1、答案與提示例1.(1)已知數(shù)列 a 的首項(xiàng)a =2，且an an4n 3,n ：= N ,求數(shù)列an"的通項(xiàng)公式已知數(shù)列 a ?的首項(xiàng)印=1,且an an1 =2n,nN”，求數(shù)列an /的通項(xiàng)公式.解：(1)由 an - an 1 =4n 3, n N 得anan =4n -1,n 一2，作差得 an anA -4,n 一2數(shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)成公差為4的等差數(shù)列；所有的偶數(shù)項(xiàng)也成公差為4的等差數(shù)列當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n -2k -1,k N ,因?yàn)?2數(shù)列zk二是一個以4位公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列n +1- a2k 二= 4k-2, k，N , 即 an=42=2n2當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n

2、= 2k,k N ,因?yàn)橛?2，所以a 5數(shù)列'a2k .'是一個以4位公差，5為首項(xiàng)的等差數(shù)列 a2k = 4k 1, k N , 即 an = 4 廠 1 = 2n 1 2綜上所述：2n,n為奇數(shù)9n2n +1, n為偶數(shù)(2)由 an an 1 =2n, n N ” 得為4 an =2n，n_2，作商得： 仏 =2 ,n _2an 4數(shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)成公比為2的等比數(shù)列；所有的偶數(shù)項(xiàng)也成公比為2的等比數(shù)列當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n -2k-1, N ,因?yàn)閍1數(shù)列'a2k4 是一個以2位公比，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列nJ 2 a2k2k'K N ,即 an =2 2=2

3、 2當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n = 2k,k N，因?yàn)橛?2，所以a2 = 2數(shù)列(a2k 是一個以2位公比，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列n a2k = 2k ,k N ,即 an = 22綜上所述:22,n為奇數(shù)n為偶數(shù)例2.已知數(shù)列 a 的首項(xiàng)aa , Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn3n2an SnJ2 ,a* =0, n _2,n N .(1)若數(shù)列 滄是等差數(shù)列，求a的值，并驗(yàn)證;當(dāng)a =4，求數(shù)列 a / 的通項(xiàng)公式2n2解：(1)T Sn =3n2an SnJ , an =0,n _2,n N二 Sn2 -Sn=3n2an，即 Sn Snd =3n2, n _2,n N取 n = 2, 2ai a2

4、=12，則 a2 = 122a取 n = 3, 2a1 2a2 a3 = 27 ,則 a3 = 3 2a數(shù)列 a 是等差數(shù)列 a1 a3 = 2a2 即 a 3 2a = 212-2a，所以 a =3檢驗(yàn)：a = 3時，滿足題意(2)由 Sn -=3n2, n 一2, n N 得:Sn4+Sn<=3( n12 , n3, n e N作差得：&一&=6 n3, n3, nN即 an an=6n3 , n _ 3, n N二 an4 ' an= 6n-9, n4,n N 作差得：aa = 6, n4,n N - a2,a4,a6,成公差為6的等差數(shù)列；a3,a5,a7

5、,.成公差為6的等差數(shù)列;當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n =2k,kN ”，因?yàn)镼 =4,所以a2 = 4數(shù)列'aj是一個以6位公差，4為首項(xiàng)的等差數(shù)列二 a2k = 6k -2, k N ,即 an =6 耳 -2 = 3n -22當(dāng)n為奇數(shù)n 一3時，設(shè)n -2k 1, N ”，因?yàn)閍4,所以a3 =11數(shù)列32k 1 是一個以6位公差，11為首項(xiàng)的等差數(shù)列二 a2k 6k 5, k 三 N ,n 5 =3n 22綜上所述：an1 4,=3n +2,3n 2,n =1n為奇數(shù)，nn為偶數(shù)_3例3.已知anBn-5,n為奇數(shù)j i4n,n為偶數(shù)，求數(shù)列B 的前n項(xiàng)和Sn.解：當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn =".1 - a3 - . - anJ - a2 a4.an=歸 a3 a5. a2a4a6.=n i2當(dāng)n為奇數(shù)時，<n、16匯 1 -162k) _2 12 1-163n2 - 5n 16 4n -12152. n 1壬旦丄二16