1、2014年考研數(shù)學二真題與解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分當時，若，均是比高階的無窮小，則的可能取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，是階無窮小，是階無窮小，由題意可知所以的可能取值范圍是，應該選（B）2下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【詳解】對于，可知且，所以有斜漸近線應該選（C）3設函數(shù)具有二階導數(shù)，則在上（ ）（A）當時， （B）當時，（C）當時， （D）當時，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷 顯然就是聯(lián)接兩點的直線方程故當時，曲線是凹的，也就是，應該選（D）【

2、詳解2】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當時，曲線是凹的，從而，即，也就是，應該選（D）4曲線 上對應于的點處的曲率半徑是（ ）（）（）(）（）【詳解】 曲線在點處的曲率公式，曲率半徑本題中，所以，對應于的點處，所以，曲率半徑應該選（C）5設函數(shù)，若，則（ ）（）（）（）（）【詳解】注意（1），（2）由于所以可知，6設在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足及，則（ ）（A）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上； （B）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；（C）的最大值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點在區(qū)域D的邊界上；（D）的最小值點在區(qū)域D

3、的內(nèi)部，最大值點在區(qū)域D的邊界上【詳解】 在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以在D內(nèi)必然有最大值和最小值并且如果在內(nèi)部存在駐點，也就是，在這個點處，由條件，顯然，顯然不是極值點，當然也不是最值點，所以的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上所以應該選（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【詳解】應該選（B）8設 是三維向量，則對任意的常數(shù)，向量，線性無關是向量線性無關的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件【詳解】若向量線性無關，則（，），對任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無關而當時，對任意的常數(shù)，向量，線性無關，但線性相

4、關；故選擇（A）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10設為周期為4的可導奇函數(shù)，且，則 【詳解】當時，由可知，即；為周期為4奇函數(shù)，故11設是由方程確定的函數(shù)，則 【詳解】設，當時，所以12曲線的極坐標方程為，則在點處的切線方程為 【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程，于是在處，則在點處的切線方程為，即13一根長為1的細棒位于軸的區(qū)間上，若其線密度，則該細棒的質(zhì)心坐標 【詳解】質(zhì)心坐標14設二次型的負慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 【詳解】由配方法可知由于負慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是三、解答題15（本題滿分10分）求極限【分析】先用

5、等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限【詳解】16（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值和極小值【詳解】解：把方程化為標準形式得到，這是一個可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：，由得，即 令，得，且可知；當時，可解得，函數(shù)取得極大值；當時，可解得，函數(shù)取得極小值17（本題滿分10分）設平面區(qū)域計算【詳解】由對稱性可得18（本題滿分10分）設函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，滿足若，求的表達式【詳解】設，則，;；由條件，可知這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程對應齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)對應非齊次方程特解可求得為故非齊次方程通解為將初始條件代入，可得所

6、以的表達式為19（本題滿分10分）設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（1） ；（2） 【詳解】（1）證明：因為，所以即（2）令，則可知，且，因為且單調(diào)增加，所以從而， 也是在單調(diào)增加，則，即得到20（本題滿分11分）設函數(shù)，定義函數(shù)列，設是曲線，直線所圍圖形的面積求極限【詳解】，利用數(shù)學歸納法可得，21（本題滿分11分）已知函數(shù)滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積【詳解】由于函數(shù)滿足，所以，其中為待定的連續(xù)函數(shù)又因為，從而可知，得到令，可得且當時，曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22（本題滿分11分）設，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個基礎解系；（2） 求滿足的所有矩陣【詳解】（1）對系數(shù)矩陣A進行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個基礎解系（2）顯然B矩陣是一個矩陣，設對矩陣進行進行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對應的三列分別為，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)23（本題滿分11分）證明階矩陣與相似【詳解】證明：設 ，分別求兩個矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個特征值為；而且A是實對稱矩陣，所以一