1、專題 15 二項(xiàng)式定理及數(shù)學(xué)歸納法【高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)二項(xiàng)式定理的簡單應(yīng)用，B級要求；(2) 數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用， B 級要求【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】1 二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)n= C0an+C1anTb+ danrbr + Cnbn,上式中右邊的多項(xiàng)式叫做(a+ b)n的二項(xiàng)展開式，其中Cn(r = 1,2,3 ,，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中第 r + 1項(xiàng)叫做展開式的通項(xiàng)，用Tr+i表示，即Tr+i = danTbr；(2)( a+ b)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)d(r = 1,2,3 ,，n)的性質(zhì)：與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cn=dT

2、;C0+C2+ Cn= 2n; 式+戊+= Cn+C3+= 2n 1.2 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1) 求二項(xiàng)式定理中有關(guān)系數(shù)的和通常用“賦值法”(2)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式1+1=dan-rbr是展開式的第r+1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng).3 數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步， 第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ)) 證明當(dāng) n 取第一個值n0( n0C N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n=k(k>n0, kCN*)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從no開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可4 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用(1) 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)

3、恒等式的關(guān)鍵是將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式， 然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論(2) 利用數(shù)學(xué)歸納法證明三角恒等式時， 常運(yùn)用有關(guān)的三角知識、 三角公式， 要掌握三角變換方法 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時，在由 n=k成立，推導(dǎo)n= k+1成立時，過去講的證明不等式的方法在此都可利用(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時，可把n=k+1時的被除式變形為一部分能利用歸納假設(shè)的形式，另一部分能被除式整除的形式.(5) 解題時經(jīng)常用到“歸納猜想證明”的思維模式【題型示例】題型一二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例1】(四川，2,易)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為()A. - 1

4、5x4 B. 15x4 C. - 20ix4 D. 20ix4【答案】A【解析】: Tr+i = C6xr(i)6一，含 x4 的項(xiàng)為 T5=c6x4i2=- 15x4.【舉一反三】(新課標(biāo)全國I, 10)(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A. 10 B. 20 C. 30 D. 60解析 Tk+1 = C5(x2 + x)5 kyk,k= 2. C2(x2+x)3y2 的第 r+1 項(xiàng)為 C5C3x2(3 r)xry2, .2(3-r)+r= 5,解得 r= 1,x5y2 的系數(shù)為 C5c1 =30.答案 C【變式探究】(1)( 遼寧五校聯(lián)考)若出+馬n展開式中只有第6項(xiàng)的二

5、項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開 x式的常數(shù)項(xiàng)是()A. 360 B. 180C. 90 D . 45(2)( 浙江)在(1 +x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f ( ni n),則f(3,0) +f(2,1) +f(1,2) + f (0,3)=()A. 45 B . 60C. 120D. 210【命題意圖】(1)本題主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、系數(shù)問題，對思維能力有一定要求.(2)本題主要考查二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題，需要考生結(jié)合二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解.【答案】(1)B(2)C【解析】(1)展開式中只有第曰項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大則展開式總共11頊所以-1。1逋頂公式為；所以時,常數(shù)項(xiàng)為190.由期

6、意知,f 出 l)=C2fiCl%=CiaC24, g3)=C06C% 因此十血 2)+ ftoj 3)=120 J 故選 C.【感悟提升】二項(xiàng)式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種思路：一是利用恒等定理(兩個多項(xiàng)式恒等，則對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等)；二是賦值，這兩種思路相結(jié)合可以使得二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題迎刃而解.另外，通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù)，求滿足條件的項(xiàng)或系數(shù)，求展開式的某一項(xiàng)或系數(shù)，在運(yùn)用公式時要注意以下幾點(diǎn): (1)C nan-rbr是第r + 1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；(2)運(yùn)用通項(xiàng)公式 Tr+inCan-rbr解題，一般都需先轉(zhuǎn)化為方程 (組)求出n, r,然后代入通項(xiàng)公式求解；(3)求

7、展開式的特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出r,再求出所需的某項(xiàng)；有時需先求n,計(jì)算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.【舉一反三】1.(北京，9)在(2 + x)5的展開式中，X3的系數(shù)為 (用數(shù)字作答).解析 展開式通項(xiàng)為：Tr+i = C525 rxr, 當(dāng)r=3時，系數(shù)為C3 25 3= 40.答案 401 62.(天津，12)在x- 的展開式中，x2的系數(shù)為 .X解析 X； 的展開式的通項(xiàng) Tr+1= c6x6 r=C6x6 2r；4x4x4當(dāng)62r = 2時，r=2,所以x2的系數(shù)為 1 2 15C2C6416.15答案-【變式探究】已知 an=(1 +>/2)n(n

8、N)(1)若 an= a+6/2(a, be Z),求證：a 是奇數(shù)；(2)求證：對于任意 ne N*都存在正整數(shù)k,使得an=M7 +#.【證明】S)由二項(xiàng)式定理,得為二己一段域+比/4)'+亡(仍-+所以占二C十。"或+。：(版)'+=I + 2C：+ 2'C十因?yàn)槭珻：十,為偶數(shù)，所以a是奇數(shù).由設(shè)餐二(1 +/)=升帥6則(1 一/)'二甘一味，所以合一弱=大升肌8(6-打8=(1 +/產(chǎn)(1 一市/二(1-2)當(dāng)門為偶掰寸P呂=2廿+ >存在片=上使得品=升8而=迎+出手=#+#二L 當(dāng)門為奇數(shù)時F呂=2一1,存在彌=2凡使得田=z+

9、帥=,+也孑=小三十嗜 綜上口對于任意門即，都存在正整數(shù)上使得&=仁【規(guī)律方法】 二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)與展開式系數(shù)的最大項(xiàng)不同，本題白第r + 1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C8,而展開式系數(shù)卻是 2rd,解題時要分清.【變式探究】已知數(shù)列an的首項(xiàng)為 1, p( x) = a1C0(1 -x)n+ a2Cnx(1 x) “一 + a3C2x2(1 x) “-2+ anCnTxnT(1 x) + a+1Cxn(1)若數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，求 p( 1)的值；(2)若數(shù)列an是公比為2的等差數(shù)列，求證：p(x)是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式.【解析】解法一由題設(shè)知，an=2ni.p( -1) =1 C

10、0( 1)0 2n + 2 C n(十1 2 1+22 C2( 1)2 2-2+ + 2n cn( - 1)n 20= C (-2)0 - 2n+Cn(-2)1 - 2n-1 + C2(-2)2- 2'2+-+ Cn( -2)n - 20=( -2+2)n=0.法二 若數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，則an=2ni,故p(x)=d(1 -x)n+Cn(2x)(1 -x)n 1+ C2(2 x) 2(1 x)n 2+ CQx)1。-x) +Cn(2x)n = (1 -x)+2xn=(1 +x)n.所以 p(-1) =0.(2)證明 若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，則an=2n1.p(x)

11、=a1C°(1 -x)n+ a2Cnx(1 x)n1 + anCnxn 1 - (1 - x) + an+1Cnxn=C0(1 -x)n+(1 +2)C1x(1 -x)n 1+(1 +4)02x2(1 x)n 2+ (1 +2n)Cxn=C0(1 -x)n+01nx(1 -x)n 1+02x2(1 x)n 2+ Cnxn + 2Cnx(1 -x) n 1 + 202x2(1 x)n 2+Cnxn.由二項(xiàng)式定理知，d(1 x)n+dx(1 x)n1+Cx2(1 x)n 2+ Cnxn = (1 -x) +xn=1. kn!n-1!k 1因?yàn)?kCn=k , t r;-= n- r

12、9; r -=nCn 1,k!nk!k-1!nk!'所以 Cx(1 x) n1+2C2x2(1 x) 2+ nCnxn=nC! 1x(1 x) n 1+ nCn 1x2(1 - x)n 2+ nCn11xn=nxC0 1(1 x) n1 + Cn 1x(1 x)n 2+ Cn 1xn1=nx(1 -x) + xn 1 = nx,所以 p(x) = 1 +2nx.即p(x)是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式.題型二二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)例2. ( 北京，10,易)在(1 2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答)【解析】 由已知得，Tr+1 = C6( 2x)6-r=C6-(一2產(chǎn)r-x6-r.

13、令6-r=2,得r=4,所以丁5=C4(-2)2x2= 60x2,故 x2 的系數(shù)為 60.【答案】60【舉一反三】(課標(biāo)I , 14,易)(2x+5)5的展開式中，x3的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案)【解析】(2x+7)5 的展開式的通項(xiàng) Tr+ 1=C5(2x)5-r (Yx)r=25-r C5x5 ：.令 5-1 = 3,解得 r = 4.，x3 的系數(shù)為 25404 = 2X5=10.【答案】10【變式探究】(湖南，6)已知 小一15的展開式中含x|的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a =()A.艱B.艱 C. 6 D. 6解析的展開式通項(xiàng)界n二C5r二%ly/ x2=( 1)"胃一廣， 則

14、 r=l."二/oCS=30j ：m二 一心故選 口一答案D【變式探究】使得3x+ + (nC N+)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的 x xn為()A. 4 B. 5C. 6 D. 7解析 展開式的通項(xiàng)公式為Tk+ i=d(3x)k+ k=Cn3n-kxn 要由n等=0得n = 5k,所以當(dāng)xfx222k=2時，n有最小值5,選B.答案 B一一x- J, x<0, 一 , 【舉一反三】 設(shè)函數(shù)f(x)=x ， ，則當(dāng)x>0時，ff(x)表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(一而，x>0.A. 20 B. 20C. 15 D. 15解析 當(dāng)x>0時，ff(x) = x+，x

15、= Jx7x的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為C620.所以選A.答案 A題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例3. ( 山東,12,易)若ax2+25的展開式中x5的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)a =15一一 r 一20 5r 20- 5r【解析】ax2+jx展開式的通項(xiàng)為Tr+1=c5(ax2)5rx 1= C5a5rx包，令202區(qū)=5,得 r=2.所以 C5a3=-80,解得 a=-2.【答案】-2【舉一反三】(天津，10,易)x21 81的展開式中x7的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)【解析】 方法一：由組合原理得, c式'二一5&力的系數(shù)為一 5后方法二：；"】二0(邑)，T“i=C- 1)噂？城令

16、 16-3A=7,得擊=3lJ3CixT=-56x,/的系麴為一跖一【答案】-56【變式探究】(陜西，4)二項(xiàng)式(x+ 1)n(nC N+)的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=()A. 4 B. 5C. 6 D. 7解析由題意易得：Cn2=15,cn2=C2=15,即 n(n21)=15,解得n=6.答案 C【變式探究】(湖北，2)若二項(xiàng)式2x+a 7的展開式中4的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a=()xxA. 2B.5/4C. 1 D*a r1解析 Tr+1 = Cz (2x)7 r x = 27-rc7arx27_7.令 2r- 7=3,則 r = 5.由 22 C5a5= 84 得 a= 1,故選 C

17、.答案 C【舉一反三 【(浙江，5)在(1 + x)6(1 + y)4的展開式中,記乂1項(xiàng)的系數(shù)f(m, n),則f(3, 0)+ f(2,1) + f(1, 2) + f(0, 3)=()A. 45 B. 60 C. 120D. 210解析 在(1+x)6的展開式中，xm的系數(shù)為C在(1 + y)4的展開式中，yn的系數(shù)為C4,故f(m,n)=CmCn.從而 f(3, 0) = C6= 20, f(2, 1)=C6c4=60, f(1, 2)=C6C2=36, f(0, 3)=C3=4,故選C.答案 C題型四數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例4、(湖北理，22, 14分)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，1 nb

18、n=n1 + n an(nCN+), e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f(x) = 1 + x ex的單調(diào)區(qū)間，并比較 1 + nn與e的大小;(2)計(jì)算處，些竺，由此推測計(jì)算b1b2bn的公式，并給出證明; a1 aa2 a1a2a3a1a2an1令Cn=(aia2an)另數(shù)列an,Cn的前n項(xiàng)和分別記為3,Tn,證明：Tn<eS.-I【解析】 式動的定義域?yàn)?一8, +8), F 5 = Le當(dāng)產(chǎn)即ZOB尢單調(diào)遞熔 當(dāng) W<C,即心。時,色的單調(diào)遞遍.故的單調(diào)遞增區(qū)間為( 80),單調(diào)遞減區(qū)間為(0+8).當(dāng) “>。時/(j)<rto)=o,即 i+MI 得即fl

19、+ 工Jbi(2) -= 1 - 1+ta111= 1 + 1 = 2;b1b2b1b2=. = 2 a1a2a1a21+2 2=(2 +1)2= 32;b1b2b3b1b2a1a2a32加b3-=3 - 3 a31 31+3 =(3+1)3=43.3由此推測：署U =(n+Dn. 卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n= 1時，左邊=右邊=2,成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k>1, kCN+)時，成立,G=(k+1)k.當(dāng)戶"1 時,bk+Ik+D 1+ 士k+ 1ak+1,b1b2 bkbk+1 b1b2 bk 由歸納假設(shè)可得aFi =kbk+ 1ak+i= (k+ 1)k (k+1) 1+ 上

20、k+1= (k+2)k+1所以當(dāng)n=k+1時，也成立.綜上，可知對一切正整數(shù) n都成立.(3)證明：由Cn的定義，算術(shù)一幾何平均不等式，b的定義及得Tn= Cl + C2+C3+ Cn1111=(a。彳+ (8182)2+ (aa2a3)3+ (aa2an) n1111(b) 1 (bbO 2 (bb2b3) 3(bb2bn) n=2+3+4+ +nT!b1 b1 + b2 b + b2+ b3b1 + b2+ + bn7 1X2 +2X3 +3X4h+ n (n+ 1)-1,1,11 I1,1(n+1)-bi 1X2+2X3 + +n(n+1)+ b2 2X3+3X4 + +1+ + bnn

21、 (n+1)=b111 n+ 11n+ 1+ + bn117n n+1b1b2<Y + 2+- +bnn=1 +1 ad 1 + 1 a2+ 11- an 12n<ea1+ea2+ + ean = e$.即 Tn<eS.【變式探究】等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Si,已知對任意的nCN+,點(diǎn)（n, Sn）均在函數(shù)y=bx+ r（b>0且bw b, r均為常數(shù)）的圖象上.（1）求r的值；(2)當(dāng)b = 2時，記bn = 2(log 23 + 1)( n C M),證明：對任意的n C M,不等式bd 1b2+ 1b1,b2bn+ 1丁g 成乂.【解析】（1）由題意，Sn=bn+

22、r,當(dāng) n>2 時，S1 = bnT+r.所以 an=Sn-Sn 1=bn 1（b-1） .由于b>0且b*1,所以n>2時，an是以b為公比的等比數(shù)歹U.又 a1 = b+r, a2=b(b1),a2. b b 1,.一= b,即=b,解得 r = 1.a1b+ r(2)證明：由(1)知 a-2-L,2口+12門1.因此九二2力5Elk),2+1 4+1 所證不等式為巖,牛JnZ當(dāng)?shù)?時，左式=右式=業(yè)左式右式，所以結(jié)論成立.假設(shè)n= k( k> 1,ke N+)時結(jié)論成立，即4+142k+ 1 d-F> 鄧+1,則當(dāng)n=k+1時，2k2+1 4+12k+12k

23、+ 3i7r2k+32k+ 32 . 4 2k , 2 k+1 - >«k+ 1 . 2kTi- = 2k+11要證當(dāng)n= k+1時結(jié)論成立,只需證2k+ 32派工1即證2k+3由基本不等式知2k+3k+1 + k+27kT1k+2 成立,.,2k+ 3r 故 21k j 封 Y k + 2成乂,所以，當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立., _ ,b +1由可知，ne NM不等式b1b2+ 1b2bn+ 1成立.【感悟提升】 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證門=卜+1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.【變式探究】記N*.(1)求 an；X 一 2十dix x21+或1+了的展開式中，x的系數(shù)為an, x的系數(shù)為bn,其中nC1Pq*(2)是否存在常數(shù)p, q(pvq),使bn=3 1 + 了 1 + ,對n N, n>2恒成立？證明你的結(jié)論.t解折】仁)根娓妥3式乘法運(yùn)算法則,得1 1 1_ 1 戔=5+3+'"+矛=i 一亍17(2)計(jì)算得缶=一比=布.代入瓦=如小+3解得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 瓦邛一