1、第十三講剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)問題一 競(jìng)賽內(nèi)容提要1剛體；2、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)；3、剛體的角速度和角加速度；4、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；5、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系和剛體的角動(dòng)量；6、轉(zhuǎn)動(dòng)定理和角動(dòng)量定理；7、角動(dòng)量守恒定律。二競(jìng)賽擴(kuò)充的內(nèi)容1、剛體：在外力的作用下不計(jì)形變的物體叫剛體。剛體的基本運(yùn)動(dòng)包括剛體的平動(dòng)和剛體繞定 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)均可由這兩種基本運(yùn)動(dòng)組合而成。2、剛體的平動(dòng)；剛體的平動(dòng)指剛體內(nèi)任一直線在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行，剛體上任意兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的 位移、速度和加速度始終相同。3、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)指剛體繞某一固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上各點(diǎn)都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)， 各

2、點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角位移 、角速度3和角加速度3相同（可與運(yùn)動(dòng)學(xué)的s、v、a進(jìn)行類比）且有:AGAgo1機(jī)可；3円可。當(dāng)3為常量時(shí)，剛體做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，類似于勻加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)有:23 = 3 0+ 3 t ；= 0+ 3 0t+ 3 t /2；3 2- 3 02=2 3 （一0）。式中，0、3 0分別是初始時(shí)刻的角位移和角速度。對(duì)于繞定軸運(yùn)動(dòng) 的剛體上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，有：v= 3 R, aT= 3 R, an=3 2R=v2/R,式中，R是該點(diǎn)到軸的距離，an分別是切向加速度和法向加速度。例1 有一車輪繞輪心以角速度 3勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，輪上有一小蟲自輪心沿一根輻條向外以初速度V0、加速度a作勻加速爬行，求

3、小蟲運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。例2 一飛輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)過的角度 B和時(shí)間t的關(guān)系式為：0 =at+bt2 ct3,式中，a、b、c 都是恒量，試求飛輪角加速度的表示式及距轉(zhuǎn)軸r處的切向加速度和法向加速度。例3如圖所示，頂桿 AB可在豎直槽K內(nèi)滑動(dòng)，其下端由凸輪 繞O軸以勻角速度3轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示瞬間， OA=r,凸輪輪緣與 法線n與OA之間的夾角為a，試求此瞬時(shí)頂桿 OA的速度。例4人在電影屏幕上看到汽車向前行駛，車輪似乎并沒有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則汽車運(yùn) 動(dòng)的可能的最小速度是多少？已知電影每秒鐘放映24個(gè)畫面，車輪半徑為0.5m.例5在水平路面上勻速行駛的拖拉機(jī)前輪直徑為0.8m，后輪直徑為1.25m，兩輪的軸的

4、距離為 2m，如圖所示，在 行駛過程中，從前輪邊緣的最高點(diǎn) A處水平飛出一小石塊， 0.2s后后輪邊緣的最高點(diǎn) B處也水平飛出一小石塊，這兩 塊石塊先后落在地面上同一處，求拖拉機(jī)行駛時(shí)速度的大 小。例6如圖所示，由兩個(gè)圓球所組成的滾珠軸承內(nèi)環(huán)半徑為R2，外環(huán)半徑為r1，在兩環(huán)之間分布的小球半徑為r。外環(huán)以線速度 1順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，而內(nèi)環(huán)則以線速度 v2順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小球中心在圍繞圓環(huán)的中心順時(shí)針 轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v和小球自轉(zhuǎn)的角速度 3。設(shè)小球與圓環(huán)間無(wú)滑動(dòng)。vRRi例7 一木板從空中下落，某時(shí)刻，板上 a、b兩點(diǎn)速度相同，va=vb=v, a、b兩點(diǎn)均位于板面上, 同時(shí)還發(fā)現(xiàn)板上 c點(diǎn)速度

5、為2v, c點(diǎn)到a和b兩點(diǎn)的距離等于 a和b兩點(diǎn)間的距離。問板上那些 點(diǎn)的速度等于3v ?4、力矩（1）對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)軸過 O點(diǎn)并垂直于紙面，過P點(diǎn)的力F對(duì)O軸的力矩M=Fr。其中，r為力臂。：r= p sin 0 , M=Fsin 0 p。即，F(xiàn)對(duì)軸O的力矩，等于 F垂直于 OP連線的分力F e與OP的積：M=Fp。F當(dāng)力的作用線不在垂直于軸的直線上時(shí)， 可將力F分解為平行于軸的分量 巳 和垂直于軸的分量 F丄，其中，巳對(duì)物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)沒有貢獻(xiàn)， F丄就是F在垂 直于軸的平面上的投影，此時(shí)， F對(duì)軸的力矩可寫成： M= F丄p sin 0。（2）對(duì)參考點(diǎn)的力矩如圖，F(xiàn)對(duì)0點(diǎn)的力矩M

6、=Fsin 0 p。5、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量如右下圖，質(zhì)點(diǎn) m對(duì) 點(diǎn)0的角動(dòng)量L=r Xp=r psin 0 =mv - r sin 0 ,角 動(dòng)量又叫做動(dòng)量矩（與力矩類比）。同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同的參考點(diǎn)的角動(dòng)量 是不同的。特別地，當(dāng) p丄r時(shí)，角動(dòng)量L=mvr。6、質(zhì)點(diǎn)系（或剛體）的角動(dòng)量I是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（I的數(shù)值不即各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的總和， L=刀imvi= （ Emiri2） « =I 3。其中, 要求會(huì)計(jì)算）。質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：I=mr2, r是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。7、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 中，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的大?。簩鵘體的動(dòng)能包括質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能（EK=mv2/2 ）和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，其2 2 2 2Ek

7、= E miVi/2=1/2 （E mi ） 3 = （1/2） I 3。8剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本規(guī)律（1）力矩M和角加速度B的關(guān)系 M=l 3 （類比于F=ma）; （2）合力矩做的功和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 的關(guān)系 W=F S=F r 0 =M 0 = （1/2） I 3 f（ 1/2） I 3。2 （與動(dòng)能定理類比）。（2） 質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系或剛體的角動(dòng)量定理L= Emiviri （若是質(zhì)點(diǎn)則不用E符號(hào)），U L/"t= E" L/"t= E（ Fi + fi） ri，式中，F(xiàn)i表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的外力，fi表示該質(zhì)點(diǎn)受到的系統(tǒng)內(nèi)力。內(nèi)力矩為零，" L/"

8、; t= E Firi=M外，即M外"t=Lt L。（與動(dòng)量定理類比）。角動(dòng)量定理可寫成分 量式。（3）質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系或剛體的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)M外=0時(shí)，L=恒量（與動(dòng)量守恒類比），即系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。其中，M外=0有以下三種情況：（i）體系不受外力，即 Fi=o （合外力為零工合力矩為零，如力偶矩的情況）；（ii）所有外力都通過定點(diǎn)（這種外力叫有心力，如衛(wèi)星所受的萬(wàn) 有引力），盡管外力的矢量和不為零，但每個(gè)外力的力矩都為零；（iii）每個(gè)外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。a ,.一m，1“0例8、質(zhì)量為m,長(zhǎng)為I的均質(zhì)細(xì)桿，繞著過桿的端點(diǎn)且與桿垂直的軸以角速度3轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能

9、和相對(duì)端點(diǎn)的角動(dòng)量的大小分別為Ek=I 3 2/2, L=I 3，其中，I=ml 2/3，現(xiàn)將此桿從水平位置由靜止釋放，設(shè)此桿能繞著過A的固定光a滑細(xì)軸擺下，當(dāng)擺角從 0達(dá)0時(shí)，試求：（1）細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 3和角加速度3 ； （2）固定光滑 細(xì)軸為桿提供的支持力。例9、質(zhì)量為M,半徑為R的均質(zhì)圓盤，繞過圓心且與圓盤垂直的軸以角速 度3旋轉(zhuǎn)時(shí)的角動(dòng)量大小為 L=I 3 ,其中，I=MR 2/2，如圖，細(xì)繩質(zhì)量可忽略, 繩與圓盤間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪與軸之間無(wú)摩擦，mj>m2,試求物體運(yùn)動(dòng)的加速度。例10、在光滑的水平面上，兩個(gè)質(zhì)量分別為 mi和m2的小球，用長(zhǎng)為I的輕線連接，開始時(shí), 線正好

10、拉直，m1和m2的速度分別為v1和v2 （v1> v2）,它們的方向相同，并垂直于連線，試求：系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為多大？ （2）線中的張力為多大？例11、如圖所示，在光滑水平面上，質(zhì)量均為M的兩小球用長(zhǎng)為I的輕桿相連，另一質(zhì)量為 m的小球以v0的速率向著與桿成 0角的方向運(yùn)動(dòng)，若（1）碰后m以Vo/2的速率沿原路線反彈， 試求碰后輕桿系統(tǒng)繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3。（2）若M=m，且0 =45。,小球m以某一速率Vo與桿上一球發(fā)生彈性碰撞后，沿垂直于原速度 的方向運(yùn)動(dòng)，如圖虛線箭頭所示方向，求碰后小球的速度及輕桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。例12、一質(zhì)量m=1 .40 >104kg的登陸飛

11、船，在離月球表面高度 h=100km處 繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于圖中A點(diǎn)時(shí)，它向外側(cè)（即沿 OA方向）短時(shí)間噴氣，使飛船與月球相切地到達(dá)B點(diǎn)，且OA丄OB，試求飛船到達(dá)月球表面時(shí)的速度。已知月球半徑R=1700km，月球表面的重力加速度為 g=1.62m/s2。B'AAR例13、如圖，一長(zhǎng)為 L,質(zhì)量為m的均質(zhì)棒被兩根細(xì)線水平懸掛在天花板 上，某時(shí)刻，右邊的線斷了，問線斷瞬間，左邊線中的張力是多大？已知棒 繞其一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量l=ml 2/3。例14、一顆衛(wèi)星沿橢圓軌道繞地球運(yùn)行，在近地點(diǎn)，衛(wèi)星與地球中心的距離為地球半徑的3倍,衛(wèi)星的速度為在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)速度的4倍，

12、求在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)衛(wèi)星與地球中心的距離為地球半徑的多少倍。例15、兩個(gè)質(zhì)量均為 m的小球，用長(zhǎng)為I的繩子連接起來，放在一光滑的水平桌面上，給其中一個(gè)小球以垂直于繩子方向的速度V。，如圖所示，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)|規(guī)律和繩中的張力大小。IA例16、小滑塊A位于光滑的水平桌面上， 小滑塊B位于桌面上的光滑小槽 中，兩滑塊的質(zhì)量都是 m，并用長(zhǎng)為I、不可伸長(zhǎng)的、無(wú)彈性的輕繩相連， 如圖所示，開始時(shí)，A、B間的距離為I/2，A、B間的連線與小槽垂直，今給滑塊A 一沖擊，使其獲得平行于槽的速度Vo,求滑塊B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。例17、如圖所示，質(zhì)量均為 m的兩小球系于輕彈簧的兩端，并置于光滑水平桌面 上彈簧原長(zhǎng)為a，

13、勁度系數(shù)為k。今兩球同時(shí)受沖力作用，各獲得與連線垂直的等 值反向的初速度，若在以后運(yùn)動(dòng)過程中彈簧的最大長(zhǎng)度b=2a，求兩球的初速度V。錐頂 h高處以一定初速度沿內(nèi)壁水平射出 冒的。（1）為使小球在h處的水平面上做（2）若初速 w=2vo，求小球在運(yùn)動(dòng)過程中例18、在半頂角為a的圓錐面內(nèi)壁離錐頂 一質(zhì)量為m的小球，設(shè)錐面內(nèi)壁是光滑的。 勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則初速 vo為多少？（ 2） 的最大高度和最小高度。例19、（ 1）質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星作半徑為 r0的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為 M，試求衛(wèi)星的總 機(jī)械能；（2）若衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)中受到微弱的磨擦阻力f （常量），則將緩慢地沿一螺旋軌道接近地球，因f很小，軌

14、道半徑變化非常緩慢，每周的旋轉(zhuǎn)都可近似處理成半徑為r的圓軌道運(yùn)動(dòng)，但 r將逐周縮短，試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量"r及衛(wèi)星動(dòng)能Ek的改變量"Ek。例20、圖中a為一固定放置的半徑為R的均勻帶電球體，O為其球心，已知取無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零時(shí)，球表面處的電勢(shì)為 U=1000V。在離球心O很遠(yuǎn)的O'點(diǎn)附近有一質(zhì)子 b，它以EK=2000eV的動(dòng)能沿與 O' O . I平行的方向射向a,以L表示b與O' O線間的垂直距離。1 要使質(zhì)子b能夠與帶電球體 a的表面相碰，試求 L的最大值。把質(zhì)子換成電子，再求L的最大值。例21、由火箭將一顆人造衛(wèi)星送入離地面很

15、近的軌道，進(jìn)入軌道時(shí)，衛(wèi)星的速度方向平行于地i面，其大小為在地面附近做圓運(yùn)動(dòng)的速度的3/2倍，試求該衛(wèi)星在運(yùn)行中與地球中心的最遠(yuǎn)距離。例22,如圖所示，在水平光滑平面上開有一個(gè)小孔，一條繩穿過小孔，其 兩端各系一質(zhì)量為 m的物體，桌上的物體則以 vo=3 2gr0 2的速率做半 徑為ro (即桌上部分的繩長(zhǎng))的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后放手，求以后的運(yùn)動(dòng) 中桌上部分繩索的最大長(zhǎng)度和最小長(zhǎng)度。例23, 一塊半徑為 R的水平輕質(zhì)圓盤，可繞過其圓心 0的豎直軸自由旋 轉(zhuǎn)，在圓盤下面的邊緣處等間隔地系有四個(gè)質(zhì)量都為m的小球，如圖所示。開始時(shí)，圓盤靜止，一輛質(zhì)量也為 m的玩具汽車從 0出發(fā)，以恒定 的相對(duì)于盤的

16、速率 vo沿半徑駛往盤邊，并沿盤邊行駛，試求：(1)當(dāng)玩具汽車沿半徑行駛時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度3 1； (2)當(dāng)玩具汽車沿盤邊行駛時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度3 2。例24，若上題中的豎直軸不經(jīng)過圓心，而經(jīng)過某一小球的位置處，玩具汽車從該軸處以恒定的相對(duì)于圓盤的速率 V。沿盤邊行駛，試求：(1)當(dāng)玩具汽車行駛到第二小球位置處(即行駛了半圈)時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度3 1； ( 2)當(dāng)玩具汽車行駛到第三小球位置處(即行駛了 3/4圈)時(shí),圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 3 2； (3)當(dāng)玩具汽車回倒轉(zhuǎn)軸處時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度3 3°例25,在一根長(zhǎng)為3L的輕桿上打一個(gè)小孔，孔離一端的距離為L(zhǎng),再在桿的兩端及距另一

17、端為L(zhǎng)處各系一質(zhì)量為 M的小球，然后通過此孔將桿懸掛于一光滑的 水平細(xì)軸O上，如圖所示。開始時(shí)，輕桿靜止，一質(zhì)量為m的小鉛粒以vo的水平速度射入中間的小球，并留在里面。若鉛粒相對(duì)小球靜止時(shí)桿的角位移可以忽 略，試求桿在以后擺動(dòng)中的最大擺角。 vo mTL:LM例26, 質(zhì)量為Ma,半徑為a的圓筒A被另一質(zhì)量為 Mb、半徑為b的圓筒B同軸套在其外， 均可繞軸自由旋轉(zhuǎn)。 在圓筒A的內(nèi)表面上散布了薄薄的一層質(zhì)量為M0的砂子，并在壁上開有許多小孔。在t=0時(shí)，圓筒以角速度 3 0繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而圓筒 B則靜止。打開小孔，砂子向外飛 出并附著在B筒的內(nèi)壁上，如圖所示。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)噴出砂子的質(zhì)量為k，并忽略砂子從 A筒飛到B筒的時(shí)間，求t時(shí)刻兩筒旋轉(zhuǎn)的角速度。B例27,光滑水平面上有一小球 A被一輕繩拴住，輕繩穿過平面上小孔0與小球B連接。開始時(shí)A球在水平面上繞 0做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，B球靜止地 向下垂掛著，如圖所示。今使小球B的質(zhì)量緩慢增加，直到 A球繞0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑縮短一半，試問此時(shí)B球質(zhì)量為初始質(zhì)量的多少3 c倍？例28,實(shí)心圓柱體從高度為 h的斜坡上由靜止做純滾動(dòng)到 達(dá)水平地面上，且繼續(xù)做純滾動(dòng)，與光滑豎直墻發(fā)生完全彈性 碰撞后