的空間變

9、成無限大的均勻均勻自由空間，從而使計算過自由空間，從而使計算過程大為簡化。程大為簡化。 依據(jù)：依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位鏡像位置置，因此稱為，因此稱為鏡像電荷鏡像電荷，而這種方法稱為，而這種方法稱為鏡像法鏡像法。關鍵：關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。確定鏡像電荷的大小及其位置。 局限性：局限性：僅僅對于某些

10、特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。可能確定其鏡像電荷。 （1）點電荷與無限大的導體平面。）點電荷與無限大的導體平面。 介質 導體 q r p 介質 q r p hhrq 介質 以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為變成均勻的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點的空間，則空間任一點 p 的電位由的電位由 q 及及 q 共同產(chǎn)生，即共同產(chǎn)生，即 rqrq 4 4考慮到無限大導體平面的電位為零考慮到無限大導體平面的電位為零，求得，求得qq 電場線與等位面的分

11、布特性與第二章所述的電偶極子的上半電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。部分完全相同。 由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體表面吻合。表面吻合。電場線等位線 z 電荷守恒：電荷守恒：當點電荷當點電荷q 位于無限大的導體平面附近時，導體表面位于無限大的導體平面附近時，導體表面將產(chǎn)生異性的感應電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷將產(chǎn)生異性的感應電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導體表面上的感應電荷。可見，上述鏡像法的實質是以一個異性的及導體表面上的感應電荷。可見，上述鏡像法的實質是以

12、一個異性的鏡像點電荷鏡像點電荷代替導體表面上異性的代替導體表面上異性的感應電荷感應電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應該等于這些感應電荷的總電量，讀者可以根理，鏡像點電荷的電量應該等于這些感應電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導體表面電荷密度與電場強度或電位的關系證明這個結論。據(jù)導體表面電荷密度與電場強度或電位的關系證明這個結論。 半空間等效：半空間等效：上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。在上半空間中，源及邊界條件未變。q 對于半無限大導體平面形成的對于半無限大導體平面形成的劈形邊界

13、劈形邊界也可應用鏡像法。但是也可應用鏡像法。但是僅當這種導體劈的夾角等于僅當這種導體劈的夾角等于 的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個幾個鏡像電荷。鏡像電荷。例如，夾角為例如，夾角為 的導電劈需引入的導電劈需引入 5 5 個鏡像電荷。個鏡像電荷。 3/3/3q 連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導體平面附近時，根據(jù)疊加連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導體平面附近時，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應用鏡像法求解。原理得知，同樣可以應用鏡像法求解。 fqo（2）點電荷與導體球。）點電荷與導體球

14、。 padrq 若導體球若導體球接地接地，導體球的電位，導體球的電位為零。為了等效導體球邊界的影響，為零。為了等效導體球邊界的影響，令鏡像點電荷令鏡像點電荷q 位于球心與點電荷位于球心與點電荷 q 的連線上。那么，球面上任一點的連線上。那么，球面上任一點電位為電位為 rqrq 4 4可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為 qrrq 為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值 對于球面對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求

15、三角形 opq 與與 oqp 相似，則相似，則 常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應為常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應為rrfarrqfaq鏡像電荷離球心的距離鏡像電荷離球心的距離d 應為應為 fad2這樣，根據(jù)這樣，根據(jù) q 及及 q 即可計算球外空間任一點的電場強度。即可計算球外空間任一點的電場強度。 fqopadrq 若導體球若導體球不接地不接地，則位于點電荷一側的導體球表面上的感應電，則位于點電荷一側的導體球表面上的感應電荷為負值，而另一側表面上的感應電荷為正值。導體球表面上總的荷為負值，而另一側表面上的感應電荷為正值。導體球表面上總的感應電荷應為零值。因此，對于不接地的導體球，若引入上述的鏡感應電荷應為

16、零值。因此，對于不接地的導體球，若引入上述的鏡像電荷像電荷 q 后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q，且必須令且必須令 顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷 q“ 必須位必須位于于球心球心。事實上，由于導體球不接地，因此，其電位不等零。由。事實上，由于導體球不接地，因此，其電位不等零。由q 及及q在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷q“ 以提供一定的電位。以提供一定的電位。qq l（3）線電荷與帶電的導體圓柱。

17、）線電荷與帶電的導體圓柱。 pafdr-lo 在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d 處，平行放置一根處，平行放置一根鏡像電荷鏡像電荷 。已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為。已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為 lrlree 2因此，離線電荷因此，離線電荷r 處，以處，以 為參考點的電位為為參考點的電位為 0rrrrelrr0 ln2d 0 若令鏡像線電荷若令鏡像線電荷 產(chǎn)生的電位也取相同的產(chǎn)生的電位也取相同的 作為參考點，作為參考點，則則 及及 在圓柱面上在圓柱面上 p 點共同產(chǎn)生的電位為點共同產(chǎn)生的電位為l0rllrrrrllp00ln2ln2rrlln2 已

18、知導體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，已知導體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，必須要求比值必須要求比值 為常數(shù)。與前同理，可令為常數(shù)。與前同理，可令 ，由此得，由此得 rradfarrfad2 （4）點電荷與無限大的介質平面。）點電荷與無限大的介質平面。 e 1 1qr0eteneeten0rq 2 2q0r ne te e 1 2qeten=+ 為了求解上半空間的場可用鏡像電荷為了求解上半空間的場可用鏡像電荷 q 等效邊界上束縛等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1 的均勻空間。對于的均勻空間。對于下半空間，可用位

19、于原點電荷處的下半空間，可用位于原點電荷處的q 等效原來的點電荷等效原來的點電荷q 與邊與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2 的均的均勻空間。勻空間。 但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應該相等，即分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應該相等，即 2t1t1teee n21n1nddd 已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：rrqe

20、e2114rrqee211)(4rrq ee222)(4qq2121qq2122 例例 已知同軸線的內(nèi)導體半徑為已知同軸線的內(nèi)導體半徑為a，電位為，電位為v，外導體接地，其，外導體接地，其內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。試求內(nèi)外導體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。 解解 對于這種邊值問題，鏡像法不適對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標系。由于場量僅與坐標坐標系。由于場量僅與坐標 r 有關，因此，有關，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標系電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標系中的展開式只剩下包

21、含變量中的展開式只剩下包含變量r 的一項，即電的一項，即電位微分方程為位微分方程為0dddd12rrrr21lncrc求得求得vbao利用邊界條件：利用邊界條件：arvbr00lnln2121cbcvcac求得求得bavcln1babvclnln2babrvlnlnbavrrrrlne最后求得最后求得 由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，中出現(xiàn)的積分常數(shù)，選擇適當?shù)淖鴺讼凳欠浅Ｖ匾倪x擇適當?shù)淖鴺讼凳欠浅Ｖ匾?。對于平。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標系、圓柱面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別

22、選用直角坐標系、圓柱坐標系及球坐標系。坐標系及球坐標系。 此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個坐標變量此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個坐標變量 r 有關，有關，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用用直接積分方法直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標變量有關。為了求解三維拉普拉斯方程，值問題與空間三個坐標變量有關。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是一種有效的方法就是分離變量法分離變量法。 分離變量法分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過

23、變量分離簡化是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變?yōu)槿齻€獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于量法對于11種坐標系都是行之有效的。種坐標系都是行之有效的。3. 直角坐標系中的分離變量法直角坐標系中的分離變量法 0222222zyx無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標系中的展開式為無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標系中的展開式為 )()()() , ,(zzyyxxzyx令令代入上式，兩邊再除以代入上式，兩邊再除以 x(x)y(y)z(z)，得，得 0dd1dd1dd1222222zzzyyyxxx顯然，式中各項

24、僅與一個變量有關。因此，將上式對變量顯然，式中各項僅與一個變量有關。因此，將上式對變量 x 求導，第求導，第二項及第三項均為零，求得第一項對二項及第三項均為零，求得第一項對 x 的導數(shù)為零，說明了第一項等的導數(shù)為零，說明了第一項等于常數(shù)。同理，再分別對變量于常數(shù)。同理，再分別對變量 y 及及 z 求導，得知第二項及第三項也分求導，得知第二項及第三項也分別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為 ，分別求得，分別求得222 , ,zyxkkk0dd222xkxxx 0dd222ykyyy0dd222zkzzz式中式中kx ，ky ，kz 稱為分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。稱為

25、分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。顯然，三顯然，三個分離常數(shù)并不是獨立的，它們必須滿足下列方程個分離常數(shù)并不是獨立的，它們必須滿足下列方程0222zyxkkk由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結構，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變程又具有同一結構，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量量 x 的常微分方程的通解為的常微分方程的通解為xkxkxxbaxxjjee)(xkdxkcxxxxcos

26、sin)(或者或者式中式中a, b, c, d為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當 kx 為虛數(shù)時，令為虛數(shù)時，令 ，則上，則上述通解變?yōu)槭鐾ń庾優(yōu)?jxkxxbaxxee)(xdxcxx cosh sinh)(或者或者含變量含變量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的的線性組合線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的它完全決定于給定的邊界條件邊界條件。解中各個待定常數(shù)也取決于給。解中各個待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。定的

27、邊界條件。 例例 兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為 d ，其有，其有限端被電位為限端被電位為 0 的導電平面封閉，且與無限大接地導體平面的導電平面封閉，且與無限大接地導體平面絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的槽中電位分布。絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的槽中電位分布。 odxy = 0 = 0 = 0解解 選取直角坐標系。由于導電平面沿選取直角坐標系。由于導電平面沿 z 軸無限延伸，槽中電位軸無限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與分布函數(shù)一定與 z 無關，因此，這是一個無關，因此，這是一個二維場二維場的問題。電位所的問題。電位所滿足的拉普

28、拉斯方程變?yōu)闈M足的拉普拉斯方程變?yōu)?02222yx)()() ,(yyxxyx應用分離變量法，令應用分離變量法，令根據(jù)題意，槽中電位應滿足的邊界條件為根據(jù)題意，槽中電位應滿足的邊界條件為為了滿足為了滿足 及及 邊界條件，應選邊界條件，應選 y(y) 的解為的解為 0) ,(dx0)0 ,(xykbykayyyycossin)(0) , 0(y0) ,(y0)0 ,(x 0) ,(dx因為因為 y = 0 時，電位時，電位 = 0，因此上式中常數(shù)，因此上式中常數(shù) b = 0。為了滿足邊界。為了滿足邊界條件條件 ，分離常數(shù)，分離常數(shù) ky 應為應為 0) ,(dx 3, 2, 1, ,ndnkyy

29、dnayysin)(求得求得已知已知 ，求得，求得022yxkkdnkxj可見，分離常數(shù)可見，分離常數(shù) kx 為虛數(shù)，故為虛數(shù)，故 x(x) 的解應為的解應為xdnxdndcxxee)(因為因為 x = 0 時，時， 電位電位 ，因此，式中常數(shù)因此，式中常數(shù) c = 0，即，即xdndxxe)(ydncyxxdnsine),(那么，那么，式中常數(shù)式中常數(shù) c = ad 。由邊界條件獲知，當由邊界條件獲知，當 x = 0 時，電位時，電位 = 0 ，代入上式，得，代入上式，得 ydncsin0上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表

30、明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即位方程的解，即ydncyxnxdnnsine),(1為了滿足為了滿足 x = 0， = 0 邊界條件，由上式得邊界條件，由上式得 dyydncnn0 ,sin10上式右端為傅里葉級數(shù)。利用傅里葉級數(shù)的正交性，可以求出系上式右端為傅里葉級數(shù)。利用傅里葉級數(shù)的正交性，可以求出系數(shù)數(shù)cn為為為偶數(shù)為奇數(shù) 0 40nnncnnxdnydnnyxsine14),(0最后求得槽中電位分布函數(shù)為最后求得槽中電位分布函數(shù)為 式中式中 。 5 3, , 1n0dxy = 0 = 0 =

31、0電場線等位面電場線及等位面電場線及等位面分布如右圖示：分布如右圖示：4. 圓柱坐標系中的分離變量法圓柱坐標系中的分離變量法 電位微分方程在圓柱坐標系中的展開式為電位微分方程在圓柱坐標系中的展開式為 01122222zrrrrr令其解為令其解為 )()()(),(zzrrzr0dddd1dddd22222zzzrrrrrrr代入上式求得代入上式求得上式中第二項僅為變量上式中第二項僅為變量 的函數(shù)，而第一項及第三項與的函數(shù)，而第一項及第三項與 無關，因無關，因此將上式對此將上式對 求導，得知第二項對求導，得知第二項對 的導數(shù)為零，可見第二項應為的導數(shù)為零，可見第二項應為常數(shù)，令常數(shù)，令 222d

32、d1k0dd222k即即式中式中 k 為分離常數(shù)，為分離常數(shù)，它可以是實數(shù)或虛數(shù)。通常變量它可以是實數(shù)或虛數(shù)。通常變量 的變化范圍的變化范圍為為 ，那么此時場量隨，那么此時場量隨 的變化一定是以的變化一定是以 2 2 為周期的周期函為周期的周期函數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù)數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù) k 一定是整數(shù)，以保一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為證函數(shù)的周期為2 2 。令。令 ，m 為整數(shù)，則上式的解為為整數(shù)，則上式的解為20mkmbmacossin)(式中式中a, b 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 考慮到考慮到 ，以及變量，以及變量 的方程式，則前述方程可表示為的方

33、程式，則前述方程可表示為mk0dd1dddd12222zzzrmrrrrrr上式左邊第一項僅為變量上式左邊第一項僅為變量 r 的函數(shù)，第二項僅為變量的函數(shù)，第二項僅為變量 z 的函數(shù)，因的函數(shù)，因此按照前述理由，它們應分別等于常數(shù)，令此按照前述理由，它們應分別等于常數(shù)，令 222dd1zkzzz0dd222zkzzz即即式中分離常數(shù)式中分離常數(shù) kz 可為實數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或可為實數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。當指數(shù)函數(shù)。當 kz 為實數(shù)時，可令為實數(shù)時，可令 zkdzkczzzzcossin)(式中式中c, d 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 將變量將變量 z

34、 方程代入前式，得方程代入前式，得 0)(dddd222222rmrkrrrrrrz若令若令 ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)?222xrkz0)(dddd22222rmxxrxxrx上式為標準的柱上式為標準的柱貝塞爾方程貝塞爾方程，其解為柱，其解為柱貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)，即，即 )(n)(j)(rkfrkerrzmzm 至此，我們分別求出了至此，我們分別求出了r(r) ,() , z(z) 的解，而電位微分方的解，而電位微分方程的通解應為三者乘積，或取其線性組合。程的通解應為三者乘積，或取其線性組合。 式中式中e, f 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為為 m 階第一類階第一類柱柱貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)，

35、為為m階第二類階第二類柱柱貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類柱柱貝塞爾函數(shù)的特性知，貝塞爾函數(shù)的特性知，當當r = 0 時，時， 。因此，當場存在的區(qū)域包括。因此，當場存在的區(qū)域包括 r = 0 時，此時，此時只能取第一類時只能取第一類柱柱貝塞爾函數(shù)作為方程的解。貝塞爾函數(shù)作為方程的解。 )(jrkzm)(nrkzm)(nrkzm 若所討論的靜電場與變量若所討論的靜電場與變量 z 無關，則分離常數(shù)無關，則分離常數(shù) 。那么。那么電位微分方程變?yōu)殡娢晃⒎址匠套優(yōu)?zk0dddd2222rmrrrrrr此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即 mmfrerrr)( 若所討論的靜電場

36、又與變量若所討論的靜電場又與變量 無關，則無關，則 m = 0。那么，電位微。那么，電位微分方程的解為分方程的解為 00ln)(brarr考慮到以上各種情況，考慮到以上各種情況，電位微分方程電位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 110)cossin( )cossin(ln),(mmmmmmmmmdmcrmbmarrar 例例 設一根無限長、半徑為設一根無限長、半徑為 a 的導體圓柱放入無限大的均勻靜的導體圓柱放入無限大的均勻靜電場中，電場強度方向垂直于導體圓柱，如圖所示。試求導體圓柱電場中，電場強度方向垂直于導體圓柱，如圖所示。試求導體圓柱外的電場強度。外的電場強度。 解解 選

37、取圓柱坐標系，令選取圓柱坐標系，令 z 軸為圓柱軸軸為圓柱軸線，電場強度的方向與線，電場強度的方向與x 軸一致，即軸一致，即 xe ee00 當導體圓柱處于當導體圓柱處于靜電平衡靜電平衡時，圓柱內(nèi)的時，圓柱內(nèi)的電場強度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電電場強度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強度切向分量為零，且柱外的電位分布函場強度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應與數(shù)應與z 無關。解的形式可取前述一般形式，無關。解的形式可取前述一般形式，但應滿足下列兩個邊界條件：但應滿足下列兩個邊界條件： xyae0o 由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即 01arre

38、e0ar因此因此 無限遠處的電場未受到擾動，因此電位應為無限遠處的電場未受到擾動，因此電位應為 cos) ,(00rexe 此式表明，無限遠處電位函數(shù)僅為此式表明，無限遠處電位函數(shù)僅為 cos 的函數(shù)，可見系的函數(shù)，可見系數(shù)數(shù) ，且，且 m = 0。因此電位函數(shù)為。因此電位函數(shù)為00mmcaacoscos),(11rdrbr01eb201aed 那么，根據(jù)應滿足的邊界條件即可求得系數(shù)那么，根據(jù)應滿足的邊界條件即可求得系數(shù) b1，d1 應為應為代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為 coscos),(200raerer則柱外電場強度為則柱外電場強度為 zrrzreeee

39、1sin1cos1022022eraerareexyae0電場線等位面圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如下圖示：圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如下圖示：5. 球坐標系中的分離變量法球坐標系中的分離變量法 電位微分方程在球坐標系中的展開式為電位微分方程在球坐標系中的展開式為0sin1sinsin112222222rrrrrr)()()(),(rrr令令0dd1ddsinddsinddddsin2222rrrrr代入上式，得代入上式，得與前同理，與前同理， 的解應為的解應為mbmacossin)(0sinddsinddsin1dddd1222mrrrrr可見，上式中第一項僅為

40、可見，上式中第一項僅為 r 的函數(shù)，第二項與的函數(shù)，第二項與 r 無關。因此，與前無關。因此，與前同理第一項應為常數(shù)。為了便于進一步求解，令同理第一項應為常數(shù)。為了便于進一步求解，令 ) 1(dddd12nnrrrrr0) 1(dd2dd222rnnrrrrrr式中式中n 為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為 1)(nnrdcrrr將此結果代入上式，得將此結果代入上式，得0sinsin) 1(ddsindd2mnn令令 ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)閤cos01) 1(dd)1 (dd222xmnnxxx上式為上式為連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程，其通解為，其通解為第一類連帶勒

41、讓德函數(shù)第一類連帶勒讓德函數(shù) 與與第二類連帶勒讓德函數(shù)第二類連帶勒讓德函數(shù) 之和，這里之和，這里 m n 。 )(pxmn)(qxmn 當當 n 是整數(shù)時，是整數(shù)時， 及及 為有限項多項式。因此，要求為有限項多項式。因此，要求 n 為整數(shù)。為整數(shù)。 )(pxmn)(qxmn 根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當 時，時， 。因此，當場存在的區(qū)域包括因此，當場存在的區(qū)域包括 或或 時，時， ，此時只能取第一，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以，通常令所以，通常令1x)(qxmn01x)(cosp)(p)(mnmnx 那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合)(cosp)( )cossin(),()1(00mnnnnnmnmnmrdrcmbmar 若靜電場與變量若靜電場與變量 無關，則無關，則 m = 0 。那么。那么 稱為稱為第一類勒讓德函數(shù)。此時，第一類勒讓德函數(shù)。此時，電位微分方程電位微分方程的通解為的通解為)(p)(p0 xxnn)(cosp)(),(0)1(nnnnnnrdrcr 例例 設半徑為設半徑為a，介電常數(shù)為，介