1、第37卷第12期2003年12月上海交通大學(xué)學(xué)報JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITYVol.37No.12Dec.2003文章編號:100622467(2003)1221927204柔性多體系統(tǒng)接觸碰撞動力學(xué)研究丁遂亮,洪嘉振(上海交通大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院,上海200030)摘要:用有限元方法對柔性系統(tǒng)的接觸碰撞問題進(jìn)行了數(shù)值仿真計算.以柔性桿與剛塊縱向碰撞為例,建立了接觸碰撞動力學(xué)模型,利用有限元方法建立了接觸碰撞期間的動力學(xué)方程.通過對不同的參數(shù)進(jìn)行大量的數(shù)值仿真,結(jié)果表明,有限元方法能夠仿真在接觸碰撞期間的柔性桿縱向振動的彈性波,碰撞力時間響應(yīng)的數(shù)值解

2、與解析解吻合較好.關(guān)鍵詞:柔性多體系統(tǒng);有限元分析;數(shù)值仿真;柔性桿;接觸碰撞中圖分類號:O313.4;O242.21文獻(xiàn)標(biāo)識碼:ADynamicAnalysisofImpactLoadsinFlexibleMultibodySsDINGSui2Jz(SchoolofCivilEng.andMics,Univ.,Shanghai200030,China)Abstract:Thiscontact2impactproblemsofflexiblesystemswiththeuseoffiniteelement.thelongitudinalcompressiveimpactofaflexibleb

3、eamwitharigidbody.Thecontact2imisanalyzed,andthedynamicsmodelisdispersedwiththefiniteelementanaly2sis.Thedynamicsequationthatgovernsthesystemsisacquired.Theresultsprovethatthetechniqueisabletoidentifytheelasticwavesthattravelalongtheflexiblebeam,andaforcebalanceiscontinuouslymadetoyieldthecontactstr

4、ess.Thenumericalsolutionshowsanexcellentagreementbetweenthenumer2icallyobtainedcontactforcewiththeexactsolution.Also,therelationbetweentheexactsolutionandnumericalsolutionofdifferentmodeswasdiscussed.Keywords:flexiblemultibodysystem;finiteelementanalysis;numericalsimulation;flexiblebeams;contact2imp

5、act柔性多體系統(tǒng)的碰撞現(xiàn)象在工程中經(jīng)常出現(xiàn),如航天飛機(jī)、人造衛(wèi)星的太陽能帆板和天線展開時的關(guān)節(jié)處的碰撞;飛機(jī)著落時,起落架受地面的沖擊;受約束的彈性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)、機(jī)器人受突加載荷和高速運(yùn)動時,運(yùn)動副的間隙、間隙機(jī)構(gòu)、自停機(jī)構(gòu)等對系統(tǒng)響應(yīng)引起的效應(yīng)都是柔性多體系統(tǒng)碰撞的例子.柔性多體系統(tǒng)的碰撞問題實質(zhì)上是柔性多體系收稿日期:2002211227統(tǒng)的動力學(xué)問題.當(dāng)碰撞發(fā)生時,結(jié)構(gòu)發(fā)生局部變形,并隨著波的傳遞使其他地方受到影響,在這個過程中會產(chǎn)生應(yīng)力最大值.預(yù)測接觸碰撞期間的動力學(xué)響應(yīng)非常重要,但到目前為止,還沒有很好的方法.主要難點在于確定碰撞力峰值的大小、確定碰撞接觸面和確定碰撞分離時間.在這個領(lǐng)

6、域的研究中,主要以兩個經(jīng)典的理論為基礎(chǔ).一個是碰撞的St.基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(19832040);教育部博士點基金項目(2000024818)作者簡介:丁遂亮(19792),女,上海人,碩士生,主要研究充液貯箱三維晃動.洪嘉振(聯(lián)系人),男,教授,博士生導(dǎo)師,電話(Tel.):021264088607.1928上海交通大學(xué)學(xué)報第37卷Venant理論,它解決了碰撞期間構(gòu)件中波的傳播問積為A.而集中質(zhì)量的大小為m,初速度為v0.題,另一個是Hertz根據(jù)接觸碰撞處局部變形的情況提出的模型.他認(rèn)為碰撞階段構(gòu)件僅在接觸區(qū)的附近有變形,將該區(qū)域等效于一彈簧和一與彈簧平行的阻尼器,其中彈

7、簧接觸力由Hertz接觸規(guī)律確定.但是該方法對于剛度的取值很難把握.對于用數(shù)值方法來分析柔性多體的接觸碰撞問題,文獻(xiàn)1,2中基于動量守恒定理利用恢復(fù)系數(shù)分析了碰撞的動力學(xué)行為.該方法認(rèn)為碰撞是在瞬間完成的,整個碰撞過程被分為碰撞前、后兩個階段,忽略了接觸碰撞階段,未給出碰撞載荷在該階段的時間歷程.Wu等3提出用子結(jié)構(gòu)法解決柔性體的接觸碰撞問題,認(rèn)為碰撞瞬間速度突變僅發(fā)生在接觸碰撞子結(jié)構(gòu)內(nèi),導(dǎo)出的動力學(xué)方程為高度非線性方程,并對某一具體的柔性體進(jìn)行了試算,但也未給出更為普遍的規(guī)律,而且提出的所取子結(jié)構(gòu)數(shù)目多少與波的傳播速度有關(guān)的假設(shè)也有待驗證.本文采用一般有限元方法來離散接觸碰撞動力學(xué)模型,并以

8、柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)為基礎(chǔ),探討了柔性體的碰撞問題.圖1碰撞系統(tǒng)的拓?fù)銯ig.1Topologyofthebarandrigidbody1.2碰撞階段動力學(xué)方程若只考慮無阻尼多自由度自由振動系統(tǒng),用有限元法4可得到結(jié)構(gòu)的總剛度陣K和總質(zhì)量陣M,代入有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力分析的基本方程,得(1)Md+Kd=0 0:-12-1-12-1(2)11.1力學(xué)模型K=L產(chǎn)生縱向振動.量塊的桿的模型.對碰撞模型作如下一些假設(shè):(1)碰撞的質(zhì)量塊被認(rèn)為是質(zhì)量分布緊密而均勻的剛體,故可假設(shè)彈性波的傳播要比接觸碰撞所持續(xù)的時間快得多;(2)碰撞接觸面近似看成平面、無摩擦,碰撞力在接觸面上均勻分布,碰撞階段桿無塑性變

9、形;(3)柔性桿是個線彈性分布的實體,由泊松比引起的橫向慣性故不作考慮.整個接觸碰撞階段,碰撞系統(tǒng)是一變拓樸結(jié)構(gòu),如圖1所示.碰撞接觸前,桿與質(zhì)量塊為相互無約束的兩個物體(見圖1(a).碰撞接觸期間,質(zhì)量塊與桿的碰撞接觸面具有相同的位移,將此位移協(xié)調(diào)約束條件定義為碰撞約束鉸,此時系統(tǒng)可視為一左端帶有集中質(zhì)量塊的桿(見圖1(b).碰撞分離階段,桿與質(zhì)量塊又為相互無約束的兩個物體(見如圖1(c).因此,在碰撞接觸期間系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)實際上是等價于一左端帶有集中質(zhì)量的柔性桿在一定初始條件下的結(jié)構(gòu)振動的動力學(xué)響應(yīng).此時接觸碰撞的力學(xué)模型可簡化為:一左端帶有集中質(zhì)量的柔性桿,它的楊氏模量為E,密度為,桿

10、長為L,橫截面2c+mcM=c-12-1-14ccc4ccc4ccc4為彈性波在桿中縱向傳播6n的速度;n為節(jié)點自由度數(shù)目.因此,式(2)是關(guān)于的n次代數(shù)方程,由此方程可求出結(jié)構(gòu)的n個固有振動頻率(或稱自振頻率),并對應(yīng)有n個振型.均為n階方陣;c=2初始條件、碰撞時間的確定為了解方程(1)必須確定接觸碰撞的初速度.根據(jù)St.Venant原理,在接觸碰撞的瞬時,僅在接觸的鄰近區(qū)域有速度變化,其他區(qū)域基本不受影響.因此,假設(shè)在接觸的瞬時桿的第1個節(jié)點突然獲得與質(zhì)量塊同樣的速度,即初速度v0.同樣,為了解方程(1)還必須確定碰撞時間,引入兩個判據(jù):第12期丁遂亮,等:柔性多體系統(tǒng)接觸碰撞動力學(xué)研究

11、1929(1)柔性桿在自由端的界面應(yīng)力.接觸碰撞前,自由端的界面應(yīng)力為零;在接觸碰撞期間,自由端的界面應(yīng)力一直為壓應(yīng)力;接觸碰撞后,自由端的界面應(yīng)力又變?yōu)榱?用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為(0,t)=0t=0,ttc(3)(0,t)00ttc式中:(0,t)為自由端界面應(yīng)力,即系統(tǒng)用有限元離散后第1個節(jié)點的應(yīng)力;tc為碰撞結(jié)束時間.當(dāng)數(shù)值解第1個節(jié)點的應(yīng)力由負(fù)轉(zhuǎn)正時,可認(rèn)為碰撞結(jié)束.但由于數(shù)值解的精確度還未知,故有如下判據(jù).(2)第1節(jié)點的位移函數(shù)d(0,t).如圖1(b)所示,以x軸的正向為正向,當(dāng)?shù)?節(jié)點的位移函數(shù)d(0,t)為遞增函數(shù)時,即第1節(jié)點的位移d(0,t)沿.只有第x軸的方向增加時,碰撞兩

12、物體不可能分離1節(jié)點的位移函數(shù)d(0,t)為遞減函數(shù)時,碰撞兩物的Newmark方法5.已經(jīng)證明當(dāng)=0.5,=0.25時,Newmark方法是無條件穩(wěn)定的,即時間步長t的大小不影響解的穩(wěn)定性.本文采用了彈性波在每一段單元中縱向傳播周期的1 10為t,即(5)t=10nC式中,C與桿的楊氏模量E和桿的密度有關(guān),即C=E .用Newmark方法可解出每一節(jié)點的位移、速度和加速度.而根據(jù)協(xié)調(diào)條件,第1個節(jié)點的加速度與集中質(zhì)量塊的加速度應(yīng)相等.根據(jù)牛頓第二定理可得接觸碰撞力的大小.3.1頻率的數(shù)值解與解析解的比較假定桿長L=2m,截面面積A=1cm2,=100kg m3,剛塊質(zhì)量與桿的質(zhì)量比=(m A

13、L),表1比較了有限單元數(shù)N為10,50,100,150時數(shù)值解和解析解在不同E、系統(tǒng)的前三體才可能分離.因此,引進(jìn)的判據(jù)(2)是在判據(jù)(1)滿足的前提下,同時第1節(jié)點的位移函數(shù)d(0,t)需滿足:(4)d(0,t+t)-d(0,t)0這時才可被認(rèn)為碰撞結(jié)束.階頻率.1可見,N.N,和的大小無關(guān).3.3數(shù)值計算與結(jié)果討論在求解動力學(xué)方程(1).剛塊以速度00.1m s在t0=0s時刻與桿縱向碰撞,集中質(zhì)E、條件下,前三階頻率數(shù)值解與解析解的比較.1ThefirstthreeorderfrequenciesvsE,Tab不同條件E=0.1MPa解析解13.60354.164101.79136.0

14、3541.641017.968.438506.60998.54數(shù)值解N=10N=50N=100N=15013.60454.390103.46136.04543.901034.668.438508.671015.013.60354.173101.85136.03541.731018.568.438506.67999.1213.60354.166101.80136.03541.661018.068.438506.61998.6313.60354.164101.79136.03541.641017.968.438506.60998.54=1E=10MPa=1E=10MPa=5量塊與桿的質(zhì)量比為1.圖

15、2給出了當(dāng)E=10MPa,N為10,50,100時,碰撞力F隨時間t的變化曲線.圖3給出了當(dāng)E=10MPa時,第1節(jié)點的位移d在碰撞階段隨時間t變化的曲線.圖4分別給出了當(dāng)E=1GPa,N為10,50,100時,碰撞力F隨時間t的變化曲線.由圖2和圖4可見,兩個峰值反映了碰撞開始瞬時以及從固定界面產(chǎn)生的反射應(yīng)力波到達(dá)碰撞接觸面時的碰撞力峰值,說明有限元方法能夠較好地描述應(yīng)力波的傳播現(xiàn)象.E=10MPa,=1圖2碰撞力隨時間的變化曲線1930上海交通大學(xué)學(xué)報第37卷Fig.2Timehistoryofthecontactforce提出用子結(jié)構(gòu)法解決柔性體的接觸碰撞問題時,不能確定子結(jié)構(gòu)數(shù)取多少的

16、問題.(3)即使有限元單元數(shù)取得很大,碰撞力時間響應(yīng)的數(shù)值解在反射應(yīng)力波到達(dá)碰撞接觸面時的峰值仍要比精確解的峰值來得小,而且在反射應(yīng)力波到達(dá)碰撞接觸面之前,會出現(xiàn)一些不真實的波動.這是因為柔性桿是一個連續(xù)體,它的縱向振動的自由度是無限的,而把柔性桿用有限元離散化后,就轉(zhuǎn)化成了有限的多自由度系統(tǒng)問題,這就導(dǎo)致了系統(tǒng)的剛度增加.系統(tǒng)的剛度越大,則被系統(tǒng)吸收的動能越少.因此,碰撞力時間響應(yīng)的數(shù)值解在反射應(yīng)力波到達(dá)碰撞接觸面時的峰值仍要比精確解的峰值來得小.參考文獻(xiàn):1Rismantab2SangJ,AA.Ontheuseofthemomentumbalanceimpactanalysisofcon2

17、J.ofVibrationand,1990,126.ighAUlsoyAG,ScottRA.DynamicsofarotatingbeamwithimpactJ.JournalofE=1GPa,=E=10MPa,=1圖3第1節(jié)點位移隨時間的變化曲線Fig.3TimehistoryofdisplacementofthefirstnodeVibrationandAcoustics,1990,112:65-70.3WuSC,HuangEJ.Asubstructuretechniquefordynamicsofflexiblemechanicalsystemswithcon2tact2impactJ.JournalofMechanicalDesign,1990,112(9):390-398.4沈鵬程.結(jié)構(gòu)力學(xué)中的有限元法M.北京:水利電力圖4Fig.4rycontactforce4結(jié)論(1)可以用有限元來離散系統(tǒng),從而研究柔性多體系統(tǒng)的接觸碰撞問題.(2)有限元單元數(shù)N取得越大,碰撞力時間響應(yīng)的數(shù)值解與精確解越接近.這就避免了Wu等3出版社,1989.5凌復(fù)華,殷學(xué)綱,