1、* 實踐教學 *蘭州理工大學計算機與通信學院2013年春季學期信號處理課程設計題 目：切比雪夫I型低通濾波器設計 專業(yè)班級： 通信工程三班 姓 名： 學 號： 指導教師： 藺瑩 成 績： 摘要 本次課程設計將完成一個數字切比雪夫低通IIR濾波器的設計，利用雙線性變換和沖激響應不變法完成設計，并利用MATLAB進行仿真。已知數字濾波器的性能指標為：通帶截止頻率為:，要求設計滿足以上技術指標的切比雪夫I型低通濾波器。繪制出理想沖激響應和實際沖激響應結果圖。并且給出幅度響應結果圖。關鍵字：數字濾波器 切比雪夫 雙線性變換 沖激響應不變 目錄前言1一數字濾波器211 數字濾波器的概念212數字濾波器的

2、分類213 IIR數字濾波器設計原理3二切比雪夫濾波器5三雙線性變換法8四脈沖響應不變法12五切比雪夫低通濾波器的設計1551 程序流程圖1552 設計步驟15六總結18七參考文獻19致謝20附錄2127前言隨著信息時代和數字世界的到來，數字信號處理已成為當今一門極其重要的學科和技術領域。目前數字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。在數字信號處理中起著重要的作用并已獲得廣泛應用的是數字濾波器（DF，Digital Filter），根據其單位沖激響應函數的時域特性可分為兩類：無限沖激響應IIR（Infinite Impulse R

3、esponse）濾波器和有限沖激響應FIR（Finite Impulse Response）濾波器。與FIR濾波器相比，IIR的實現采用的是遞歸結構，極點須在單位圓內，在相同設計指標下，實現IIR濾波器的階次較低，即所用的存儲單元少，從而經濟效率高。MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩陣實驗室)的縮寫。它是美國的MathWorks公司推出的一套用于科學計算和圖形處理可視化、高性能語言與軟件環(huán)境。MATLAB的信號處理工具箱是專門應用于信號處理領域的專用工具箱，它的兩個基本組成就是濾波器的設計與實現部分以及譜分析部分。工具箱提供了豐富而簡便的設計，使原來繁瑣的程序設計簡化成函

4、數的調用。只要以正確的指標參數調用相應的濾波器設計程序或工具箱函數，便可以得到正確的設計結果，使用非常方便。 一數字濾波器11 數字濾波器的概念濾波器是指用來對輸入信號進行濾波的硬件和軟件。數字濾波器是對數字信號實現濾波的線性時不變系統(tǒng)。數字濾波器可以理解為是一個計算程序或算法，將代表輸入信號的數字時間序列轉化為代表輸出信號的數字時間序列，并在轉化過程中，使信號按預定的形式變化。數字濾波實質上是一種運算過程，實現對信號的運算處理。數字濾波器和模擬濾波器相比，因為信號的形式和實現濾波的方法不同，數字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點。輸入數字信號（數字

5、序列）通過特定的運算轉變?yōu)檩敵龅臄底中蛄?，因此，數字濾波器本質上是一個完成特定運算的數字計算過程，也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關系的卷積和差分方程只是給數字信號濾波器提供運算規(guī)則，使其按照這個規(guī)則完成對輸入數據的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性: （1-1）其中、分別是數字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。12數字濾波器的分類按照不同的分類方法，數字濾

6、波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經典濾波器和現代濾波器。經典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波的目的。但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復信號，這時就需要現代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器?，F代濾波器是根據隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地回復信號，從而達到最佳濾波的目的。經典數字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。圖1 各種

7、理想濾波器的幅頻特性數字濾波器根據其沖激響應函數的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數字濾波器。IIR 數字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應，需要用遞歸模型來實現，其差分方程為： （1-2）系統(tǒng)函數為： （1-3）設計IIR濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現的系統(tǒng)函數H(z)，使其頻率響應H(z)滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數和阻帶衰減系數。13 IIR數字濾波器設計原理IIR數字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數為 （1-4）假設MN，當MN時,系統(tǒng)函數可以看作一個IIR的子系統(tǒng)和一

8、個(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級聯。IIR數字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數和 ，它是數學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數字濾波器。設計高通、帶通、帶阻等數字濾波器通?？梢詺w納為如圖所示的兩種常用方法。雙線性變換頻率沖激響應不變法模擬高通、帶通和帶阻數字原型低通模擬原型低通數字高通、帶通和帶阻沖激響應不變法交換頻率模擬原型低通模擬高通、帶通和帶阻方法1方法2交換雙線性變換 圖2.數字濾波器設計的兩種方法方法1： 首先設計一個模擬原型低通濾波器，然后通過頻率變換成所需要的模擬高

9、通、帶通或帶阻濾波器，最后再使用沖激不變法或雙線性變換成相應的數字高通、帶通或帶阻濾波器。方法2 ：先設計一個模擬原型低通濾波器，然后采用沖激響應不變法或雙線性變換法將它轉換成數字原型低通濾波器，最后通過頻率變換把數字原型低通濾波器變換成所需要的數字高通、帶通或帶阻濾波器。方法一的缺點是，由于產生混疊是真，因此不能用沖激不變法來變換成高通或阻帶濾波器，故一般采用第二種方法進行設計。二切比雪夫濾波器目的：構造一個模擬低通濾波器。為了從模擬濾波器出發(fā)設計IIR數字濾波器，必須先設計一個滿足技術指標的模擬濾波器，亦即要把數字濾波器的指標轉換成模擬濾波器的指標，因此必須先設計對應的模擬原型濾波器。模擬

10、濾波器的理論和設計方法己發(fā)展得相當成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。這里介紹切比雪夫濾波器。切比雪夫濾波器特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。巴特沃茲濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的，如果階次一定，則在靠近截止 處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內的衰減足夠小，需要的階次N很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式來逼近所希望的 。切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內是等幅起伏的，所以在同樣的通常內衰減要求下，其階數較巴特

11、沃茲濾波器要小。切比雪夫濾波器的振幅平方函數為 (2-1)式中c為有效通帶截止頻率，表示與通帶波紋有關的參量，值越大通帶不動愈大。VN（x）是N階切比雪夫多項式，定義為 (2-2) 切比雪夫濾波器的振幅平方特性如圖所示：N為偶數，cos2( )=1，得到min， （2-3） N為奇數，cos2( ，得到max， （2-4） 圖3 切比雪夫濾波器的振幅平方特性 有關參數的確定:  a、通帶截止頻率： 預先給定;  b、與通帶波紋有關的參數,通帶波紋表示成 lg （2-5） 所以, ,     給定通帶波紋值 分貝數后，可求得。 

12、0; 、階數N:由阻帶的邊界條件確定。、為事先給定的邊界條件,即在阻帶中的頻率點處,要求濾波器頻響衰減到1/A2以上。 時， (2-6) (2-7) (2-8) 時， 得 （2-9）因此，要求阻帶邊界頻率處衰減越大，要求N也越大，參數N， 給定后，查閱有關模擬濾波器手冊，就可求得系統(tǒng)函數Ha(s)。三雙線性變換法為了克服沖激響應法可能產生的頻率響應的混疊失真，這是因為從S平面到平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/

13、T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象，映射關系如圖1-3圖4雙線性變換的映射關系為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現 （3-1）式中,T仍是采樣間隔。當1由-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+，也即映射了整個j軸。將式（1-9）寫成 (3-2)將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得 (3-3)再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面z=es1T從而得到S平面和Z平面的單

14、值映射關系為： （3-4) （3-5)式（1-10）與式（1-11）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換式（1-9）與式（1-10）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。首先,把z=ej，可得 （3-6）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式（1-12），得因此 （3-7）由此看出，當<0時，|z|<1；當>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波

15、器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點：雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個j軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（1-12）所示，重寫如下： （3-8）上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關系，如圖1-4所示。由圖1-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數字頻率之間的變換關系接近于線性關系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，從而消除了頻率混疊現象。圖5雙線性變換法的

16、頻率變換關系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（1-12）及圖1-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖1-5所示。圖6雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分

17、段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上。四脈沖響應不變法利用模擬濾波器來設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT) 式中,T是采樣周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，

18、利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得 (4-1)則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的S平面變換成數字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標準變換關系式。圖7 脈沖響應不變法的映射關系由（2-2）式，數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為 (4-2)這就是說，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即 (4-3)才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻率響應，而不產生混疊失真，即 (4-4)但是，任何一個實際的模擬濾波器頻

19、率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。圖8脈沖響應不變法中的頻響混疊現象對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。脈沖響應不變發(fā)的優(yōu)缺點：從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數字濾波器的單

20、位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數字頻率之間呈線性關系=T。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉換為數

21、字濾波器。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數。五切比雪夫低通濾波器的設計51 程序流程圖 開始讀入數字濾波器技術指標將指標轉換成歸一化模擬低通濾波器的指標設計歸一化的模擬低通濾波器階數N和3db截止頻率模擬低通濾波器變換成數字低通濾波器結束圖9 IIR帶通濾波器的設計流程52 設計步驟(1)確定性能指標在設計帶通濾波器之前,首先根據工程實際的需要確定濾波器的技術指標: 通帶截止頻率fp1=1200，fp2=3000；阻帶截止頻率fs1=1000; fs2=3200;；阻帶最小衰減As=100dB和通帶最大衰減Ap=1dB;(2)把頻率轉化為數字角頻率 wp1=2*pi*fp1*T;

22、wp2=2*pi*fp2*T; ws1=2*pi*fs1*T; ws2=2*pi*fs2*T;(3)頻率預畸變用=2/T*tan(w/2)對帶通數字濾波器H(z)的數字邊界頻率預畸變,得到帶通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp1,Wp2;阻帶截止頻率Ws1，Ws2的轉換。抽樣頻率fs=10KHz。通帶截止頻率Wp1=(2/T)*tan(wp1/2)Wp2=(2/T)*tan(wp2/2)阻帶截止頻率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2)Ws2=(2/T)*tan(ws2/2)(4)模擬帶通性能指標轉換成模擬低通性能指標 WP=Wp1,Wp2;W0=sqrt(Wp1*Wp2);

23、 B=Wp2-Wp1; WS=Ws1,Ws2; (5)模擬低通濾波器的構造借助切比雪夫(Chebyshev)濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數Ha(s)。N,Wc=cheb1ord(WP,WS,Ap,As,'s'); %求階數和邊緣頻率z0,p0,k0=cheb1ap(N,Ap); %求極點，零點和增益num=k0*real(poly(z0); %模擬低通濾波器系統(tǒng)函數的分子多項式den=real(poly(p0); (6)模擬低通濾波器轉換成數字低通濾波器利用雙線性變換法或脈沖響應不變法將模擬帶通濾波器Ha(s)轉換成數字低通濾波器H(z)。numd,dend=bilinea

24、r(numt,dent,fs); （7）作圖圖10 雙線性變換法設計的低通濾波器圖11 脈沖響應不變法設計的低通濾波器程序見附錄。(8)分析: 由圖可見: 脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應, 雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現象，雙線性變換不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，從而消除了頻率混疊現象。六總結此次Matlab課程設計是在一定的理論基礎之上進行的，在先修課程信號與系統(tǒng)與數字信號處理中，大量有Matlab設計方面的知識，所以做起來還比較容易，而且經過了自己的親身實踐，學到了許多實踐方面的知識。首先，在信號濾波系統(tǒng)中

25、，有時因為模擬濾波器階數太高，硬件占用空間太大為某些儀器的實現設置了障礙，而對于一些窄帶情況下的低通濾波器用模擬手段往往很難實現。在這些情況下，數字濾波器將會是一個很好的解決辦法。MATLAB信號處理工具箱提供了豐富而簡便的設計、實現FIR 和IIR 的方法，使原來繁瑣的程序設計簡化成函數的調用，特別是濾波器的表達方式和濾波器之間的相互轉換顯得十分簡便。其次，IIR數字濾波器的設計和模擬濾波器的設計有著緊密的關系。通常要先設計出適當的模擬濾波器，再通過一定的頻帶變換把它轉換成為所需的數字IIR濾波器。此外，任何數字信號處理系統(tǒng)中也還不可避免地用到模擬濾波器，比如A/D變換器前的抗混疊濾波器和D

26、/A變換器后的平滑濾波器，因此模擬濾波器設計也是很重要的。最后，在比較設計濾波器的方法上應該明確其技術指標以及某些參數的實際意義。比如本文用雙線性變換法設計數字帶通濾波器時，必須先將頻率歸一化，并且進行頻率預畸變，然后設計模擬濾波器，再利用頻率變換法將模擬低通變?yōu)槟M帶通，最后經過雙線性變換法將模擬帶通變換為數字帶通。如果不進行頻率預畸變，那么設計出來的帶通濾波器的幅頻特性與相頻特性將會產生很嚴重的畸變（如圖5、圖6所示，為設計時沒有進行頻率預畸變的特性），使設計的結果不滿足給定的要求，在實際中會造成很嚴重的危害。七參考文獻1 丁玉美，高西全.數字信號處理M.第三版.西安：電子科技大學出版社，

27、2006:P195P225.2 程明.基于MATLAB的數字濾波器分析J.通信電源技術，2006：P25P27.3 樓順天，劉小東，李博苗.基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設計信號處理M.第二版.西安：西安電子科技大學出版社，2005：P36P196.4 王華，李有軍，劉建存.MATLAB電子仿真與應用教程M.北京：國防工業(yè)出版社，2007：P347P366.致謝在做本次課程設計的過程中，我深深地感受到了自己所學到知識的有限，明白了只學好課本上的知識是不夠的，要通過圖書館和互聯網等各種渠道來擴充自己的知識。在實驗過程中我們曾經遇到過問題。但是從中我們學習到了如何對待遇到的困難，進一步培養(yǎng)了我們一絲

28、不茍的科學態(tài)度和不厭其煩的耐心。所有的這些心得會對我以后的學習和工作有幫助作用，忠心感謝學校給我們提供這次實驗機會。附錄：（1）wp=0.4*pi;ws=0.45*pi;Rp=1;As=15;N,wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s');%該函數用來確定階數。s,表示模擬濾波器fprintf('n*切比雪夫I型濾波器的階次為 %2.0fn',N);wn=wp/pi;b,a=cheby1(N,Rp,wn,'s');B,A=bilinear(b,a,1);%用雙線性變換法轉換為數字濾波器%b0,B,A=dir2cas(b,a)%B，A

29、沒有用，可以去掉，任秘只用了一個函數。%計算頻率響應性能%db, mag , pha ,grd, w=freqz_m(B, A);grd=grpdelay(B,A,w);%群時延即系統(tǒng)在某頻率處的相位（相移）對于頻率的變化率。%subplot(221)plot(w/pi,mag);title('幅度');ylabel('|H|');axis(0 1 0 1.1)subplot(223)plot(w/pi,db);axis(0 1 -30 0)title('幅度(dB)');ylabel('分貝數');xlabel('以pi

30、為單位的頻率');subplot(222)plot(w/pi,pha);title('相位響應');ylabel('弧度');subplot(224)plot(w/pi,grd)title('群時延')ylabel('樣本');xlabel('以pi為單位的頻率');%clear all（2）wp=0.4*pi;ws=0.45*pi;Rp=1;As=15;T=1;N,wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s');%該函數用來確定階數。s,表示模擬濾波器fprintf('n

31、*切比雪夫I型濾波器的階次為 %2.0fn',N);cs,ds=cheby1(N,Rp,wn,'s');%用來設計N階低通模擬切比雪夫濾波器，矢量cs,ds中返回的是模擬濾波器的系數bz,az=impinvar(cs,ds,T);%用沖激響應不變法將模擬濾波器變換成數字濾波器，參數cs，ds給出模擬濾波器傳遞函數的分子系數和分母系數,b,a就應該是轉換為的數字濾波器的系數%計算頻率響應性能%db, MAG , pha ,grd, w=freqz_mm(bz, az);grd=grpdelay(bz,az,w);%subplot(111)subplot(221)plot(w/pi,MAG);title('幅度');ylabel('|H|');axis(0 1 0 1.1)subplot(2