1、第九節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差(最新考綱】h理薛礙有限個(gè)爭(zhēng)的高敷型隨機(jī)變1:的均值、方差的龜念；比合求簡(jiǎn)單再址笙拔機(jī)毎的均值*方苣*井 催利用富懶型隨機(jī)變的均值*方釜槪怎解決一些簡(jiǎn)草實(shí)踴問(wèn)題.夯實(shí)取基1©基礎(chǔ)梳理1. 離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(E= Xi) = Pi, i= 1, 2,，n(1) 均值：稱 E(X) = Xi pi + X2P2+ XiPi + + xnpn 為隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望.n(2) 方差：稱D(X) = 1 (Xi E(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算i = 1術(shù)平方根D (X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.2. 均值與

2、方差的性質(zhì)(1) E(aX + b)= aE(X) + b.(2) D(aX + b) = a2D(X) (a, b 為常數(shù)).3. 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點(diǎn)分布E(X) = pD(X) = p(1 p)X B(n, P)E(X) = npD(X) = np(1 p)|學(xué)情自測(cè)1. (質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“"”，錯(cuò)誤的打 “X” )(1) 期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無(wú)關(guān).()(2) 隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.()(3) 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值

3、的平均程度越小.()(4) 在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，如果某 運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為 0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是 07()答案：(1)x (2)V (3)V (4)X2 .已知X的分布列為()X-101P111236設(shè)Y = 2X + 3,貝S E(Y)的值為()7A.3B. 4C. - 1 D. 111 1解析：E(X) = -2 + 6=- 3,E(Y) = E(2X + 3)= 2E(X) + 3=- f + 3=答案：A3.已知某一隨機(jī)變量 X的分布列如下，且E(X) = 6.3,則a的值為()X4a9P0.50.1bA5 B. 6C. 7 D. 8解析

4、：由分布列性質(zhì)知：0.5+0.1 + b= 1,/b= 0.4.二 E(X) = 4X 0.5 + a 0.1+ 9 x 0.4= = 7.答案：C4. (2015廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n, p).若E(X)=30, D(X) = 20,貝卩 p=.解析：由于 XB(n , p)，且 E(X) = 30, D(X) = 20,np= 30,1所以解之得p = 3.Inp (1 p)= 20.31答案：；5. (2016河北唐山調(diào)研)某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為社區(qū)志愿者，若用隨機(jī)變量E表示選出的志愿者中女生的人 數(shù)，則隨機(jī)變量E的數(shù)學(xué)期望E(E =(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)

5、表示).C210解析：隨機(jī)變量E只能取0,1,2三個(gè)數(shù)，因?yàn)镻( = 0) = C2 = 10,c5c； 10氏丄P( = 1)= C7 = 21, P( = 2)=c2 = 21.皿10 X 4故 E( S = 1 x 21 + 2x 21 = 7.答案：4名師微博通法領(lǐng)悟 三條性質(zhì)1. E(ax + b) = aE(x) + b, D(ax + b) = a2D(x)(a , b 為常數(shù)).2. 若X服從兩點(diǎn)分布，貝S E(X) = p, D(X) = p(1 p).3. 若X服從二項(xiàng)分布，即 XB(n, p)，則E(X) = np, D(X)= np(1 p).三種方法1. 已知隨機(jī)變量

6、的分布列求它的均值、方差，按定義求解.2. 已知隨機(jī)變量E的均值、方差，求E的線性函數(shù)n= aE+ b的 均值、方差，可直接用E的均值、方差的性質(zhì)求解.3. 如果所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布 等)，利用它們的均值、方差公式求解.蟲劇讒高效提能1 _ _狀集訓(xùn)I單城成冊(cè)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1 . (2016茂名第二次模擬)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為( )X01Pa2 a_22則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()1A. 2B. 2 或21C2 D. 1a a2解析：由分布列的性質(zhì)，2+2 = 1,/a= 1.111故 E(X) = 2X 0+ 2X 1 = 2答案：C2. (20

7、14陜西卷)設(shè)樣本數(shù)據(jù)X1, X2，X10的均值和方差分別為1和4,若y1 = Xi + a(a為非零常數(shù)，i = 1,2,，10),則y ,核， y10的均值和方差分別為()A. 1 + a, 4 B. 1 + a, 4+ aC. 1, 4 D. 1, 4+ a解析：二 E(y)= E(X) + a= 1+ a, D(y) = D(x) = 4.答案：A3. 已知隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，且 E(X) = 2.4, D(X) = 1.44,則二項(xiàng)分布的參數(shù)n, p的值為()A. n = 4, p = 0.6 B. n= 6, p= 0.4C. n = 8, p = 0.3 D . n= 24

8、, p= 0.1解析：由二項(xiàng)分布 XB(n, p)及 E(X) = np, D(X) = np(1 p) 得 2.4= np,且 1.44= np(1 p),解之得 n= 6, p = 0.4.答案：B4. 罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后再 放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則 X的方差D(X)的值為（）c.8d.學(xué)解析：因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?，所以每次摸球（試?yàn)）摸得紅球（成功）3的概率均為5,連續(xù)摸4次（做4次試驗(yàn)），X為取得紅球（成功）的次數(shù)， 則XB4, 3 ,3（31 24D（X） = 4X 5X3卜24答案：B5. 口袋中有5只球，編號(hào)分別為1, 2, 3,

9、 4, 5,從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則 X的數(shù)學(xué)期望E（X）的值是（ ）A. 4 B. 4.5C. 4.75 D. 51 1解析：由題意知，X可以取3, 4, 5, P（X = 3）= C3= 10,c2 3c2 6 3p（x=4）=C3=io, p（x=5）=c3=io= 5,133所以 E（X） = 3X 代+ 4X 代+ 5X 5= 4.5.答案：B二、填空題6.已知X的分布列為X101P11a26設(shè)Y = 2X + 1,則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是.解析：由分布列的性質(zhì)，a=i26=3，1111-E(X) = np= 3“= 2,.n= 6, X 2+ 0X

10、67;+ 1X 3= g,2因此 E(Y) = E(2X +1) = 2E(X) + 1= 32答案：2(們7. (2016青島模擬)設(shè)X為隨機(jī)變量，XB n, §丿，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) = 2,貝S P(X = 2)等于.(1則 P(X = 2) = c214= J03 = 243.答案:80243解析：由XBn, 3 L E(X) = 2,得8. (2014浙江卷)隨機(jī)變量E的取值為0, 1, 2若P( = 0)=1,E( E=1,則 D(E=,解析：設(shè)P(片1)=a, P(片2)= b,+a+ b= 1,a = 5，則5解得 彳a+ 2b= 1,b= 5，1352所

11、以 D(E)5 + 5x 0+ 5x 1 = 5.2答案：25三、解答題9.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立.(1) 求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率；(2) X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車 主數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.解：(1)設(shè)“購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”為事件A, “購(gòu)買乙種保險(xiǎn)”為事件 B, “該地車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種”為事件C.由已知條件 P(A) = 0.5, P(BA) = 0.3,又C = A +BA,且A與BA互斥，P(C) = P(A) + P(BA

12、) = 0.5 + 0.3= 08因此該地車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率為0.8.(2)設(shè)“該地車主甲、乙兩種保險(xiǎn)均不購(gòu)買”為事件D，則D = C,P(D) = 1 P(C) = 1 0.8 = 0.2,由于 XB(100, 0, 2),所以X的數(shù)學(xué)期望 E(X) = 100X 0.2 = 20.10 .一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中 4張卡片上 的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)是2,2張卡片上的數(shù)字是3從盒中任取 3張卡片.(1) 求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2) X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求 X的分布列與數(shù) 學(xué)期望.(注：若三個(gè)數(shù)a, b, c滿足a&l

13、t; b< c,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中 位數(shù))解：(1)設(shè)“所取3張卡片上的數(shù)字完全相同”為事件A. 則事件A發(fā)生時(shí)，則3張卡片的數(shù)字均是2或均是1.C： + C3 5由古典概型，P(A) = C3= 84(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1, 2, 3,貝Sc4c5 + c4 17c7c2 1P(X =1) = c9= 42, P(X = 3)= c3 = 12，c!cic2+ c2c6+c3 43P(X = 2) =c9= 84，17143或 P(X = 2)= 1-P(X = 1)-P(X = 3) = 1-42 12= 84.故X的分布列為X123P17231228212174314

14、7從而 E(X) =1 X 厶？+ 2 x 84 + 3 X 佃=2&B級(jí)能力提升1. 從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨 機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知E(X) = 3, 則 D(X)=()a5b5c5d5L3解析：由題意，XB5, m + 3j又 E(X)=空3 = 3,/m= 2. m+ 3貝卩 XB5, 5故 D(X) = 5X3x J-55.答案：B2. (2016青島調(diào)研)某項(xiàng)游戲活動(dòng)的獎(jiǎng)勵(lì)分成一、二、三等獎(jiǎng)且 相應(yīng)獲獎(jiǎng)概率是以a1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，相應(yīng)資金是以 700元為首項(xiàng)，公差為-120元的等差數(shù)列，則參與該游戲獲得資

15、金 的數(shù)學(xué)期望為 .解析：由概率分布性質(zhì)+ 2a1 + 2a1= 1,1a22 a1= 7,從而 2a1 = 7, 4a“ = 7.因此獲得資金E的分布列為E700560420P124777124 E( E手700X 7+ 560X 7+ 420X 7= 500(元).答案：5003. (2016鄭州質(zhì)檢)某學(xué)校為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活，以班級(jí)為單位組織學(xué)生開展古詩(shī)詞背誦比賽，隨機(jī)抽取題目，背誦正確加10分，背誦錯(cuò)誤減10分，只有“正確”和“錯(cuò)誤”兩種結(jié)果，其中某2 1班級(jí)的背誦正確的概率為p=3背誦錯(cuò)誤的概率為q=5,現(xiàn)記“該 班級(jí)完成n首背誦后總得分為Sn”.(1)求 Se= 20且0(i

16、= 1, 2, 3)的概率;記E=|S5|,求E的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：當(dāng)S6= 20時(shí)，即背誦6首后，正確4首，錯(cuò)誤2首.若 第一首和第二首正確，則其余 4首可任意背誦對(duì)2首.第一首正確，第二首背誦錯(cuò)誤，則第三首背誦正確，其余 3首可任意背誦對(duì)2首.儀 2 i l2 2 1 2 2 12故所求的概率p=yC22r 3c3因?yàn)镋=|S5|的取值為10, 30, 50.i3 丿 一81'P( = 30) =1 + C1所以 P(片 10)= c3(2咼+ C23P13=40；p（牛 50）= c5 甞 + c5：=81.所以E的分布列為103050P403011818181-403011

17、1 850所以E仁弄10X亦+ 30X浙+ 50X81 = -廠熱I點(diǎn)I探I究概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)題高考導(dǎo)航J>»1. 概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)內(nèi)容， 處理問(wèn)題的方式、 方法體現(xiàn)了較高的思維含量.該類問(wèn)題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué) 生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力.2. 概率問(wèn)題的核心是概率計(jì)算.其中事件的互斥、對(duì)立、獨(dú)立 是概率計(jì)算的核心，排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具， 統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的核 心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和 樣本的數(shù)字特征，但近兩年全國(guó)課標(biāo)卷突出回歸分析的考查.3. 離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的考查是歷年高

18、考的重點(diǎn)， 難度多為中低檔類題目，特別是與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容滲透，背景新穎，充分體»>現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性.熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例以實(shí)際生活中的事例為背景，通過(guò)對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、抽象 概括，作出估計(jì)，判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、 概率等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力.典例某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查， 并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù).（說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于70的 人.飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于 70的人，飲食為肉類為主.）甲（50歲以下）!I乙（50歲以上）12015676 323 7 965 344 5 2858616 7 8

19、 475 85 3 2809（1）根據(jù)莖葉圖，幫助這位學(xué)生說(shuō)明其親屬30人的飲食習(xí)慣;（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2X 2的列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下50歲以上總計(jì)(3)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，你能否認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，并說(shuō)明理由.P(K2 >k。)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附:K2(a+ b)n (ad bc)2(c+ d)( a+ c)(b+ d)解：由莖葉圖知，50歲以下的12人中飲食指數(shù)低于70的有4人，飲食指數(shù)高于7

20、0的有8人.50歲以上的18人中，飲食指數(shù)低于70的有16人，高于70的 只有2人.在其30位親屬中，50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的 人多以食肉為主.列2X 2的列聯(lián)表如下:主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下481250歲以上16218合計(jì)2010302 30 X( 8 -128)(3)由知，因?yàn)?一 12X18X20X10 = 10>6.635.又 P(K請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； 請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性 回歸方程y= bx + a;>6.635)= 0.010.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣 與年齡有關(guān).規(guī)律方法1.

21、將莖葉圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)交匯，背景新穎，求解的關(guān)鍵是理解 莖葉圖提供的數(shù)據(jù)特征.2. (1)本題求解中常見的錯(cuò)誤：不理解莖葉圖反映的數(shù)據(jù)信息；對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想理解不深刻，作出錯(cuò)誤判定.(2)要注意進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，首先提出的假設(shè)是兩者無(wú)關(guān)，所以下結(jié)論應(yīng)注意，避免 錯(cuò)下結(jié)論.【變式訓(xùn)練】柴靜穹頂之下的播出，讓大家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來(lái)，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù) x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析， 得出下表數(shù)據(jù)：x4578y2356(3) 試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù).肝藝£”一? xy_(相關(guān)公式必=

22、 ,a = ybjr)22Zj n jc1解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示.1IL11H.246810 x(2) 工兀x = 4X2 + 5X3 + 7X5 + 8X6=106,=4,乙4+5+ 8 = 6,戶 2 + 3丁 5+6為兀3 4 ry則石=£-4?"1一6 = 一紜丈:工：=4盤 + 5+嚴(yán)+0 = 154,106-4X6X4 "亠-；-1X6：' =1"=，宀=4故線性回歸方程為y= bx +卞=x 2.(3) 由回歸直線方程可以預(yù)測(cè)，燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)為7.熱點(diǎn)2常見概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件

23、的概率是高考的 熱點(diǎn)，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測(cè)度(面積， 體積或長(zhǎng)度)；相互獨(dú)立事件，互斥事件常作為解答題的一問(wèn)考查， 也是進(jìn)一步求分布列，期望與方差的基礎(chǔ)，求解該類問(wèn)題要正確理解 題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰當(dāng)選擇概率公式.典(列"現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè) 游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地 均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加 甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1) 求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2) 求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；用X,

24、Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記 E =|X- Y|,求隨機(jī)變量E的分布列.1解：依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為3，去2參加乙游戲的概率為3設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i = 0, 1, 2,3, 4).則 P(Ai) = C4|3丿訂 (1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率21 222 8P(A2)= C43J 3 = 27.(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B= A3 + A4,且A3與A4互斥,P(B)= P(A 3 + A4)= P(A3)+ P(A4)3 3 24 4 1=CQ 2+ C4i

25、' = 9(3)依題設(shè)，E的所有可能取值為0, 2, 4.且Ai與A3互斥，Ao與A4互斥. 8則 P(片 0)= P(A2)= 27,P(匕 2)= P(Ai + A3)= P(Ai) + P(A3)P(匕 4)= P(A 0 + A4)= P(Ao) + P(A4)«|2 414=C4iJ + C4iJ =1781所以E的分布列是024P8_4017278181規(guī)律方法1.本題4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，由獨(dú)立重復(fù)(1 i(2 4 - i試驗(yàn)，4人中恰有i人參加甲游戲的概率P= C43I3)，這是本題 求解的關(guān)鍵.2 .解題中常見的錯(cuò)誤是不能分清事件間的關(guān)系，選

26、錯(cuò)概率模型, 特別是在第(3)問(wèn)中，不能把 K 0, 2, 4的事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的互斥事 件Ai的概率和.【變式訓(xùn)練】(2015北京卷節(jié)選)A , B兩組各有7位病人，他們 服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天)記錄如下：A 組：10,11,12,13,14,15,16;B 組：12,13,15,16,17,14,a.假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立.從A, B兩組隨機(jī)各選1人， A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙.(1) 求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；(2) 如果a= 25,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率. 解：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”，事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人”，匚

27、1, 2,，7.由題意可知 P(Ai) = P(Bi)= 7, i = 1, 2,，7.(1) 由題意知，事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天”等價(jià)于“甲是 A組的第5人，或者第6人，或者第7人”記為事件A，且A = A5 U A6 LA7.由互斥事件的概率公式，則P(A) = P(AJ + P(A6) + P(Ad = 7.(2) 設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)”.由題意知 C = A4B1 LA5B1 UA6B1 UA7B1 UA5B2 UA6B2 UA7B2 UA7B3 UAgBe LA7B6,因此 P(C) = P(A4Bi) + P(A5Bi) + P(A6Bi) + P(A7B

28、i) + PB?) +P(A6B2)+ P(A7B2)+ P(A7B3)+ P(A6B6) + 卩“6)= 10P(A4Bl)=1010P(A4)P(Bi) = 49熱點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差(滿分現(xiàn)場(chǎng))離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題，屬于中檔題.復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理 解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均 值與方差的關(guān)鍵，對(duì)概型的確定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)， 準(zhǔn)確計(jì)算是解 題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練.典(列3(經(jīng)典母題)(本小題滿分12分)(2016河北各校聯(lián)考)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝

29、兩局者直接贏得比賽，若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的2 1概率為3,乙獲勝的概率為3各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1) 求甲在4局以內(nèi)(含 4局)贏得比賽的概率；(2) 記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué) 期望).規(guī)范解答：用A表示“甲在4局以內(nèi)(含 4局)贏得比賽”，Ak2表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，P(AJ = 3, P(Bk)P(A) = P(A!A2)+ P(BlA2A3)+ P(AiB2A3A4)=P(Ai)P(A2)+ P(Bi)P(A2)P(A3)+ P(Ai)P(B0P(A3)P(A4)2 2 1 2 2

30、 2 1 2 2=3 + 3 3 + 3 3 3X的可能取值為2, 3, 4, 5, 6分P(X = 2) = P(AiA2 )+ P(BiB2)=P(Ai)P(A2)+ P(Bi)P(B2)2f+菲9,7分P(X = 3) = P(BiA2A3)+ P(AiB2B3)=P(Bi)P(A2)P(A3)+ P(Ai)P(B2)P(B3)2¥12八禺+ W = 9, 8分P(X = 4) = P(AiB2A3A4) + P(BiA2B3B4)1212 103 3 3 = 81,=P(AdP(B2)P(A3)P(A4)+ P(BdP(A2)P(B3)P 但4)10分P(X = 5) = 1

31、-P(X = 2)- P(X = 3) P(X = 4)=命故X的分布列為X2345P5210_899818111分E(X)= 2X 9+ 3X 2 + 4X J0 + 5X ；廣 22 分【滿分規(guī)則】規(guī)則1得步驟分：是得分點(diǎn)的步驟，有則給分,無(wú)則沒分，步步為“贏”，求得滿分如第(1)問(wèn)，引進(jìn)字母表示事件，或用文字斜述正確，得 2分； 把事件拆分成A = A1A2 + B1A2A3 + A1B2A3A4，就得2分，計(jì)算概率 值正確，得1分.第(2)問(wèn)求出X的四個(gè)值的概率，每對(duì)一個(gè)得1分; 列出隨機(jī)變量X的分布列得1分.規(guī)則2得關(guān)鍵分：解題過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒分如第(1)問(wèn)，寫出事件“

32、甲在4局以內(nèi)(含 4局)贏得比賽”分解為 “甲在第1, 2局連勝”“甲在第1局輸，第2, 3局連勝”“甲在第 1局勝，第2局輸，第3, 4局連勝”，正確得2分.第(2)問(wèn)，求四 個(gè)概率時(shí)，結(jié)果錯(cuò)誤，即使計(jì)算過(guò)程有步驟也不得分.規(guī)則3得計(jì)算分：解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確，是得滿分的根本保證如第問(wèn)、第(2)問(wèn)中概率值的計(jì)算要正確，否則不得分，分布 列中計(jì)算四個(gè)概率的和是否為1,若和不為1,就有概率值出現(xiàn)錯(cuò)誤 了不得分.【構(gòu)建模板】 求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值.第二步：求第一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率.第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列.第四步：求均值和方差.第五步

33、：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.規(guī)律方法1. (1)求解的關(guān)鍵在于理解“甲在4局以內(nèi)”贏得比賽的含義， 進(jìn)而將事件轉(zhuǎn)化為“三個(gè)互斥事件”的概率和.(2)第(2)問(wèn)中利用對(duì) 立事件求P(X = 5)的概率，簡(jiǎn)化了求解過(guò)程.2. 求解離散型隨機(jī)變量的分布列與期望， 關(guān)鍵要過(guò)好“三關(guān)”：一是“判斷關(guān)”，即依題意判斷隨機(jī)變量的所有可能的取值；二是“求 概率關(guān)”，即利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合內(nèi)容，以及古典概率的 概率公式求隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)的概率；三是“應(yīng)用定義關(guān)”，即列出隨機(jī)變量的分布列，并利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算.【變式訓(xùn)練】 某網(wǎng)站用“ 10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的治安滿 意

34、度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取 16名，以下莖葉圖記錄了他們的治 安滿意度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為 葉).治安滿意度73 0866667788999765 5(1) 若治安滿意度不低于9.5分，則稱該人的治安滿意度為“極安 全”.求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極安全”的概率；(2) 以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)中任選3人，記X表示抽到“極安全”的人數(shù)，求 X 的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.解：(1)設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人是“極安全”，至多有1人是“極安全”記為事件A，則A = Ao+ Ai,且i= 0, 1, 2,

35、3.所以 P(A) = P(Ao)+ P(Ai) = C12 + 筈=需4(2)由莖葉圖可知，16人中任取1人是“極安全”的概率P= 16=111 34,依題意，XB(3, 4),貝“ P(x= k) = Ck(4)k(4)3-k, k= 0, 1, 2,3.所以 P(X = 0)=(4)3 = 64, P(X = 1)=c34(4)2 = 64，2 1 2 391 31P(X = 2) = C3 (4)2 X 4 = 64, P(X = 3) = Q)3 = 64X的分布列為：X0123P2727_9_1646464642727913E(X) = ox 64+ 1X 64+ 2X 64+ 3

36、X 64= 4，或 E(X) = np = 4.119D(X) = np(1 p)= 3X 4X (1- 4)=16.熱點(diǎn)4概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些 圖表是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)時(shí)要在這些圖表上下功夫，把這些統(tǒng)計(jì) 圖表的含義弄清楚，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、 各類 概率的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)均值與方差的運(yùn)算. 分別求出成績(jī)?cè)诘?, 4, 5組的人數(shù)； 現(xiàn)決定在筆試成績(jī)較高的第 3, 4, 5組中用分層抽樣抽取6 人進(jìn)行面試. 已知甲和乙的成績(jī)均在第 3組，求甲或乙進(jìn)入面試的概率；

37、 若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè) 第4組中有X名學(xué)生被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)由頻率分布直方圖知， 1典例 "2015年10月18日至27日，第一屆全國(guó)青年運(yùn)動(dòng)會(huì) 在福州舉行，某服務(wù)部需從大學(xué)生中招收志愿者， 被招收的志愿者需 參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學(xué)生的成績(jī)分組：第1組75,80),第 2 組80, 85)，第 3 組85, 90),第 4 組90, 95),第 5 組95,100，得到的頻率分布直方圖如圖所示：頻率第3組的人數(shù)為5X 0.06X 40= 12.第4組的人數(shù)為5X 0.04X 40= 8.第5組的人數(shù)為5X

38、0.02X 40= 4.利用分層抽樣，在第3組、第4組、第5組中分別抽取3人,2人，1人.511.設(shè)“甲或乙進(jìn)入第二輪面試”為事件A，則P(A) = 1 -5C?2 = 11，所以甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率為X的所有可能取值為0，1，2,C2 2P(X = 0) = C2 = 5,P(X = 1)= CCC4 =C68c215, P(X = 2) = C6 =115.所以X的分布列為X012P281515152 8 1 10 2E（X） = * 5+ 1X 15+ 2X 15=15= 3.規(guī)律方法本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖背景賦予新生的數(shù)學(xué)期望，立意新穎、構(gòu)思巧妙.求解離散型隨機(jī)變量的期望與頻

39、率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說(shuō)話，即看懂頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩 形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題 X服從超幾何分布, 利用其概率公式代入計(jì)算.【變式訓(xùn)練】(2016鄭州質(zhì)檢)某市教育局為了了解高三學(xué)生體育 達(dá)標(biāo)情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(80, /)(滿分為100分)，已知P(X<75) =0.3, P(X >95)= 01,現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué).(1) 求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間80, 85), 85,95), 95, 100各有一位同學(xué)的概率；(2) 記抽到的三位同學(xué)該次體

40、能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間75, 85的人數(shù)為E,求隨機(jī)變量E的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：由 XN(80,/),知 P(x< 80)=；又 P(x<75)= 0.3, P(X > 95)= 0.1,貝卩 P(80< x<85)= P(75<x< 80)= P(x< 80) P(x<75)= 0.2. P(85< x<95) = P(x>85) P(x> 95) = P(x<75) P(x> 95)= 0.2. 故所求事件的概率 P = 0.2X 0.2X 0.1 A3= 0.024.(2)P(75 < X <

41、; 85)= 1 2P(X<75) = 0.4,所以E服從二項(xiàng)分布B(3, 0.4),P( = 0)= 0.63= 0.216,P( = 1)= C3 0.4X 0.62 = 0.432,P( = 2)= C2 0.42X 0.6= 0.288,P( = 3)= 0.43= 0.064,所以隨機(jī)變量E的分布列為E0123P0.2160.4320.2880.064E( E手 3X 0.4= 1.2.番侖/燃.高邈_提_能1. （2016佛山質(zhì)檢）貴廣高速鐵路從貴陽(yáng)北終至廣州南站.其中廣東省內(nèi)有懷集站、廣寧站、肇慶東站、三水南站、佛山西站、廣州南站共6個(gè)站.記者對(duì)廣東省內(nèi)的6個(gè)車站隨機(jī)抽取3

42、個(gè)進(jìn)行車站服務(wù)滿意度調(diào)查.（1）求抽取的車站中含有佛山市內(nèi)車站（包括三水南站和佛山西站） 的概率；（2）設(shè)抽取的車站中含有肇慶市內(nèi)車站（包括懷集站、廣寧站、肇 慶東站）個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及其均值.解：設(shè)“抽取的車站中含有佛山市內(nèi)車站”為事件A，則c2c： + c；c2P(A)=c3X的可能取值為0, 1, 2, 3.c0c31P(X = 0) = cc = 20，920，920，3C31P(X = 3)= C3 = 20，所以X的分布列為X0123P丄_9_92020202019913X 的數(shù)學(xué)期望 E（X） = 0X 20+ 1X20 + 2X 20+ 3X 20= 22.（2015陜西

43、卷）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為 T ,T只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：T（分鐘）25303540頻數(shù)（次）20304010（1）求T的分布列與數(shù)學(xué)期望E（T）；（2）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座, 結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí) 間不超過(guò)120分鐘的概率.解：（1 ）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為T（分鐘）25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而 E（T） = 25X 0.2+ 30X 0.3+ 35 X 0.4+

44、40X 0.1 = 32（分鐘）.設(shè)T1, T2分別表示往、返所需時(shí)間，T1, T2的取值相互獨(dú)立， 且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”，由于講座 時(shí)間為50分鐘，所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過(guò)70分鐘法一 P(A) = P(+ T2 < 70)=P(Ti = 25, T2< 45)+ P(Ti = 30, T2< 40) + P(= 35, T2W 35)+ P(Ti = 40, T2< 30)=0.2X 1 + 0.3 x 1 + 0.4 x 0.9+ 0.1 x 0.5= 091法二 P(A)= P(Ti + T2&g

45、t;70)=P(T 1 = 35, T2 = 40) + P(T 1 = 40, T2 = 35)+ P(T 1 = 40, T2= 40)=04x 01 + 01 x 04+ 01 x 01 = 009故 P(A) = 1-P(A) = 091.3 .某高校校慶，各屆校友紛至沓來(lái)，某班共來(lái)了n位校友(n>8且n N*)，其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這n位校友登記制作了一份 校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男 一女，則稱為“最佳組合”. 1(1) 若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于 1 求n的最大值；(2) 當(dāng)n= 12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校

46、友人數(shù)為E,求E的分布列.解：設(shè)選出2人為“最佳組合”記為事件A,Cl-eC6 12 (n-6)則事件A發(fā)生的概率P(A) = C2=Cnn (n- 1)，、卄亠12(n 2)1八一十2依題意>o,化簡(jiǎn)得n2 25n +144<0,n (n 1)2.9< n< 16,故n的最大值為16.（2）由題意，E的可能取值為0, 1, 2,且E服從超幾何分布,k 2_ kC6C6則 P（片 k） = C2 （k = 0, 1, 2）,Cl2P（片 Q）= P（片 2）=鹽=務(wù) P（1）=警=著.012P565221122二 E（QX 22 + 1X ®+ 2X 22=

47、1.22 11 224. （2016石家莊模擬）4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此 期間開展了一系列讀書教育活動(dòng).為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué) 校隨機(jī)抽取了 100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào) 查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.若將日均課外閱讀時(shí)間不低于 60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”， 低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷”.（1）根據(jù)已知條件完成下面2X 2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99% 的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)？非讀書迷讀書迷總計(jì)男15女45總計(jì)(2)將頻率視為概率.現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中，用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽

48、取的3人中的“讀書迷”的人 數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X).附:K2n (ad bc)n = a+ b+ c+d.P(K2 > ko)0.1000.0500.0250.0100.001ko2.7063.8415.0246.63510.828(a+ b)(c+ d)(a+ c)( b + d) ?非讀書迷讀書迷總計(jì)男401555女202545總計(jì)6040100解：完成2X 2列聯(lián)表如下:2100X (40X 25 15X 20)60 X 40 X 55 X 45249>6.635,故有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān).將頻率視為概率.則從該校學(xué)生中任意抽取1名學(xué)生恰為“讀2書迷”的概率p = 5.丄卄亠升L 2)i 2 i 3 3 i由題意可知 XB 3, 5丿，P(X = i)= C3(5)'(5)(匸0, 1, 2, 3).X的分布列為X0123P27543681251251251252 6均值 E(X) = np= 3X 5= 5.i2“218萬(wàn)差 D(X) = np(1