1、1主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 集合的基本概念集合的基本概念 屬于、包含屬于、包含 冪集、空集冪集、空集 文氏圖等文氏圖等l 集合的運算集合的運算l 有窮集的計數(shù)有窮集的計數(shù)l 集合恒等式集合恒等式 集合運算的算律、恒等式的證明方法集合運算的算律、恒等式的證明方法 第二部分第二部分 集合論集合論第六章第六章 集合代數(shù)集合代數(shù)26.1 集合的基本概念集合的基本概念1. 集合定義集合定義 集合沒有精確的數(shù)學(xué)定義集合沒有精確的數(shù)學(xué)定義 理解：由離散個體構(gòu)成的整體稱為理解：由離散個體構(gòu)成的整體稱為集合集合，稱這些個體為集，稱這些個體為集 合的合的元素元素 常見的數(shù)集：常見的數(shù)集：N, Z, Q, R, C 等分

2、別表示自然數(shù)、整數(shù)、有等分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有 理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)集合理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)集合2. 集合表示法集合表示法 列元素法列元素法-列出集合的所有元素，所有元素之間用逗號隔列出集合的所有元素，所有元素之間用逗號隔開，并把它們用花括號括起來開，并把它們用花括號括起來 謂詞表示法謂詞表示法-用謂詞來概括集合中元素的性質(zhì)用謂詞來概括集合中元素的性質(zhì) 實例：實例： 列元素法列元素法 自然數(shù)集合自然數(shù)集合 N=0,1,2,3, 謂詞表示法謂詞表示法 S= x | x R x2 1=0 3元素與集合元素與集合1. 集合的元素具有的性質(zhì)集合的元素具有的性質(zhì) 無序性：元素列出的順序無關(guān)無序性：元素列出的順

3、序無關(guān) 相異性：集合的每個元素只計相異性：集合的每個元素只計 數(shù)一次數(shù)一次 確定性：對任何元素和集合都確定性：對任何元素和集合都 能確定這個元素是否能確定這個元素是否 為該集合的元素為該集合的元素 任意性：集合的元素也可以是任意性：集合的元素也可以是 集合集合2元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系 隸屬關(guān)系：隸屬關(guān)系： 或者或者 3集合的樹型層次結(jié)構(gòu)集合的樹型層次結(jié)構(gòu)例如：集合例如：集合A=a,b,c,d,d規(guī)定：規(guī)定：A A4集合與集合集合與集合集合與集合之間的關(guān)系：集合與集合之間的關(guān)系： , , =, , , , 定義定義6.1 設(shè)設(shè)A，B為集合，如果為集合，如果B中的每個元素都是中的每個元素

4、都是A中的元素，則稱中的元素，則稱B是是A的子集合，簡稱子集。這時也稱的子集合，簡稱子集。這時也稱B被被A包含，或包含，或A包含包含B，記作，記作B A。如果如果B不被不被A包含，則記作包含，則記作B A。 符號化表示為：符號化表示為：B A x ( x B x A ) B A x ( x B x A ) 例如例如N Z Q R C，但，但Z N。顯然對任何集合。顯然對任何集合A都有都有A A。 定義定義6.2 設(shè)設(shè)A，B為集合，如果為集合，如果A B且且B A，則稱，則稱A與與B相等，記作相等，記作AB。 如果如果A與與B不相等，則記作不相等，則記作AB。符號化表示為：符號化表示為： A =

5、 B A B B A定義定義6.3 設(shè)設(shè)A，B為集合，如果為集合，如果B A且且BA，則稱，則稱B是是A的真子集，記作的真子集，記作B A。如果如果B不是不是A的真子集，則記作的真子集，則記作B A。符號化表示為：符號化表示為： B A B A B A 例如例如N Z Q R C，但，但N N。注意：注意： 和和 是不同層次的問題，如是不同層次的問題，如A=a,a和和a5空集、全集和冪集空集、全集和冪集定義定義6.4 空集空集 ：不含有任何元素的集合：不含有任何元素的集合符號化表示為：符號化表示為： =x | x x 實例：實例： x | x R x2+1=0 定理定理6.1 空集是任何集合的

6、子集。空集是任何集合的子集。證證 對于任意集合對于任意集合A， A x (xx A) 1(恒真命題恒真命題) 推論推論 是惟一的是惟一的 證明：假設(shè)存在空集證明：假設(shè)存在空集1 和和 2 ，由定理，由定理6.1有：有： 1 2 和和 2 1 根據(jù)集合相等的定義，有根據(jù)集合相等的定義，有1 = 2 所以得出結(jié)論：所以得出結(jié)論： 是惟一的是惟一的 。6空集、全集和冪集空集、全集和冪集 含有含有n個元素的集合簡稱個元素的集合簡稱n元集，它的含有元集，它的含有m（mn）個元素）個元素的子集叫做它的的子集叫做它的m元子集。任給一個元子集。任給一個n元集，怎樣求出它的元集，怎樣求出它的全部子集呢？全部子集

7、呢？例例6.1 A1,2,3，將，將A的子集分類：的子集分類：解：解：0元子集，也就是空集，只有一個：元子集，也就是空集，只有一個： ； 1元子集，即單元集：元子集，即單元集：1，2，3； 2元子集：元子集：1,2，1,3，2,3； 3元子集：元子集：1,2,3。7空集、全集和冪集空集、全集和冪集 定義定義6.5 冪集冪集：設(shè)：設(shè)A為集合，把為集合，把A的全部子集構(gòu)成的集合叫的全部子集構(gòu)成的集合叫做做A的冪集，記作的冪集，記作P(A)(或或PA，2A)。 符號化表示為：符號化表示為：P(A)= x | x A 實例：實例：P()=, P()=, 計數(shù)：如果計數(shù)：如果 |A|=n，則，則 |P(

8、A)|=2n. 定義定義6.6 全集全集 E：包含了所有集合的集合：包含了所有集合的集合 全集具有相對性：與問題有關(guān)，不存在絕對的全集全集具有相對性：與問題有關(guān)，不存在絕對的全集86.2 集合的運算集合的運算初級運算初級運算集合的基本運算有并，交，相對補(bǔ)和對稱差集合的基本運算有并，交，相對補(bǔ)和對稱差 定義定義6.7 設(shè)設(shè)A，B為集合，為集合，A與與B的并集的并集AB，交集，交集AB，B對對A的相對補(bǔ)集的相對補(bǔ)集AB分別定義如下：分別定義如下： 并并 A B = x | x A x B 交交 A B = x | x A x B 相對補(bǔ)相對補(bǔ) A B = x | x A x B例如：例如：A=a,

9、b,c，B=a，C=b,dA B= a,b,c, A B =a,A B=b,c ,B-A= ,B C= 若兩個集合的交集為若兩個集合的交集為 ，則稱這兩個集合是，則稱這兩個集合是不交不交的的96.2 集合的運算集合的運算定義定義6.8 設(shè)設(shè)A，B為集合，為集合，A與與B的對稱差集的對稱差集A B定義為：定義為： 對稱差對稱差 A B = (A B) (B A) 另一種定義是：另一種定義是：A B = (A B) (A B) 例如：例如：A=a,b,c，B=b,d,A B =a,c,d定義定義6.9 在給定全集在給定全集E以后，以后，A E，A的絕對補(bǔ)集的絕對補(bǔ)集A定義如下：定義如下： 絕對補(bǔ)絕

10、對補(bǔ) A = E A = x|xEx A = x|x A 例如：例如：Ea，b，c，d，Aa，b，c，則，則Ad。10文氏圖文氏圖集合運算的表示集合運算的表示ABABABABAEA BA BABA BA11幾點說明幾點說明l 并和交運算可以推廣到有窮個集合上，即并和交運算可以推廣到有窮個集合上，即A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAnl A B A B = l A B = A B = A12廣義運算廣義運算1. 集合的廣義并與廣義交集合的廣義并與廣義交 定義定義6.10 設(shè)設(shè)A為集合，為集合，A的元素的元素的元素的元素構(gòu)成的集

11、合稱為構(gòu)成的集合稱為A的廣的廣義并，記為義并，記為A。符號化表示為。符號化表示為 廣義并廣義并 A = x | z ( z A x z )定義定義6.11 設(shè)設(shè)A為為非空非空集合，集合，A的所有元素的公共元素構(gòu)成的的所有元素的公共元素構(gòu)成的集合稱為集合稱為A的廣義交，記為的廣義交，記為A。符號化表示為。符號化表示為 廣義交廣義交 A= x | z ( z A x z ) 例例6.2 設(shè)設(shè)Aa,b,c,a,c,d,a,e,fBaCa,c,d則則Aa,b,c,d,e,f,Ba，Cac,d Aa，Ba，Cac,d 13廣義運算廣義運算1. 集合的廣義并與廣義交集合的廣義并與廣義交 定義定義6.10

12、設(shè)設(shè)A為集合，為集合，A的元素的元素的元素的元素構(gòu)成的集合稱為構(gòu)成的集合稱為A的廣的廣義并，記為義并，記為A。符號化表示為。符號化表示為 廣義并廣義并 A = x | z ( z A x z )定義定義6.11 設(shè)設(shè)A為為非空非空集合，集合，A的所有元素的公共元素構(gòu)成的的所有元素的公共元素構(gòu)成的集合稱為集合稱為A的廣義交，記為的廣義交，記為A。符號化表示為。符號化表示為 廣義交廣義交 A= x | z ( z A x z ) 練習(xí)練習(xí): A= 1, 1,2, 1,2,3, B= a, C=a解解: A=1,2,3, A=1 B=a， B=a C=a， C=a14關(guān)于廣義運算的說明關(guān)于廣義運算的

13、說明2. 廣義運算的性質(zhì)廣義運算的性質(zhì) (1) =，無意義無意義 (2) 單元集單元集x的廣義并和廣義交都等于的廣義并和廣義交都等于x (3) 廣義運算減少集合的層次（括弧減少一層）廣義運算減少集合的層次（括弧減少一層） (4) 廣義運算的計算：一般情況下可以轉(zhuǎn)變成初級運算廣義運算的計算：一般情況下可以轉(zhuǎn)變成初級運算 A = A1, A2, , An = A1 A2 An A= A1, A2, , An = A1 A2 An 3. 引入廣義運算的意義引入廣義運算的意義 可以表示無數(shù)個集合的并、交運算，例如可以表示無數(shù)個集合的并、交運算，例如 x | x R=R 這里的這里的 R 代表實數(shù)集合代

14、表實數(shù)集合. 15運算的優(yōu)先權(quán)規(guī)定運算的優(yōu)先權(quán)規(guī)定 一一 類運算：廣義并，廣義交，冪集，絕對補(bǔ)類運算：廣義并，廣義交，冪集，絕對補(bǔ) 運算運算 運算由右向左順序進(jìn)行運算由右向左順序進(jìn)行(右結(jié)合右結(jié)合) 二二 類運算：并類運算：并 ，交，交 ，相對補(bǔ)，相對補(bǔ) ，對稱差，對稱差 優(yōu)先順序由括號確定優(yōu)先順序由括號確定混合運算：一類運算優(yōu)先于二類運算?；旌线\算：一類運算優(yōu)先于二類運算。 例例 A=a,a,b，計算，計算A (AA). 解：解： A (AA) = a,b ( a,ba) = (a b) (a b) a) = (a b) (b a) = b16例例6.5 設(shè)設(shè)Aa,a,b 計算計算A，A和和

15、A(AA)。解解: Aa,bAaAabAaAabAaA(AA)(ab)(ab)a)(ab)(ba)b所以所以Aab，Aa，A(AA)b。17作作業(yè)業(yè)書本書本97頁頁第第8題題 的的 第（第（4）小題）小題第第9題題 的的 第（第（1）、（）、（3）、（）、（5）三個小題）三個小題書本書本98頁頁第第18題題 的的 第（第（1）、（）、（3）兩個小題）兩個小題18有窮集合元素的計數(shù)有窮集合元素的計數(shù)1. 文氏圖法文氏圖法2. 包含排斥原理包含排斥原理定理定理6.2 設(shè)集合設(shè)集合S上定義了上定義了n條性質(zhì)，其中具有第條性質(zhì)，其中具有第 i 條性質(zhì)的條性質(zhì)的元素構(gòu)成子集元素構(gòu)成子集Ai, 那么集合中

16、不具有任何性質(zhì)的元素數(shù)為那么集合中不具有任何性質(zhì)的元素數(shù)為 |.|) 1(.|.|2111121nnnkjikjnjijiniinAAAAAAAAASAAAi 推論推論 S中至少具有一條性質(zhì)的元素數(shù)為中至少具有一條性質(zhì)的元素數(shù)為|)1(|21111121nmnkjikjinjijiniinAAAAAAAAAAAA 19實例實例例例6.5 求求1到到1000之間（包含之間（包含1和和1000在內(nèi)）既不能被在內(nèi)）既不能被5和和6整整除，也不能被除，也不能被8整除的數(shù)有多少個？整除的數(shù)有多少個？解解 方法一：文氏圖方法一：文氏圖 定義以下集合：定義以下集合： S= x | x Z 1 x 1000

17、A= x | x S x可被可被5整除整除 B= x | x S x可被可被6整除整除 C= x | x S x可被可被8整除整除 畫出文氏圖，然后填入相應(yīng)的畫出文氏圖，然后填入相應(yīng)的數(shù)字，解得數(shù)字，解得 N=1000(200+100+33+67) =60020實例實例方法二方法二 |S| = 1000 |A|= 1000/5 =200, |B|= 1000/6 =166, |C|= 1000/8 =125 |A B| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |A C| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |B C| = 1000/lcm(6,8

18、) = 1000/24 = 41 |A B C| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000 (200+166+125)+(33+25+41) 8 = 600 |CBA 216.3 集合恒等式集合恒等式下面的恒等式給出了集合運算的主要算律，其中下面的恒等式給出了集合運算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。代表任意集合。冪等律冪等律 AAA AAA 結(jié)合律結(jié)合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC)交換律交換律 ABBA ABBA 分配律分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) 同一律同一律 AA AEA零律零律 AEE A 排

19、中律排中律 AAE 矛盾律矛盾律 AA吸收律吸收律 A(AB)A A(AB)A 德摩根律德摩根律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC E E雙重否定律雙重否定律 (A)A 22除了以上算律以外，還有一些關(guān)于集合運算性質(zhì)的重要結(jié)果。除了以上算律以外，還有一些關(guān)于集合運算性質(zhì)的重要結(jié)果。 例如：例如：AB A，AB B (6.24)A AB，B AB (6.25)AB A (6.26)ABAB (6.27) ABB A B ABA AB (6.28) A BB A (6.29) (A B) CA (B C) (6.30)A A (6.31)A A

20、 (6.32) A BA C BC (6.33) 23書本書本88頁頁例例6.5 設(shè)設(shè)Aa,a,b 計算計算A，A和和A(AA)。解解: Aa,bAaAabAaAabAaA(AA)(ab)(ab)a)(ab)(ba)b所以所以Aab，Aa，A(AA)b。246.4 集合恒等式（集合恒等式（P92）集合算律集合算律1只涉及一個運算的算律：只涉及一個運算的算律： 交換律交換律、結(jié)合律結(jié)合律、冪等律冪等律 交換交換A B=B AA B=B AA B=B A結(jié)合結(jié)合(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)冪等冪等A A=AA A=A25集合算律集合算律

21、 2涉及兩個不同運算的算律：涉及兩個不同運算的算律： 分配律、吸收律分配律、吸收律 與與 與與 分配分配A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)吸收吸收A (A B)=AA (A B)=A26集合算律集合算律3涉及補(bǔ)運算的算律：涉及補(bǔ)運算的算律： 德摩根律德摩根律，雙重否定律雙重否定律 德摩根德摩根律律A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C) (B C) = BC (B C) = BC雙重否定律雙重否定律A=A27集合算律集合算律4涉及全集和空集的算律：涉及全集和空集的算律： 補(bǔ)元律補(bǔ)

22、元律、零律零律、同一律同一律、否定律否定律E補(bǔ)元律補(bǔ)元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A否定律否定律=E E=28集合證明題集合證明題證明方法：命題演算法、等式置換法證明方法：命題演算法、等式置換法命題演算證明法的書寫規(guī)范命題演算證明法的書寫規(guī)范 (以下的以下的X和和Y代表集合公式代表集合公式)(1) 證證X Y 任取任取x， x X x Y (2) 證證X=Y 方法一方法一 分別證明分別證明 X Y 和和 Y X 都為真。都為真。 方法二方法二 任取任取x，x X x Y注意：在使用方法二的格式時，必須保證每步推理都是充注意：在使用方法二的格式時，必須保證每步

23、推理都是充分必要的（等值）分必要的（等值）29集合等式的證明集合等式的證明方法一：命題演算法方法一：命題演算法例例1 證明證明A (A B) = A （吸收律）（吸收律）證證 任取任取x, x A (A B) x A x A B x A (x A x B) x A 因此得因此得 A (A B) = A.例例2 證明證明 (6.27)A B = AB證證 任取任取x, x A B x A x B x A xB x AB 因此得因此得 A B = AB30等式置換法等式置換法方法二：等式置換法方法二：等式置換法例例3 假設(shè)交換律、分配律、同一律、零律已經(jīng)成立，證明吸假設(shè)交換律、分配律、同一律、零律

24、已經(jīng)成立，證明吸 收律收律 A (A B) = A. 證證 A (A B) = (A E) (A B) （同一律）（同一律） = A (E B) （分配律）（分配律） = A (B E) （交換律）（交換律） = A E （零律）（零律） = A （同一律）（同一律）31包含等價條件的證明包含等價條件的證明例例4 證明證明(6.28) A B A B=B A B=A A B= 證明思路：證明思路：l 確定問題中含有的命題：本題含有命題確定問題中含有的命題：本題含有命題 , , , l 確定命題間的關(guān)系（哪些命題是已知條件、哪些命題是要確定命題間的關(guān)系（哪些命題是已知條件、哪些命題是要證明的結(jié)論

25、）：本題中每個命題都可以作為已知條件，每證明的結(jié)論）：本題中每個命題都可以作為已知條件，每個命題都是要證明的結(jié)論個命題都是要證明的結(jié)論l 確定證明順序：確定證明順序：， l 按照順序依次完成每個證明（證明集合相等或者包含）按照順序依次完成每個證明（證明集合相等或者包含） 32證明證明證明證明A B A B=B A B=A A B= 證證 顯然顯然B A B，下面證明，下面證明A B B. 任取任取x， x A B x A x B x B x B x B 因此有因此有A B B. 綜合上述得證綜合上述得證. A B = A (A B) = A (由知由知A B=B，將，將A B代入代入B，并結(jié)合

26、吸收律得證并結(jié)合吸收律得證) 33證明證明A B A B=B A B=A A B= A B = A B = (A B) B = A (B B) = A = 假設(shè)假設(shè)A B不成立，那么不成立，那么 x(x A x B) x A B A B與條件矛盾與條件矛盾. 因此，結(jié)論因此，結(jié)論A B成立。成立。證明證明34式（式（6.28）在化簡集合公式中的應(yīng)用）在化簡集合公式中的應(yīng)用例例 6.14 化簡化簡( ( ABC ) ( AB ) ) ( ( A( BC ) )A )解：解：由于由于 AB ABC ， A A( BC ) 因此有：因此有：( ( ABC ) ( AB ) ) ( ( A( BC )

27、 )A )= ( AB ) A （由式子（由式子（6.28）= ( AB ) A （由式子（由式子（6.27）= ( AA ) ( BA ) （分配律）（分配律）= ( BA ) （矛盾律）（矛盾律）= ( BA ) （交換律）（交換律）= BA （同一律）（同一律）= B A （由式子（由式子（6.27）35對稱差運算算律對稱差運算算律 式（式（6.33）的證明）的證明例例 6.15 已知已知A B=A C，證明，證明B=C證證已知已知A B=A C，所以有，所以有 A (A B)=A (A C)(A A) B=(A A) C （由式子（由式子（6.30）B = C （由式子（由式子（6.3

28、2）B = C （由式子（由式子（6.29）B = C （由式子（由式子（6.31）36練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)：證明下列集合恒等式練習(xí)：證明下列集合恒等式（1）（）（A B） C=（A C） B證明證明：左邊：左邊=（A B） C = （ A B ） C （由式子（由式子（6.27） = （ A C ） B （交換律和結(jié)合律）（交換律和結(jié)合律） =（A C） B （由式子（由式子（6.27） = 右邊右邊（2）（A B） A）=A證明：左邊證明：左邊 = （A B） A） = （A B） A） （德摩根律）（德摩根律） = （A B） A （德摩根律）（德摩根律） = A （吸收律）（吸收律） =

29、右邊右邊37第六章第六章 練習(xí)作業(yè)練習(xí)作業(yè)書本第書本第100頁頁 第第32題的第（題的第（1）小題）小題 第第33題的第（題的第（1）小題）小題 第第50題題38第六章第六章 總結(jié)總結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 集合的兩種表示法集合的兩種表示法l 集合與元素之間的隸屬關(guān)系、集合之間的包含關(guān)系的區(qū)集合與元素之間的隸屬關(guān)系、集合之間的包含關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系別與聯(lián)系l 特殊集合：空集、全集、冪集特殊集合：空集、全集、冪集l 文氏圖及有窮集合的計數(shù)文氏圖及有窮集合的計數(shù)l 集合的集合的 , , , , 等運算以及廣義等運算以及廣義 , 運算運算l 集合運算的算律及其應(yīng)用集合運算的算律及其應(yīng)用39第六章第六章 習(xí)

30、題課習(xí)題課主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 集合的兩種表示法集合的兩種表示法l 集合與元素之間的隸屬關(guān)系、集合之間的包含關(guān)系的區(qū)集合與元素之間的隸屬關(guān)系、集合之間的包含關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系別與聯(lián)系l 特殊集合：空集、全集、冪集特殊集合：空集、全集、冪集l 文氏圖及有窮集合的計數(shù)文氏圖及有窮集合的計數(shù)l 集合的集合的 , , , , 等運算以及廣義等運算以及廣義 , 運算運算l 集合運算的算律及其應(yīng)用集合運算的算律及其應(yīng)用40基本要求基本要求l 熟練掌握集合的兩種表示法熟練掌握集合的兩種表示法l 能夠判別元素是否屬于給定的集合能夠判別元素是否屬于給定的集合l 能夠判別兩個集合之間是否存在包含、相等、真包含等關(guān)能夠

31、判別兩個集合之間是否存在包含、相等、真包含等關(guān)系系l 熟練掌握集合的基本運算（普通運算和廣義運算）熟練掌握集合的基本運算（普通運算和廣義運算）l 掌握證明集合等式或者包含關(guān)系的基本方法掌握證明集合等式或者包含關(guān)系的基本方法41練習(xí)練習(xí)1 1判斷下列命題是否為真判斷下列命題是否為真 (1) (2) (3) (4) (5) a, b a, b, c, a, b, c (6) a, b a, b, c, a, b (7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b 解解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)為真，其余為假為真，其余為假.42方法分析方法分析(1)

32、判斷元素判斷元素a與集合與集合A的隸屬關(guān)系是否成立基本方法：的隸屬關(guān)系是否成立基本方法： 把把 a 作為整體檢查它在作為整體檢查它在A中是否出現(xiàn)，注意這里的中是否出現(xiàn)，注意這里的 a 可可 能是集合表達(dá)式能是集合表達(dá)式. (2) 判斷判斷A B的四種方法的四種方法l 若若A,B是用枚舉方式定義的，依次檢查是用枚舉方式定義的，依次檢查A的每個元素是否的每個元素是否在在B中出現(xiàn)中出現(xiàn). l 若若A,B是謂詞法定義的，且是謂詞法定義的，且A, B中元素性質(zhì)分別為中元素性質(zhì)分別為P和和Q, 那么那么“若若P則則Q”意味意味 A B，“P當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)Q”意味意味=l 通過集合運算判斷通過集合運算判斷

33、A B，即，即A B = B, A B = A, A B = 三個等式中有一個為真三個等式中有一個為真.l 通過文氏圖判斷集合的包含（注意這里是判斷，而不是通過文氏圖判斷集合的包含（注意這里是判斷，而不是證明證明43練習(xí)練習(xí)22設(shè)設(shè) S1=1, 2, , 8, 9， S2=2, 4, 6, 8 S3=1, 3, 5, 7, 9 S4=3, 4, 5 S5=3, 5 確定在以下條件下確定在以下條件下X是否與是否與S1,S5中某個集合相等？如中某個集合相等？如果是，又與哪個集合相等？果是，又與哪個集合相等？ （1）若）若 X S5= （2）若）若 X S4但但 X S2= （3）若）若 X S1且

34、且 X S3 （4）若）若 X S3= （5）若）若 X S3 且且 X S144解答解答解解(1) 和和S5不交的子集不含有不交的子集不含有3和和5，因此，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是的子集只能是S4和和S5. 由于與由于與S2不交，不能含有偶數(shù)，不交，不能含有偶數(shù)， 因此因此 X=S5.(3) S1, S2, S3, S4和和S5都是都是S1的子集，不包含在的子集，不包含在S3的子集含有的子集含有 偶數(shù)，因此偶數(shù)，因此 X=S1, S2或或S4. (4) X S3=意味著意味著 X是是S3的子集，因此的子集，因此 X=S3或或 S5.(5) 由于由于S3是是S1的子集，因此這

35、樣的的子集，因此這樣的X不存在不存在.45練習(xí)練習(xí)33. 判斷以下命題的真假，并說明理由判斷以下命題的真假，并說明理由. （1）A B = A B= （2）A (B C) = (A B) (A C) （3）A A = A （4）如果）如果A B = B，則，則A = E. （5）A = x x，則，則 x A且且x A. 46解題思路解題思路l 先將等式化簡或恒等變形先將等式化簡或恒等變形.l 查找集合運算的相關(guān)的算律，如果與算律相符，結(jié)果為真查找集合運算的相關(guān)的算律，如果與算律相符，結(jié)果為真.l 注意以下兩個重要的充要條件注意以下兩個重要的充要條件 A B = A A B = A B = A

36、 B A B = B A B = A 如果與條件相符，則命題為真如果與條件相符，則命題為真.l 如果不符合算律，也不符合上述條件，可以用文氏圖表示如果不符合算律，也不符合上述條件，可以用文氏圖表示集合，看看命題是否成立集合，看看命題是否成立.如果成立，再給出證明如果成立，再給出證明.l 試著舉出反例，證明命題為假試著舉出反例，證明命題為假.47解答解答解解(1) B=是是A B=A的充分條件，但不是必要條件的充分條件，但不是必要條件. 當(dāng)當(dāng)B不空但不空但 是與是與A不交時也有不交時也有A B=A. (2) 這是這是DM律，命題為真律，命題為真.(3) 不符合算律，反例如下：不符合算律，反例如下

37、： A=1，A A=，但是，但是A.(4) 命題不為真命題不為真. A B=B的充分必要條件是的充分必要條件是 B A，不是，不是A=E. (5) 命題為真，因為命題為真，因為 x 既是既是 A 的元素，也是的元素，也是 A 的子集的子集 48練習(xí)練習(xí)44證明證明 A B = A C A B = A C B = C解題思路解題思路l 分析命題：含有分析命題：含有3 3個命題：個命題： A B = A C , A B = A C, B = C l 證明要求證明要求 前提：命題和前提：命題和 結(jié)論：命題結(jié)論：命題 l 證明方法：證明方法： 恒等式代入恒等式代入 反證法反證法 利用已知等式通過運算得到新的等式利用已知等式通過運算得到新的等式49解答解答方法一：恒等變形法方法一：恒等變形法 B = B (B A) = B (A B) = B (A C) = (B A) (B C) = (A C) (B C) = (A B) C = (A C) C = C 方法二：反證法方法二：