1、1 1.4全概率公式與貝葉斯公式教學(xué)對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生掌握全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用課型：新授課課時(shí)：1課時(shí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用背景、 相互的聯(lián)系與區(qū)別以及在實(shí)教學(xué)方法：教學(xué)安排：際中的應(yīng)用講授法，情境問(wèn)題法（1）課堂導(dǎo)入（2）講授新課、舉例（3）拓展與思考（4）思考（5） 布置作業(yè)教學(xué)過(guò)程:（一） 給出引例，導(dǎo)入新課在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)熟悉了求概率的幾種方法：頻率方法、古典方法 和幾何方法，對(duì)較簡(jiǎn)單的事件，這些方法是很好用的，但是當(dāng)事件比較復(fù)雜時(shí)， 這些方法用起來(lái)就顯得力不從心了。引例 小王要去外地出差幾天， 家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧。 若已知

2、 如果幾天內(nèi)鄰居記得澆水，花存活的概率為0.8,如果幾天內(nèi)鄰居忘記澆水，花 存活的概率為0.3,假設(shè)小王對(duì)鄰居不了解，即可以認(rèn)為他記得和忘記澆水的概 率均為0.5,問(wèn)：幾天后他回來(lái)花還活著的概率。討論：這個(gè)問(wèn)題可以用我們以前所學(xué)過(guò)的方法求解嗎？【評(píng)析】對(duì)此類較復(fù)雜的概率問(wèn)題，用我們以前的知識(shí)就解決不了了。（二） 講授新課在上例中，事件“花活著”有兩種情況可以導(dǎo)致它發(fā)生：記得澆水和忘記澆 水，而“記得澆水”和“忘記澆水”把樣本空間劃分成了兩個(gè)互不相容的部分， 稱為一個(gè)劃分，具體的定義如下：1.劃分定義 1 設(shè)B,B2,，Bn,且滿足n1- Bi（完全性）；i=12對(duì)-i, j，Bj-：（互斥性）

3、。則稱BB2, ,Bn構(gòu)成門的一個(gè)劃分。【課堂提問(wèn)】21能舉出日常生活中劃分的例子嗎？2最簡(jiǎn)單的劃分是怎樣的？3仔細(xì)觀察上圖，當(dāng)BI,B2,，Bn構(gòu)成門的一個(gè)劃分，BI,B2,，Bn是否也將任一個(gè)事件A劃分成了若干個(gè)互不相容的部分？它們?nèi)绾伪硎?？【評(píng)析】1一塊玻璃摔在地上破碎了，各個(gè)碎片就是原來(lái)玻璃的一個(gè)劃分。2最簡(jiǎn)單的劃分就是B和B.3當(dāng)BI,B2,，Bn構(gòu)成門的一個(gè)劃分，BI,B2,，Bn也將任一個(gè)事件A劃分成了若干個(gè)互不相容的部分，它們分別表示為AB,AB2,，ABn，當(dāng)然，它們中間可能有的是門。2.全概率公式在上例中，設(shè)B=“記得澆花”，B=“忘記澆花”，則B和B就構(gòu)成了門的一個(gè)劃分，

4、設(shè)事件A=“花還活著”，則A也被B和B劃分為兩個(gè)互不相容的部分：AB,AB。由前面概率的性質(zhì)知道：P(A)二P(AB AB)二P(AB) P(AB)=P(A| B) P(B) P(A|B) P(B)=0.80.5+0.30.5=0.55。性質(zhì)BB2,，Bn，如果P(Bi)0,i =1,2/ ,n，則對(duì)任一事件A有nP(A)P(Bi)P(A|BJ.i#證明：略【例題 1】 某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為3類：謹(jǐn)慎的”、一般的”、冒失 的”。統(tǒng)計(jì)資料表明，這3種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30; 如果 謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%, 一般的”占50%，冒失的”占30%，一個(gè)被保 險(xiǎn)

5、人在一年內(nèi)出事故的概率是多大？解：設(shè)Bi=“他是謹(jǐn)慎的”，B2=“他是一般的”，B3=“他是冒失的”，則BI,B2,B3構(gòu)成了門的一個(gè)劃分，設(shè)事件A=“出事故”，由全概率公式：3P(A)八P(BJP(A|BJi J= 0.05 20%0.15 50%0.30 20%=0.125。3貝葉斯公式在“澆花”的例子中，我們反過(guò)來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：假若小王回來(lái)，發(fā)現(xiàn) 花還活著，那么，鄰居記得澆花的概率是多大？即已知結(jié)果，要求這個(gè)結(jié)果是由某種原因所導(dǎo)致的概率，這就是貝葉斯公式 解決的問(wèn)題。性質(zhì) 設(shè)BI,B2 /,Bn是樣本空間門的一個(gè)劃分，則、P(Bj)P(A|Bj)j 4證明：略回到上面的例子中，可以求

6、出當(dāng)發(fā)現(xiàn)花還活著，鄰居記得澆花的概率【例題 2】某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004,現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)研究表 明，化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的。 已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽(yáng)性 （有病） ，而沒(méi)有患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性（無(wú)病），現(xiàn)某人的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng) 性，問(wèn)他真的患肝癌的概率是多大？【猜猜看】師：評(píng)大家的直覺(jué)，此概率大概為多少？生：.師：我們用貝葉斯公式計(jì)算一下，看看誰(shuí)猜得更接近些。解：記事件B二“被檢查者患有肝癌”，A二“檢查結(jié)果成陽(yáng)性”，由假設(shè)，P(B) =0.0004, P(B) =0.9996,P( A | B) = 0.99, P(A| B) = 0.001

7、，由貝葉斯公式,得【思考】這個(gè)結(jié)果多少讓人覺(jué)得驚訝，既然檢查結(jié)果成陽(yáng)性真的患肝癌的概率 只有0.284,如何確保診斷的無(wú)誤呢？對(duì)！方法就是一一復(fù)診！復(fù)診時(shí)，此人患肝癌的概率不再是0.0004,而是0.284。 這是因?yàn)榈谝籔(Bi| A)二P(Bi)P(A|BJn,i =1,2, ,n.P(B| A)二P(B)P(A| B)P(B)P(A|B) P(B)P(A| B)0.5漢0.80.5 0.8 0.5 0.3= 0.7271.P(B|A)P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 9990.0004 0.990.9996 0.001=0.284.4次檢查呈陽(yáng)性，所以對(duì)其患病的概率進(jìn)行了修正，因此將由貝葉斯 公式求出的概率成為修正概率。5假若第二次檢查還是呈陽(yáng)性，我們類似可以計(jì)算出他患肝癌的概率上式表明：如果第二次復(fù)查結(jié)果仍然呈陽(yáng)性，那么他患病的概率就達(dá)到了99.7%, 此例說(shuō)明了復(fù)查可以提高診斷的準(zhǔn)確性。（三）課堂小結(jié)全概率公式一一由因求果，貝葉斯公式一一執(zhí)果尋因 關(guān)鍵點(diǎn)：什么時(shí)候適合用全概率公式和貝葉斯公式？ 一個(gè)事件發(fā)生的前 提有多種可能，每一種可能都可導(dǎo)致此事件發(fā)生。（四）思考在伊索寓言狼來(lái)了中，當(dāng)小孩第三次叫“狼來(lái)了”的時(shí)候，