1、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最小范圍問(wèn)題時(shí)間 2021.03. 10創(chuàng)作：歐陽(yáng)治一、磁場(chǎng)范圍為圓形例1 一質(zhì)量為搐、帶電量為的粒子以速度心從。點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為必的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂宜于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后彳從鳥(niǎo)處 穿過(guò)x軸，速度方向與軸正向夾角為30 ,寸圖1所 示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；圖1（2）粒子從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá)血點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（3）“點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由O點(diǎn)經(jīng) 半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到&點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開(kāi) 磁場(chǎng)區(qū)域后沿直線運(yùn)動(dòng)到&點(diǎn)。可知，其離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的 臨界點(diǎn)與O點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。

2、如圖 2,過(guò)心點(diǎn)逆著速度滄的方向作虛線，與產(chǎn)軸相交，由于 粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于兀軸上，距 。點(diǎn)距離和到虛線上么點(diǎn)垂直距離相等的】點(diǎn)即為圓周 運(yùn)動(dòng)的圓心,圓的半徑氏二叫二叩。DVoJ 淤由2得弦畑為：心血， 晏嚴(yán)形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為2的一半，即：2 22 qB面積W（2）粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為120,時(shí)間1 2危 Vq 2冊(cè)t 1 二3 33招(3)必距離qB ,故乃點(diǎn)的坐標(biāo)為3ff?v0(可()。點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁 場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線的交 點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最 小圓形磁場(chǎng)的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

3、的弦長(zhǎng)。二、磁場(chǎng)范圍為矩形例2如圖3所示，直角坐標(biāo)系兀即第一象限的區(qū)域存在 沿丁軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為燉，電量為玄的 電子從第一象限的某點(diǎn)戸(厶，& )以初速度心沿x軸L_的負(fù)方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)兀軸上的點(diǎn) (4 , 0)進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)然后進(jìn)入垂宜紙酋的短形勻 強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)左邊界和上邊界分別與丁軸、合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并沿刀軸的正方 向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子的重力。求(1) 電子經(jīng)過(guò)。點(diǎn)的速度V；(2) 該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度衣和磁場(chǎng)的最小面 積涇O解析：(1)電子從P點(diǎn)開(kāi)始在電場(chǎng)力作用下作類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)，可知豎直y = -L = -aPx = -L = v

4、方向： 82,水平方向：4 O”4后 v =應(yīng)二邑解得aTo而-尤-三，所以電子經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的速度為:2J設(shè)卩與F方向的夾角為A,可知 vo 3 ,所以A = 30o F (2)如圖4,電子以與成3()進(jìn)入第四象限后 止&葩做勻速宜線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻 速商周運(yùn)動(dòng)恰好以沿V軸向上的速度經(jīng)過(guò)O點(diǎn)?？芍獔A 周運(yùn)動(dòng)的圓心。一定在X軸上，且滬點(diǎn)到O點(diǎn)的距離 與到直線上M點(diǎn)（M點(diǎn)即為磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)）的垂直 距離相等，找出。點(diǎn)，畫出其運(yùn)動(dòng)的部分軌跡為弧 MNO,所以磁場(chǎng)的右邊界和下邊界就確定了。v21= m L設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為氏，R ,由圖知OQ=4 =E _ 8館枷 3R ,解得一吐,方向垂直紙面向里

5、。Loc = -R=-L= R = L矩形磁場(chǎng)的長(zhǎng)度C 28 ,寬度0112 o_ _ 1 2矩形磁場(chǎng)的最小面積為： 23詁點(diǎn)評(píng)：此題中粒子進(jìn)入第四象限后的運(yùn)動(dòng)即為例1 中運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程，解題思路相似，關(guān)鍵要注意矩形磁場(chǎng) 邊界的確定。三、磁場(chǎng)范圍為三角形例3如圖5, 個(gè)質(zhì)量為也，帶乜電量的粒子在&7邊 上的M點(diǎn)以速度u垂直于&7邊飛入正三角形月30。為了使該粒子能在邊上 的N點(diǎn)(CM= CM 垂真于SC邊飛出EEG可在適當(dāng) 的位置加一個(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為巧的勻強(qiáng) 磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)， 且不計(jì)粒子的重力。試求：C(1) 粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的軌道半徑廠及周期(2)

6、 該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間z；(3) 該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)；=T=解析：(1)由廣和 v ,mvfr = T =得： qB ,相(2)由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)該先向左 偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場(chǎng)中由M點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)到N 點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向應(yīng) 該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖6作出圓(),粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧GQEF,圓弧在G點(diǎn)與初速度 方向相切，在F點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形必J 其與圓弧在Q、E兩點(diǎn)相切，并與圓O交于只G兩 點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場(chǎng)區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知上F()G=60,所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為300,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間63qB(3)連接俎并延

7、長(zhǎng)與加交與刃點(diǎn)，由圖可知心2尸,2aa + qH 2廠+廠cos 30竺孑4 +門cos30cos 30 =gg 忑點(diǎn)評(píng)：這道題中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界臨界點(diǎn)的確定 比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向 延長(zhǎng)線相交后根據(jù)運(yùn)動(dòng)半徑已知的特點(diǎn)，結(jié)合幾何知識(shí) 才能確定。另外，在計(jì)算最小邊長(zhǎng)時(shí)一定要注意圓周運(yùn) 動(dòng)的軌跡并不是三角形磁場(chǎng)的內(nèi)切圓。四、磁場(chǎng)范圍為樹(shù)葉形例4在粋平面內(nèi)有許多電子(質(zhì)量為 喘、電量為),從坐標(biāo)。不斷以相同速率心 沿不同方向射入第一象限，如圖7所示?，F(xiàn) 加一個(gè)垂直于gy平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為/的 勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能平 行于*軸向x正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條

8、件磁場(chǎng)的最小面 積。解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑恥鴛是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū) 域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖8所示，因?yàn)?電子只能向第一象限平面內(nèi)發(fā)射，其中圓。和圓為 從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓Q在X軸上方的1/4個(gè)圓弧就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以人為半徑的圓弧OQQ。由于要求所有 電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)知電子 的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。可證明，磁場(chǎng)下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線(圖中虛線()小向上平移一段長(zhǎng)度為歸箸的距離即圖9中的弧 就是這些圓的最高點(diǎn)的連線，即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊 界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場(chǎng)區(qū)域J 2幾(I)朋爼s 二 2( nr )二積：42 2曲 。還可根據(jù)圓的知識(shí)求出磁場(chǎng)的下邊界。設(shè)某電子的速度 兀與x軸夾角為仇若離開(kāi)磁場(chǎng)速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，意，分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和運(yùn)動(dòng)形式，扣住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界點(diǎn)，應(yīng)用幾何知 識(shí)，找出運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的部分軌跡， 確定半徑，再用題目中規(guī)定形狀的最小磁場(chǎng)覆蓋粒子運(yùn) 動(dòng)的軌跡，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和相應(yīng)物理規(guī)律分析解出 所求的最小面積即可。|時(shí)間2021.03.10創(chuàng)作：歐陽(yáng)治其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x, /),從圖10中看出, + -0*0,