1、北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)第七章平行線的證明7.5 三角形內(nèi)角和定理第一課時青海省海東市平安區(qū)第二中學(xué) 郭延菊一、教材分析一、教材的地位與作用：本節(jié)是北師大版教材八年級上冊第七章平行線的證明第五節(jié)的內(nèi)容。通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對于平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及與平行線相關(guān)的簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經(jīng)具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力。本節(jié)課旨在利用平行線的相關(guān)知識來證明三角形的內(nèi)角和定理以及靈活運用這個定理解決相關(guān)問題，使學(xué)生突破原有的形象思維限制，引入幾何證明中的重要方法添加輔助線法，從而為下一節(jié)三角形外角的學(xué)習(xí)作好鋪墊，同時也為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)幾何證明打下良好的基礎(chǔ)。

2、因此，本節(jié)課的內(nèi)容在教材編排上起著承上啟下的重要作用。二、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，靈活運用三角形內(nèi)角和定理解決相關(guān)問題。過程與方法：經(jīng)歷探索與證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生探索、歸納的能力，一題多解的能力、轉(zhuǎn)化知識并解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力。 情感、態(tài)度、價值觀：初步體會思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生個性發(fā)展，使學(xué)生體驗到解決問題的成就感，體會“合作雙贏”的理念。三、教學(xué)重點、難點重點：探索三角形內(nèi)角和定理的證明過程及其簡單的應(yīng)用。難點：在三角形內(nèi)角和定理的證明過程中正確添加輔助線。二、學(xué)情分析學(xué)生技能基礎(chǔ)：學(xué)生在以前的幾何學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行線的判定定理與性質(zhì)定理以及它們

3、的嚴(yán)格證明，也熟悉三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，他們已經(jīng)具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力。而本節(jié)課是建立在學(xué)生掌握了平行線的判定定理與性質(zhì)定理以及它們的嚴(yán)格證明的基礎(chǔ)上展開的，因此，學(xué)生具有良好的基礎(chǔ)?；顒咏?jīng)驗基礎(chǔ)：本節(jié)課主要采取的活動形式是學(xué)生非常熟悉的自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生具有較熟悉的活動經(jīng)驗。三、教法和學(xué)法教法：教師采用點撥的方法，啟發(fā)學(xué)生主動思考，嘗試運用多種方法來證明三角形的內(nèi)角和定理，使整個課堂生動有趣，極大限度地培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、歸納解決問題的能力，表達(dá)新課程標(biāo)準(zhǔn)中的知識與技能、過程與方法及情感、態(tài)度與價值觀的統(tǒng)一。學(xué)法：教學(xué)中逐步設(shè)置疑問，

4、讓學(xué)生動手、動腦、動口、合作探究，積極參與知識獲取的全過程，滲透多觀察、多動腦的研討式學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和合作探究精神，運用已有知識和經(jīng)驗，通過交流、類比、轉(zhuǎn)化、證明等方法尋找解決問題的途徑和策略。四、教學(xué)過程：本節(jié)課的設(shè)計分為五個環(huán)節(jié)：情境引入、探索求知合作學(xué)習(xí)、證明定理例題解析、活用知識反饋練習(xí)、拓展延伸課堂小結(jié)、布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：情境引入、探索求知開場白：同學(xué)們，今天我們來學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和定理。或許有同學(xué)會說：“老師，老掉牙了，地球人都知道！”沒錯，今天的內(nèi)容確實很簡單。但如果大家能在特別簡單的知識中挖掘出更有價值的知識，那么你們將是最棒的！下面我們一起來進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)

5、中來?；顒觾?nèi)容：1、 舊知回憶、引入新課：問題1：你知道三角形的三個內(nèi)角之間存在怎樣的關(guān)系嗎？由于學(xué)生在以前學(xué)過這個知識點，所以很輕松地就可以答出。問題2：你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?設(shè)計意圖：愛因斯坦說過：“問題的提出往往比解答問題更重要”，上課開始，我通過提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。教學(xué)效果：學(xué)生能夠很快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，從心理上感知這節(jié)課的內(nèi)容很簡單，排除學(xué)生對幾何證明的害怕情緒。2、動手操作、初步感知：讓學(xué)生分小組討論：有什么方法可以驗證得出這樣的結(jié)論。學(xué)生會提出度量、撕拼或折疊的方法，然后讓每個學(xué)生用準(zhǔn)備好的三角形卡片將它的內(nèi)角撕下，試著拼折看。通過小組合作交流最后師生共同歸納總結(jié)拼

6、圖方法。實驗1：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。指名同學(xué)上臺展演，其他同學(xué)互相展示；對于不同拼法要給于鼓勵和肯定。等撕拼展示的同學(xué)完成后，還可讓其他同學(xué)對照模型圖抽象出幾何圖形，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維意識和細(xì)心觀察、善于發(fā)現(xiàn)問題之關(guān)鍵的能力。撕拼驗證三角形的內(nèi)角和為180°的基本方法如下所示：由以上拼法可以讓學(xué)生抽象出三種幾何圖形，使學(xué)生由形象思維過渡到理性思維實際上是三種證法，為第二環(huán)節(jié)定理的證明做好充分準(zhǔn)備：ABCDE 實驗2：將三角形的三個角折拼成一個平角。小組交流后再展示，指定一位同學(xué)帶領(lǐng)大家一塊兒完成折疊過程。老師故意折錯，使三個頂點不重合在一起，旨在讓學(xué)生理解折

7、疊的實質(zhì)在于折痕與底邊是平行的，進(jìn)而為添加輔助線作平行線埋下伏筆。具體方法：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行圖6381然后把另外兩角相向?qū)φ郏蛊漤旤c與已折角的頂點相嵌合圖2、3，最后得圖4所示的結(jié)果。試用自己的語言說明這一結(jié)論的證明思路1 2 3 4設(shè)計意圖：比照度量、撕紙、拼折等探索過程，讓學(xué)生體會思維實驗和符號化的理性作用。將自己的操作轉(zhuǎn)化為符號語言對于學(xué)生來說還存在一定困難。但撕拼圖和折拼示意圖中的平行線為學(xué)生搭建了一個臺階，使學(xué)生想到把平行線的判定定理逆變成性質(zhì)定理作平行線構(gòu)造同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角或平角來證明。教學(xué)效果：說理過程是學(xué)生所熟悉的，因此，

8、學(xué)生能比較熟練地說出用度量、撕紙、折疊的方法可以驗證三角形內(nèi)角和定理的原因構(gòu)造一個平角，為后面添加輔助線證明定理做好鋪墊。第二環(huán)節(jié)：合作學(xué)習(xí)，證明定理活動內(nèi)容：教是為學(xué)服務(wù)的，教的最終目的是為了不教，教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法比單純教給學(xué)生證明更有效。教師設(shè)問：從剛剛的活動過程中，你能說出證明：“三角形內(nèi)角和等于180°”這個結(jié)論的正確方法嗎？1、把你的想法與同伴交流。2、各小組派代表展示說理方法。3、請同學(xué)們讓小明的想法變成現(xiàn)實。探究：剛剛的撕紙、折紙都是把三角形的三個內(nèi)角移到一起，如果不實際移動A和B，你有什么方法可到達(dá)同樣的效果？根據(jù)前面的公理和定理，你能用自己的語言比較簡捷的寫出這一證

9、明過程嗎？與同伴交流，比比哪一個小組的方法好？ 已知：ABC 求證：A+B+C=180°在證明中，當(dāng)原來的條件不夠時，可添加輔助線，從而構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到已知與未知橋梁，把問題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會解的情況，這是解決問題常用的方法之一，輔助線通常畫成虛線。方法總結(jié)：ABCDE方法1：作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯角、平角過A點作DEBCDEBCDAB=B，EAC=C兩直線平行，內(nèi)錯角相等DAB+BAC+EAC=180°BAC+B+C=180°(等量代換)方法2：作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯角、同位角、平角作BC的延長線CD，過點C作射線CEBACEBAB=ECD兩直線平行，同位角相

10、等A=ACE兩直線平行，內(nèi)錯角相等BCA+ACE+ECD=180°A+B+ACB=180°(等量代換)3、課本“想一想”中小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實，由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?添加輔助線思路：構(gòu)造平角或平行線 學(xué)生講解或老師講解，了解即可方法3：作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角過點A作ADBC如圖ADBC，1=C，DAB+ABC=180°BAC+B+C=DAB+ABC=180°方法4：作平行線，構(gòu)造同位角、內(nèi)錯角、平角如圖，在BC邊上任取一點D，過D作DEAB交AC于E，作DFAC交AB于FDEAB1=B，2=4DFAC3=C，A=42=A又1+2+

11、3=180°A+B+C=180°方法5：作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角如圖，過點A任作一條射線AD，再作BEAD，CFADBEADCF，1=3，2=4，EBC+BCF=180°BAC+ABC+ACB=EBC+BCF=180°設(shè)計意圖：通過小組討論，讓學(xué)生各抒已見，暢所欲言，鼓勵學(xué)生傾聽他人的方法，從中獲益；有意識地培養(yǎng)學(xué)生的說理能力、邏輯推理能力、語言表達(dá)能力以及一題多思、一題多解的創(chuàng)新精神，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)輔助線的橋梁作用，在潛移默化中滲透初中階段一個重要數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，為學(xué)好初中數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)。教學(xué)效果：添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結(jié)論，

12、需要引用某個定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創(chuàng)造條件，以到達(dá)證明的目的。第三環(huán)節(jié)：例題解析、活用知識活動內(nèi)容：例題1：如圖，在ABC中，B=38°,C=62°，AD是ABC的角平分線，求ADB的度數(shù)？ AC B D 分析：要求ADB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知道B和BAD的度數(shù)，BAD的度數(shù)可以由BAC的度數(shù)得到，而BAC又可以由ABC的內(nèi)角和來得到。設(shè)計意圖：通過例題的解析，讓學(xué)生體會分析問題的基本方法，滲透初中階段另一數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想，靈活運用三角形內(nèi)角和定理來解決問題，到達(dá)活用知識的目的。教學(xué)效果：學(xué)生對于三角形內(nèi)角和定理

13、的掌握是非常熟練，因此，學(xué)生能較好地解決與三角形內(nèi)角和定理相關(guān)的問題，但書寫過程可能會不盡人意。第四環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)、拓展延伸活動內(nèi)容：1、ABC中，C=90°，A=30°，B=？2、A=50°，B=C，則ABC中B=？3、三角形的三個內(nèi)角中，只能有_個直角或_個鈍角。4、任何一個三角形中，至少有_個銳角；至多有_個銳角。5、三角形中三角之比為123，則三個角各為多少度？6、已知：ABC中，C=B=2A。(a)、求B的度數(shù)；(b)、假設(shè)BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù)？設(shè)計意圖：通過習(xí)題，穩(wěn)固三角形內(nèi)角和知識，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性；通過討論一個三角形中最多有幾個直

14、角、鈍角，至少有幾個銳角，以及知道角度之比求角的度和需要學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決第6小題等，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的時間、空間，讓學(xué)生在自主探索、合作交流的氛圍中，有時機分享學(xué)友的想法，培養(yǎng)學(xué)生之間良好的人際關(guān)系，拓展了三角形內(nèi)角和是180°的知識外延。教師能全面了解學(xué)生對三角形內(nèi)角和定理內(nèi)容是否清楚，能否靈活運用三角形內(nèi)角和定理，以便教師能及時地進(jìn)行查缺補漏。教學(xué)效果：學(xué)生對于三角形內(nèi)角和定理的掌握是非常熟練，因此，學(xué)生能較好地解決與三角形內(nèi)角和定理相關(guān)的問題，可能會在書寫過程方面需要老師指導(dǎo)或提醒。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)、布置作業(yè)一、課堂小結(jié)：采用先讓學(xué)生歸納補充，然后教師再補充的方式進(jìn)

15、行：這節(jié)課我們學(xué)了哪些知識？你有什么收獲？1、證明三角形內(nèi)角和定理有哪幾種方法？度量、撕拼、折疊、證明2、輔助線的作法技巧：添加輔助線的實質(zhì)是通過平行線來移動角構(gòu)造平行線間的內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角，構(gòu)造平角。3、三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用。設(shè)計意圖：充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識，培養(yǎng)學(xué)生的語言概括能力。教學(xué)效果：學(xué)生對于三角形內(nèi)角和定理的幾種不同的證明方法的理解比較深刻，并能熟練運用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行相關(guān)證明。二、布置作業(yè)1、課后練習(xí)：課本第179頁隨堂練習(xí)第1、2、3題；2、課堂作業(yè)：第180頁習(xí)題7.6第1、2題或3、4題。設(shè)計意圖：作業(yè)的布置是對本節(jié)課的學(xué)習(xí)作出及時的反饋，有助于學(xué)生了解自

16、己的學(xué)習(xí)情況，便于教師了解學(xué)生掌握的總體情況，可以及時適當(dāng)?shù)膶虒W(xué)作出調(diào)整。教學(xué)效果：分層作業(yè)，讓不同層次的學(xué)生都能體驗成功的快樂！五、板書設(shè)計： 7.5 三角形內(nèi)角和定理一、三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°二、學(xué)生展示的拼圖方法：三、三角形內(nèi)角和定理的證明方法 ：度量有誤差；撕拼、折疊不嚴(yán)謹(jǐn)；證明推理論證、有理有據(jù)添加輔助線構(gòu)造平行線間的內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角或構(gòu)造平角。四、例題或練習(xí)過程的書寫或展示六、教學(xué)反思 三角形的有關(guān)知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內(nèi)容，它不僅是最基本的平面圖形，而且?guī)缀跏茄芯克衅渌鼒D形的工具和基礎(chǔ)。而三角形內(nèi)角和定理又是三角

17、形中最為基礎(chǔ)的知識，也是學(xué)生最為熟悉且能與小學(xué)、中學(xué)知識相關(guān)聯(lián)的知識，看似簡單，但如果處理不好，會導(dǎo)致學(xué)生有厭煩心理。因此本節(jié)課的設(shè)計力圖實現(xiàn)以下特點：1、通過撕拼與折紙等操作讓學(xué)生獲得直接經(jīng)驗，然后從學(xué)生的直接經(jīng)驗出發(fā)，逐步轉(zhuǎn)到符號化處理，最后到達(dá)推理論證的目的。2、充分展示學(xué)生的個性，表達(dá)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人”這一主題。3、本節(jié)的難點是添加輔助線，應(yīng)該大膽放給學(xué)生去交流討論，并展示出自己的思維過程。本節(jié)課我注重了三角形內(nèi)角和定理的證明的推導(dǎo)過程，在這個過程中留給學(xué)生充足的時間進(jìn)行不同證明方法的嘗試，旨在發(fā)散學(xué)生的思維，穩(wěn)固、標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生的證明過程，為今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。本節(jié)課采取了盡量讓學(xué)生自己探究、自己發(fā)現(xiàn)、自己交流、自己總結(jié)的方法，讓學(xué)生在探究過程中感受收獲的喜悅，體驗解決問題的成就感和“合作雙贏”的理念，從而實現(xiàn)本節(jié)課的情感目標(biāo)。在三角形內(nèi)角和定理的探究這一環(huán)節(jié)，學(xué)生很感興趣，探究比較積極，通過小組探究、交流，最終都能得出正確的結(jié)論，基本到達(dá)預(yù)期效果。但學(xué)生的思維受定式影響，探究的途徑受到約束，說理的過程還不是很標(biāo)準(zhǔn)，部