1、將軍飲馬模型“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)模型 1：直線與兩定點(diǎn)模型A作法結(jié)論AlBPBlPA PB 的最小值為AB當(dāng)兩定點(diǎn) A、B 在直線 l 異側(cè)時(shí)， 在直線 l 上找一點(diǎn) P，使 PA PB 最小連接 AB 交直線 l 于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求作的點(diǎn)BAl當(dāng)兩定點(diǎn) A、B 在直線 l 同側(cè)時(shí)， 在直線 l 上找一點(diǎn) P，使得 PA PB 最小BAlPPA PB 的最小值為AB'B'作點(diǎn) B 關(guān)于直線l

2、 的對稱點(diǎn) B'，連接 AB'交直線 l 于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求作的點(diǎn)AABBlPA PB 的最大值為 ABPl當(dāng)兩定點(diǎn) A、B 在直線 l 同側(cè)時(shí)， 在直線l 上找一點(diǎn) P，使得 PAPB 最大連接 AB 并延長交直線l 于點(diǎn) P，點(diǎn) P即為所求作的點(diǎn)AAB'lPlPA PB 的最大值為 AB'BB當(dāng)兩定點(diǎn) A、B 在直線 l 異側(cè)時(shí)， 在直線作點(diǎn) B 關(guān)于直線 I 的對稱點(diǎn) B'，連接 AB'l 上找一點(diǎn) P，使得 PAPB 最大并延長交直線l 于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求作的點(diǎn)AABBlPlPA PB 的最小值為 0當(dāng)兩定點(diǎn) A、B 在直

3、線 l 同側(cè)時(shí)， 在直線l 上找一點(diǎn) P，使得 PAPB 最小連接 AB，作 AB 的垂直平分線交直線 l于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求作的點(diǎn)模型實(shí)例例 1：如圖，正方形 ABCD 的面積是 12， ABE 是等邊三角形，點(diǎn)E 在正方形 ABCD 內(nèi)，在對角線AC 上有一點(diǎn) P，則 PD PE 最小值是ADADPEEPBCBC解答：如圖所示，點(diǎn)B與點(diǎn) D關(guān)于 AC對稱，當(dāng)點(diǎn) P 為 BE 與 AC 的交點(diǎn)時(shí)， PD PE 最小，且線段 BE 的長正方形 ABCD 的面積為12，其邊長為 2 3 ABE 為等邊三角形，BE AB 23 PD PE 的最小值為2 3 例 2：如圖，已知 ABC 為等腰

4、直角三角形，AC BC4， BCD 15°，P 為 CD 上的動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的最大值是多少？AAPCBDPCBA'解答：如圖所示，作點(diǎn)A 關(guān)于 CD 的對稱點(diǎn)A，連接 AC，連接 AB 并延長交 CD 于點(diǎn) P，則點(diǎn) P 就是 PAPB的值最大時(shí)的點(diǎn)，PAPB AB ABC 為等腰直角三角形，AC BC 等于 4， ACB 90° BCD 15°， ACD 75°點(diǎn) A、A關(guān)于 CD 對稱， AA CD， AC CA， ACD DCA 75°， BCA 60° CA AC BC4， ABC 是等邊三角形，AB BC 4 PA

5、PB 的最大值為4練習(xí)1如圖，在 ABC 中， AC BC 2， ACB90°， D是BC邊的中點(diǎn)，E 是AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)，則ECED的最小值是AECDB解： 解：過點(diǎn) C作 COAB于 O，延長 CO到 C ，使 OC =OC，連接 DC ，交 AB于 E，連接 C B，此時(shí) DE+CE=DE+E=DC 的值最小連接 BC ，由對稱性可知 C BE=CBE=45°， CBC =90°，BC BC， BCC =BC C=45°， BC=BC =2，D是 BC邊的中點(diǎn)， BD=1，根據(jù)勾股定理可得： DC = 5 ，故 EC+ED的最小值是 52如圖，點(diǎn)C

6、 的坐標(biāo)為（3， y），當(dāng)ABC的周長最短時(shí)，求y 的值yA(0,3)OB(2,0)x解：解：（ 1）作 A 關(guān)于 x=3 的對稱點(diǎn) A ，連接 A B 交直線 x=3 與點(diǎn) C點(diǎn) A 與點(diǎn) A 關(guān)于 x=3 對稱， AC=A C AC+BC=A C+BC 當(dāng)點(diǎn) B 、C、 A 在同一條直線上時(shí)， A C+BC 有最小值，即 ABC 的周長有最小值點(diǎn) A 與點(diǎn) A 關(guān)于 x=3 對稱，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 6， 3）設(shè)直線 BA 的解析式 y=kx+b ，將點(diǎn) B 和點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入得： k 3， b - 3 y= 3x-3 4242將x=3代入函數(shù)的解析式，y 的值為343如圖，正方形ABCD

7、中， AB 7， M是DC上的一點(diǎn)，且DM 3， N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求|DN MN |的最小值與最大值A(chǔ)DMNBC解： 解：當(dāng) ND=NM時(shí)，即因?yàn)?|DN- MN|DM，當(dāng)點(diǎn)所以 |DN-MN|的最小值為N 點(diǎn) DM的垂直平分線與 AC的交點(diǎn)， |DN-MN|=0， N 運(yùn)動(dòng)到 C 點(diǎn)時(shí)取等號，此時(shí) |DN-MN|=DM=3，0，最大值為 3模型作法結(jié)論AAP'CPP PCD 周長的最小值為BPPODOB點(diǎn) P 在 AOB 內(nèi)部，在 OB 邊上找點(diǎn) D，P''分別作點(diǎn)P 關(guān)于 OA、OB 的對稱點(diǎn)P、OA 邊上找點(diǎn) C，使得 PCD 周長最小P，連接 PP，交 OA

8、、 OB 于點(diǎn) C、D ，點(diǎn) C、D 即為所求AACPPD CD的最小值為POBPCDOBP'點(diǎn) P 在 AOB 內(nèi)部，在 OB 邊上找點(diǎn)D，作點(diǎn) P 關(guān)于 OB 的對稱點(diǎn)P，過 P作OA 邊上找點(diǎn) C，使得 PD CD 最小PCOA 交 OB 于 D，點(diǎn) C、點(diǎn) D 即為所求APAP'CPQPC CD DQ 的最小值為 PQ，所以四邊形QOB點(diǎn) P、Q 在 AOB 內(nèi)部，在 OB 邊上找點(diǎn) D，OA 邊上找點(diǎn) C，使得四邊形 PQDC周長最小以上余佳穎錄入PQDC周長的最小值為OBPQ PQDQ'分別作點(diǎn) P、 Q 關(guān)于 OA、 OB 的對稱點(diǎn) P、Q，連接 PQ，分

9、別交 OA、OB于點(diǎn) C、 D，點(diǎn) C、D 即為所求模型實(shí)例如圖， ? AOB30°， DAOB 內(nèi)有一定點(diǎn)P ，且 OP =10 . 在 OA上有一點(diǎn) Q ， OB 上一點(diǎn) R 若立 PQR 周長最小，則最小周長是多少？APOB解答如圖，作點(diǎn) P 分別關(guān)于 OA 、 OB 的對稱點(diǎn) E 、 F ，連接 EF ，分別交 OA、OB于點(diǎn) Q、 R，連接 OE、OF 、PE、 PF.EQ =OP ， FR=RP PQR 的周長的最小值為EF 的長.由對稱性可得 ? EOQ? POQ ， ?FOR? POR，? EOF 2? AOB60°EA EOF 是正三角形QPEF = OE

10、 = OP =10即 PQR 周長最小值為 10.OBRF模型 2/角與定點(diǎn)1已知， ? MON 40°， P 為 DMON 內(nèi)一定點(diǎn)， A為 OM 上的點(diǎn)， B 為 ON 上的點(diǎn)，當(dāng) PAB 的周長取最小值時(shí)：(1) 找到 A 、 B 點(diǎn)，保留作圖痕跡；(2) 求此時(shí) DAPB 等于多少度 . 如果 ? MON q ， DAPB 又等于多少度？MPON1.解答（ 1）做點(diǎn) P 分別關(guān)于 OM 、ON 的對稱點(diǎn) E、F ，連接 EF 分別交 OM、 ON 于點(diǎn) A、B 點(diǎn) A、B 即為所求，此時(shí) PAB 的周長最?。ǎc(diǎn) E 與點(diǎn) P 關(guān)于直線 OM 對稱，點(diǎn) F 與點(diǎn) P 關(guān)于 O

11、N 對稱， E APE ， F = BPF ， CPD =180° - MON =140°在 EFP 中， E + F =180° -140 ° =40°， CPA + BPD =40 ° APB =100°如果 MON =， CPD =180° - ， E + F =又 PAB=2 E ， PBA=2 F PAB + PBA=2 （ E + F ） =2 APB =180° -2 EMCAPOBDNF2如圖，四邊形中ABCD ， ? BAD110°, ? B? D90°，在 BC 、

12、 CD 上分別找一點(diǎn) M 、 N ，使 AMN 周長最小，并求此時(shí)? AMN? ANM 的度數(shù)ADNBMC2解答如圖，作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn) A ，關(guān)于 CD 的對稱點(diǎn) A 連接 A A 與 BC 、 CD 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) M 、N 此時(shí) BAD =110°， A + A =180° - 110° =70°由軸對稱的性質(zhì)得： A = A AM ， A = A AN ， AMN + ANM =2( A + A )=2× 70°=140°，AMN 周長最小ADBA''NMA'C3如圖，在 x

13、軸上找一點(diǎn) C ，在 y 軸上找一點(diǎn) D ，使 AD +CD + BC 最小，并求直線 CD 的解析式及點(diǎn) C 、 D 的坐標(biāo)yA(1,3)B(3,1)Ox3解答作點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)A ，點(diǎn) B 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)B ，連接 A B 分別交 x 軸、 y 軸于點(diǎn) C 、 D ，此時(shí) AD CDBC 最小由對稱性可知A （-1,3 ）， B （ 3，- 1）易求得直線 A B 的解析式為 yx 2 ，即直線 CD 的解析式 yx 2 當(dāng) y0 時(shí)， x2，點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ 2,0 ）當(dāng) x0 時(shí)， y2，點(diǎn) D 坐標(biāo)為（ 0,2 ）yA'A (1，3)DB (3， 1)OCx

14、B'4如圖， ? MON20°， A 、 B 占分別為射線OM 、 ON 上兩定點(diǎn)，且OA = 2 ， OB = 4 ，點(diǎn) P 、Q分別為射線OM、 ON 上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P 、 Q 運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ+PQ +PB的最小值是多少？MAON4解答作 A 點(diǎn)關(guān)于 ON 的對稱點(diǎn) A ，點(diǎn) B 關(guān)于 OM 的對稱點(diǎn) B ，連接 A B ，分別交 OM 、ON 于點(diǎn) P、 Q ，連接 OA 、OB 則AQPQPB由對稱可知，PBAQPQPB， AQPBA QAB ，此時(shí)，OAOAAQ2 ，PQPB 最小OBOB4，AOB60 MOBNOAMON20作ADOB 于點(diǎn) D，在 Rt ODA

15、中， OD1 ，A D3 B D413，A B23AQPQPB 的最小值是23 B'MDA PNOQBA'以上王其鑫錄入模型 3 兩定點(diǎn)一定長模型作法結(jié)論AAM MNNBAA BdB的最小值為A"Bdl如圖，在直線l 上找 M、N 兩點(diǎn)(M 在左 )，使得 AM MN NB 最MNl小，且 MN d.Al 1l 2B如圖， l1 l2， l1、l 2 間距離為 d，在 l1 、l 2 分別找 M、N 兩點(diǎn)，使得 MN l 1，且 AM MNNB 最小A"將 A 向右平移 d 個(gè)單位到 A ，作 A關(guān)于 l 的對稱點(diǎn) A" ，連接 A"B

16、與直線 l 交于點(diǎn) N，將點(diǎn) N 向左平移 d 個(gè)單位即為 M，點(diǎn) M，N 即為所求 .AAM MN NBM的最小值為l1AA'Bd.Nl2B將 A 向下平移 d 個(gè)單位到 A ，連接 AB 交直線 l2 于點(diǎn) N，過點(diǎn) N 作 MN l1，連接 AM .點(diǎn) M、N 即為所求例題 ：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 如圖所示，點(diǎn) A 在 x 軸正半軸上，點(diǎn)為 OC 中點(diǎn)，點(diǎn) E、 F 在線段 OA 上，點(diǎn) E 在點(diǎn) F 左側(cè)， EF 2.當(dāng)四邊形 BDEFC 在 y 軸正半軸上，且 OA6，OC 4， D的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E 的坐標(biāo)解答：如圖，將點(diǎn)D 向右平移 2 個(gè)單位得到D

17、9;(2， 2)，作 D' 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)D"(2 ， 2)，連接 BD" 交 x 軸于點(diǎn) F，將點(diǎn) F 向左平移 2 個(gè)單位到點(diǎn)E ，此時(shí)點(diǎn) E 和點(diǎn) F 為所求作的點(diǎn)，且四邊形BDEF 周長最小 .理由：四邊形BDEF 的周長為 BD DE EF BF ，BD 與 EF 是定值 . BF DE 最小時(shí)，四邊形BDEF 周長最小， BF EDBFFD 'BFFD " BD"設(shè)直線 BD" 的解析式為ykx b，把 B(6， 4)， D"(2 ， 2)代入，得 6k b 4，2kb 2，解得 k3，b 5，直線

18、BD" 的解析式為y3x522令 y 0，得 x10，點(diǎn) F 坐標(biāo)為 (10，0) 點(diǎn) E 坐標(biāo)為 (4，0) 333練習(xí)1在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A 、B 分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上，A(3， 0)， B(0， 4)，D 為邊 OB 的中點(diǎn)(1)若 E 為邊 OA 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求CDE 的周長最小值；(2)若 E、 F 為邊 OA 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF 1，當(dāng)四邊形CDEF 的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、 F 的坐標(biāo)解答：(1)如圖，作點(diǎn) D 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn) D'，連接 CD'與 x 軸交于點(diǎn) E，連接 DE，由模型可知 CDE 的周長最小在矩形 OACB 中， OA 3，OB 4， D 為 OB 的中點(diǎn)， D(0，2)，C(3，4)， D'(0， 2).設(shè)直線 CD'為 y kxb，把 C(3 ，4) ，D'(0， 2) 代入，得 3k b 4，b 2，解得 k 2，b 2，直線 CD'為 y 2x 2.