1、導數結合洛必達法則”巧解恒成立問題第一部分：歷屆導數高考壓軸題年全國2理設函數f(x) = (x+ 1) ln(x + 1),若對所有的x0都有f(x) x成立，求實數a的取值范圍.全國1理已知函數f1 X ax e1 X(I)設 a0，討論y f X的單調性;(n)若對任意X0,1恒有f X 1，求a的取值范圍.全國1理設函數f(X)ex(I)證明:f(x)的導數 f(X) 2 ；(n)若對所有X 0都有f(X) ax ,求a的取值范圍.全國2理設函數f (X) sinx2 cosx(I)求f(X)的單調區(qū)間;(n)如果對任何 X 0 ,都有f(X)0時f(X)0,求a的取值范圍新課標文已知

2、函數f(x) x(e 1) ax2.(I)若f (x)在 x1時有極值，求函數f (x)的解析式;(n)當x 0時,f(x) 0，求a的取值范圍.全國大綱理設函數f (x)1(I)證明：當1時,(n)設當xf(x)-xx?1求a的取值范圍.ax新課標理已知函數f (x)(I)求 a、aln Xx 1b的值；b，曲線xf(x)在點(1,f(1)處的切線方程為x 2y 30.(”n)如果當x 0，且x 1時,f (x) k求k的取值范圍.x 1x10.自編自編：若不等式sinx x ax3對于x (0)恒成立，求a的取值范圍.第二部分：新課標高考命題趨勢及方法1. 新課標高考命題趨勢近年來的高考數

3、學試題逐步做到科學化、規(guī)范化，堅持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數學作為基礎學科的作用，既重視考查中學數學基礎知識的掌握程度，又注重考查進入高校繼續(xù)學習的潛能。 為此，高考數學試題常與大學數學知識有機接軌，以高等數學為背景的命題形式成為了熱點.2. 分類討論和假設反證許多省市的高考試卷的壓軸題都是導數應用問題，其中求參數的取值范圍就是一類重點考查的題型.這類題目容易讓學生想到用分離參數法，一部分題用這種方法很奏效，另一部分題 在高中范圍內用分離參數的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路一一分類討論和假設反證的方法.3.洛必達法則0-型及一型函數未定式的一種解法0雖然這些壓軸題

4、可以用分類討論和假設反證的方法求解，但這種方法往往討論多樣、過于繁雜，學生掌握起來非常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數的方法不能解決這部分問題的原因是出現(xiàn)了 0”型的式子，而這就是大學數學中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是 洛必0達法則.第三部分：洛必達法則及其用法1.洛必達法則洛必達法則：設函數f(x)、g(x)滿足:()lximaf(x) IXmag(x) 0 ；(2 )在 Uo(a)內，f(X)和g (X)都存在，且g (X)0 ；limA(3) x a g(X)(A可為實數，也可以是).f(X)則 f IXma g (X)A.(可連環(huán)使用)注意 使用洛必達法則時, 求極限得最值。新課

5、標理的常規(guī)解法已知函數f (X) alnx是對分子、分母分別求導，而不是對它們的商求導，求導之后再(I)求 a、X 1b的值；-，曲線Xy f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為 X 2y 30.(”n)如果當X 0，且X 1時,f(X)In X(I)略解得(n)方法一：分類討論、假設反證法由(I)知 f (X)X 1f(X)In X(x 1-)X7-2 (2ln X1 X(k 1)(x2 1)考慮函數h(x) 2ln X(k 1)(x2 1)(x 0),則 h(x)(k 1)(x21) 2x(i)當 k 0 時，由 h(x)2 2k(x u(x 知,h(x)0 .因為 h(1)0 ,0,可

6、得2 h(x)1 X0 ;當X(1,)時，h(x) 0,可得0且X1 時，f (x)(In X0 ,朗一、In X 即 f(x)k X 1XX 1XX(1,-丄)時，(k1)(x21)2x0 ,故 h(x)0，而當X 1時,所以當X (0,1)時，h(x)(ii)當0 k 1時，由于當0，與題設矛盾.X212 h(x) 0，從而當X1 X1h(1)0,故當 X (1,)時，h(x) 0,可得-1 k11h(x)X(iii)當 k 1 時，h(x)0，而 h(1)0，故當 x (1,)時，h(x) 0，可得12 h(x) 0，與題設矛盾1 x注：分三種情況討論：.綜上可得，k的取值范圍為(，0.

7、k 0 ，Ok 1 :k 1不易想到尤其是0 k 1時,1許多考生都停留在此層面，舉反例x (1,丄)更難想到.而這方面根據不同題型涉及的解法1 k也不相同，這是高中階段公認的難點，即便通過訓練也很難提升.3.運用洛必達和導數解2011年新課標理ln xx 12xln x1 x2當x 0，且x1 時，f(x)也即k1，記 g (x)1In xxx 12xln x則 g (x)2(x22 21)1 nx 2(1 x2)_2(x2 1)“ 22(1 x )(1xv(lnx丄) x2 1)，記 h( x)In x2x，則 h(x)11+ 一x (1+x2)2x(1+x2)24x(122x) 0，從而

8、h(x)在(0,)上單調遞增,且 h(1)0,因此當x (0,1)時,h(x) 0,當 x (1,)時，h(x) 0 ;當 x (0,1)時，g(x) 0，x (1,)時，g(x)0，所以 g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增.由洛必達法則有l(wèi)im g (x) lim(X 1x 12xln xx21 lim 2x 1 2x即當x 0,且x1時,g(x) 0 .因為k g(x)恒成立，所以k 0 .綜上所述，當x 0，k成立，k的取值范圍為(x 1 x注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數且 x 1 時，f (x),0.k分離出來.然后對分離出來的函數g(x) 空丄x 1

9、求導，研究其單調性、極值1 x此時遇到了“當x=1時，函數g(x)值沒有意義”這一問題，很多考生會陷入困境.如果考前對優(yōu)秀的學生講洛必達法則的應用，再通過強化訓練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.當然這一法則出手的時機：(1)所構造的分式型函數在定義域上單調(2)是0型。04. 運用洛必達和導數解2010新課標理設函數 f (x) e自編：若不等式sinx x ax3對于 1 x ax2.(I)若a 0,求f(x)的單調區(qū)間;(n)當 x 0時，f(x) 0,求a的取值范圍.應用洛必達法則和導數(n)當 x 0時，f(x) 0，即 ex 1 xax2.當x0 時，a R ；當x0 時，ex2

10、x ax等價于ax.e1x2x記 g(x)x .e 1x2x(0,+)，則 g (x)(x 2)ex x 2x3記 h(x)(x 2)ex2 x (0,+ ),則 h(x) (x 1)ex當 x (0,+ )時，h (x)xex 0，所以h(x) (x 1)ex 1在(0,+ )上單調遞增，且h(x)h(0)0 ,所以h(x) (x 2)e x 2在(0,+ )上單調遞增，且h(x) h(0)0 ,因此當x (0,+ )時，g(x)唱x0,從而g(x)ex1 x2一 在(0,+ )上單調遞增.x由洛必達法則有,l!m0g(x)xm0x .e 1X2xxlim e一X 0 2xxlim x 0

11、2即當x0時,綜上所述,1g(x)-，所以當x21且 x 0 時，f (x)2)時，所以g(x) 1，因此a -2 20成立.5. 運用洛必達和導數解自編題(0,)恒成立，求a的取值范圍.解：應用洛必達法則和導數當x(0,2)時，原不等式等價于ax sin xx3 x si nx 上、 3sin X xcosx 2x 記 f (x)，則 f (x)x記 g(x) 3sin X xcosx 2x，貝U g(x) 2cosx xsinx 2.因為 g (x) xcosx sinx cosx(x tanx),g(x) xsinx 0 ,所以 g(x)在(0,)上單調遞減，且 g(x)0 ,所以g(x

12、)在(0,-)上單調遞減，且 g(x)0.因此g(x)在(0,-)上單調遞減,且 g(x) 0，故 f(x)啤 0，因此xf(x)x sin x在(0)上單調遞減.由洛必達法則有l(wèi)xm0f(x)x sinx limx 0x3limoosxx 03x1 2lim沁x 0 6xlimcosxx 0 6即當x0時,g(x)x (0,)恒成立.2010年新課標文已知函數xf(x) x(e 1)2 ax .(I)若(n)當x 0時，f(x) 0，求a的取值范圍.f (x)在x 1時有極值，求函數f (x)的解析式;解: (I)略(n)應用洛必達法則和導數當 x 0時，f(X)0，即 x(ex 1) ax

13、6通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應用洛必達法則解決的試題應滿足: 可以分離變量； 用導數可以確定分離變量后一端新函數的單調性； 出現(xiàn)“ 0”型式子.06. 運用洛必達和導數解2010海南寧夏文(21).當x 0時，a R ；當x0 時，x(ex 1)ax2等價于ex 1 ax，也即a記 g(x)ex 1x (0,x)，則g(x)區(qū)上記 h(x)(x 1)ex1, xx(0,)，則 h(x) xe 0,因此 h(x) (x1)ex 1 在(0,)上單調遞增，且h(x)h(0)0,所以 g(x)凹 0,從而 g(x)1在(0,)上x單調遞增.由洛必達法則有l(wèi)im g (x) limX 0x 0e

14、x 1即當x 0時，g(x)所以g(x) 1，即有a1.綜上所述，當a 1 , x0時，f(x) 0成立.7.運用洛必達和導數解2010年大綱理2010全國大綱理(22)設函數f (x)(I)證明：當1時,(n)設當x0時,f(x)f(x)-xxax 1求a的取值范圍.解: (I)略(n)應用洛必達法則和導數由題設x 0，此時f(x) 0.當0時，若xax0, f (x)ax當0時，當0時,f(x)，即1ax 1X -不成立;1x _ ；1ax0，則a0，則1等價于ax 1，即ax 1x xexexxe xx、 / 、 xe記g(x) xexxe x1，則 g(x)xx .! 2e 12x 2

15、 :e X e/X 2(xe x)xez x 2 cx x2(e x 2 e ).(xex x)記 h( x) exx2 2 e x，則 h(x)ex 2x e,h(x) ex+e x 20因此，h(x)ex 2x e x在(0,)上單調遞增,且 h(0)0,所以 h(x)0,即 h(x)在(0,)上單調遞增，且h(0)0，所以h(x) 0.因此 g(x)=(xex x)Xe汕(X)所以g(x)在(0,)上單調遞增.由洛必達法則有戈叫曲)x x .xe e 1 limxX 0 xe xlim =x 0 exxxex 7xe 1lxm0 2exxe xexxi xe1丄，即當x 0時,2g(x)

16、 128.運用洛必達和導數解設函數f (x) sinX2 cosx，即有g(x)122008年全國2理所以a2 綜上所述，a的取值范圍是(.(I)求f(X)的單調區(qū)間;(n)如果對任何x 0，都有f (X) ax，求a的取值范圍.解：(I) f(x)當2k n當2k n2n32n32k n2k n因此f (x)在每一個區(qū)間2(2 cos x)2 -(2 cosx)(k Z )時，cosx12，即 f (X)0 ；(k Z )時，cosx1-,1 卩 f(X)0 .22n2n,2k nn ( kZ )是增函數，(2 cosx)cosx sin x( sin x)2cos x 12k332n34 n3f(x)在每一個區(qū)間2k7C2 n一,2k n3(kZ )是減函數.(n)f(x)應用洛必達法則和導數sin x20,ax cosx 則a R ；則 sin X2 cosxax等價于asin X口，即 g(x)sin xg(x)x(2 cosx)x(2 cosx)2xcosx 2sin X sin xcosx x2 2x (2 cosx)記 h(x) 2xcosx 2sinx sinxcosx x ,h(