1、第第 24 講講. . 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用2013. 12. 11n 什么問題可用定積分解決？什么問題可用定積分解決？n 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用n 如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分？如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分？ 概要概要從曲邊梯形面積的求法可看出，量從曲邊梯形面積的求法可看出，量 S 具有如下具有如下特點(diǎn)特點(diǎn)：1 ) S 是與區(qū)間是與區(qū)間 a , b 有關(guān)的量；有關(guān)的量；2 ) S 對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通過即可通過分分、勻勻合合、精精四個(gè)步驟將四個(gè)步驟將 S 寫成寫成3 )iixifS )( 且誤差須是且誤差須是ix 的高階無(wú)窮小，的高階無(wú)窮小，.

2、 0 )( lim0 iiixxxifSi 即即則則 A 可以用定積分來(lái)計(jì)算可以用定積分來(lái)計(jì)算. .一般地一般地, , 在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中, ,若所求量若所求量 A 滿足以上三條，滿足以上三條， niixif10 )( lim niiSS1 1、什么問題能用定積分解決？什么問題能用定積分解決？2、如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分？如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分？第一步第一步第二步第二步上取定積分上取定積分. .小區(qū)間上部分量小區(qū)間上部分量 A, x確定其變化范圍確定其變化范圍求出該求出該的近似值的近似值稱之為稱之為積分微元積分微元, 第三步第三步 , a b即即. , ba在在 a , b 內(nèi)任取

3、一小區(qū)間內(nèi)任取一小區(qū)間, , xxx , )( xxfA 記為記為. d )( dxxfA 以以 A 的微元為被積表達(dá)式的微元為被積表達(dá)式, , 在在. d )( baxxfA微元法微元法選定一個(gè)積分變量選定一個(gè)積分變量, 比如比如上述分析法稱為：上述分析法稱為： 、元素法、元素法例例 1. xxx d x如圖所示，細(xì)直合金金屬棒密度分布函數(shù)為如圖所示，細(xì)直合金金屬棒密度分布函數(shù)為, 26 )( xx 求其質(zhì)量求其質(zhì)量 M。 解：解： 質(zhì)量微元質(zhì)量微元 d ) 26 ( dxxM 故故 6 2 d ) 26( xxM. 80 o2 6xyzO例例 2. 求橢圓求橢圓 1)(2222 byaax

4、繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得橢球的軸旋轉(zhuǎn)所得橢球的積分變量積分變量 怎么選？怎么選？對(duì)應(yīng)的體積微元是什么？對(duì)應(yīng)的體積微元是什么？微元怎么算？微元怎么算？ f (x) 是什么是什么 體積體積 V。xxx d xyzO解：解： 體積微元體積微元xaaxbV d )(1 d222 故故 axaaxbV2 0 222 d )(1 3 42ba 例例 2. 求橢圓求橢圓 1)(2222 byaax繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得橢球的軸旋轉(zhuǎn)所得橢球的體積體積 V。（底面半徑為（底面半徑為y高為高為xd的圓柱）的圓柱）練練. 求函數(shù)求函數(shù) )( , 0 )(bxaxfy 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得立軸旋轉(zhuǎn)所得立解：解： 體積微元體

5、積微元xyV d d2 因此因此 d )( 2 baxxfV xxx d xyzO體的體積體的體積 V。xxf d )( 2 練練. 求函數(shù)求函數(shù) )( , 0 )(dycyx 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得立軸旋轉(zhuǎn)所得立解：解： 體積微元體積微元yxV d d2 因此因此 d )( 2 dcyyV 體的體積體的體積 V。yy d )( 2 xoy)(yx cdy例例 3. 判斷曲線判斷曲線解：解： d 1 2 xyV 上式右端廣義積分收斂，上式右端廣義積分收斂， 其值為其值為) ) , 1 ( ,1 xxy. 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所軸旋轉(zhuǎn)所 得立體的體積得立體的體積 V 是否有限值。是否有限值。. d 1

6、 2 xx 加百利號(hào)角（加百利號(hào)角（Gabriels Horn），根據(jù)宗教傳說，天使長(zhǎng)），根據(jù)宗教傳說，天使長(zhǎng)加百利吹號(hào)角以宣布審判日（加百利吹號(hào)角以宣布審判日（Judgment Day）的到來(lái)。）的到來(lái)。 摘自維基百科.3. 參數(shù)曲線所圍圖形的面積計(jì)算參數(shù)曲線所圍圖形的面積計(jì)算設(shè)曲線設(shè)曲線 G G 的參數(shù)方程為：的參數(shù)方程為：若若 x (t), y (t) 有有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，. , )( , )( tty ytxx且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為 0, 若若 y 0, 且當(dāng)且當(dāng) x 由由 a 變到變到 b 時(shí)，時(shí)， t 嚴(yán)格單調(diào)地由嚴(yán)格單調(diào)地由 變到變到 ，則由曲線則由曲線 G G, x

7、 = a, x = b 所圍成的曲邊梯形的面積為：所圍成的曲邊梯形的面積為： d )( xxtySba . d )( )( ttxty G G 為為光滑曲線光滑曲線。則稱則稱例例 4. 橢圓的參數(shù)方程為橢圓的參數(shù)方程為, 2 0 , sin , cos ttbytax求其面積求其面積 S 。圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，解：解： 2 0 t時(shí)時(shí)， cos tax 嚴(yán)格單調(diào)，嚴(yán)格單調(diào)， 因此因此 . d cos sin 4 0 2 ttatbS 且當(dāng)且當(dāng). ab 例例 5. 求由擺線求由擺線 , )cos1(, )sin(tayttax )0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面

8、積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1(ta 解解:ttad)cos1( ttad)cos1 (2022 ttad2sin42042 uuadsin8042 uuadsin162042 216a 43 212 23 a 20Axyoa2例例 5. 求由擺線求由擺線 , )cos1(, )sin(tayttax )0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1(ta 解解:ttad)cos1( ttad)cos1 (2022 ttad2sin42042 uuadsin8042 uuadsin162042 216a 43 212 23 a 20A dcos20t

9、tn ttndsin20 . 12 , ! ! !)!1(2 , 2 ! ! !)!1(knnnknnn Zkxyoa2例例 6 . 計(jì)算擺線計(jì)算擺線 )cos1()sin(tayttax)0( a的一拱繞的一拱繞 x 軸軸旋轉(zhuǎn)圍成的立體體積旋轉(zhuǎn)圍成的立體體積 V.解解:xyVad202 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1(2033 ttad2sin16063 uuadsin322063 332a 65 43 212 325a ay4. 極坐標(biāo)的建立極坐標(biāo)的建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn) O, ,O叫作叫作極點(diǎn)極點(diǎn), 引一條射線

10、引一條射線 Ox ,x叫做叫做極軸極軸， 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向和角度的正方向( (通常取逆時(shí)針方向通常取逆時(shí)針方向) )這樣就建立了一個(gè)這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系M( , ) 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) M 的極徑，的極徑，稱為極角稱為極角， 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) M 的的( , ) . , 2 0, 或或極坐標(biāo)。極坐標(biāo)。特殊圖形的極坐標(biāo)方程特殊圖形的極坐標(biāo)方程 , 0 表示起點(diǎn)在極點(diǎn)的射線。表示起點(diǎn)在極點(diǎn)的射線。 , 0 rr 表示圓心在極點(diǎn)半徑為表示圓心在極點(diǎn)半徑為 0 r的圓。的圓。 , 1 0 表示頂點(diǎn)在極點(diǎn)的角形區(qū)域。表示頂點(diǎn)在極點(diǎn)的角形區(qū)域。 , 1 0 rrr 表示

11、圓心在極點(diǎn)的環(huán)形區(qū)域。表示圓心在極點(diǎn)的環(huán)形區(qū)域。 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：. sin , cos ryrx 5. 極坐標(biāo)下圖形面積的計(jì)算極坐標(biāo)下圖形面積的計(jì)算考慮由考慮由 ) ( , , 1 0 rr 圍成的圖形，圍成的圖形， 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱曲邊扇形曲邊扇形。求其面積求其面積 S。 ) ( rr 0 1 Ox 應(yīng)用微元法：應(yīng)用微元法： 為積分變量為積分變量,取取面積微元面積微元 . d )( 21 d2 rS 因此因此 . d )( 21 1 0 2 rSttadcos82042 例例 7. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線所圍圖形所圍圖形的面積的面積 S。 解解:)0()cos

12、1( aar xa2o d d) cos1(2122 a 02S 02a d2cos44(利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性)2 t令令 28a 43 212 223a 練練 1 . 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于相應(yīng)于 0 2 一段與極軸圍成的圖形的面積一段與極軸圍成的圖形的面積 . 解解:) 0( aar xa2o ar d)( 21220rS 3 232 a0 2 . 3423a d)( 21220 a 6.6.曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算如圖如圖，xyOBA)(0M)(nM1M1 nM2 nM. | | max1 1iiniMM 記記 | | lim1 10 niiiMM 若若存在存在，則稱曲線

13、段則稱曲線段 AB 可求長(zhǎng)可求長(zhǎng)，結(jié)論：結(jié)論： 光滑曲線可求長(zhǎng)。光滑曲線可求長(zhǎng)。2M稱極限值為曲線段稱極限值為曲線段的的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)。xyOBA)(0M)(nMiM1 iMix ) () ( | |221iiiiyxMM ) d() d ( d22yxs 設(shè)已知曲線光滑，其參數(shù)方程設(shè)已知曲線光滑，其參數(shù)方程為為. , )( , )( tty ytxx則則 d ) ( d ) ( d22 tty ttxs d ) ( ) ( 22 ttytx 22 d ) ( ) ( ttytxs 22 d ) ( ) ( ttytxs6.6.曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算 d )( ) d ( d2 2xxfxs

14、若光滑曲線的參數(shù)方程若光滑曲線的參數(shù)方程為為, , )( , )( tty ytxx則弧長(zhǎng)微元?jiǎng)t弧長(zhǎng)微元為為. d ) ( ) ( 22 ttytx 若曲線方程為若曲線方程為則弧長(zhǎng)微元為則弧長(zhǎng)微元為, , )( bxaxf y sin ) ( d cos ) ( d d2 2 rrs 若曲線方程為若曲線方程為則弧長(zhǎng)微元為則弧長(zhǎng)微元為, , ) (1 0 r r. d ) ( ) ( 22 rr . d )( 1 2 xxf ) d() d ( d22yxs 6.6.曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算例例 8. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)()/(

15、chbxbcxcy 下垂成懸鏈線。懸鏈線方程為下垂成懸鏈線。懸鏈線方程為求這一段弧長(zhǎng)。求這一段弧長(zhǎng)。解解:xysd1d2 xcxdsh12 xcxdch bxcxs0dch2 cxc sh20bcbcsh2 2chxxeex )(ch x2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy d222aa 例例 9 . 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于相應(yīng)于 0 2 一段的弧長(zhǎng)一段的弧長(zhǎng) . 解解:) 0( aar xa2o ar d)()(d22rrs d12 a d1202 as 212 a 21ln21 02 )412ln(24122 aa用公式用公式練練 2. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段ttyxdcos2 解解:,0cos x22 xxysd1222 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202 xxd2cos2220 2sin2 22x . 4 02 解：解： 表面積微元表面積微元syS d 2 d 因此因此 d )( 1)( 2 2 baxxfxfS xxx d xyzOxxfy d )( 1 22 tttd)()(22 S)(2t 參數(shù)方程下，參數(shù)方程下，例例10. 求函數(shù)求函數(shù) )( , 0 )(bxaxfy 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得立軸旋轉(zhuǎn)所得立體的表面積體的表面積 S。例例 11. 判斷曲線判斷曲線解：解： d )