1、第三章 貝塞爾函數(shù) 對(duì)兩個(gè)自變量的情形，在第二章中比較系統(tǒng)地介紹了分離變量法的基本思想以及求解偏微分方程定解問(wèn)題的主要步驟. 本章討論多于兩個(gè)自變量的情形，其求解過(guò)程和兩個(gè)自變量情形基本相同，區(qū)別僅在于特征值問(wèn)題的求解要用到一類特殊函數(shù)貝塞爾（Bessel）函數(shù).本章前兩節(jié)圍繞一類特征值問(wèn)題的求解，比較系統(tǒng)地介紹二階常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，以及Bessel函數(shù)的一些基本性質(zhì). 第三節(jié)介紹多于兩個(gè)自變量情形的分離變量法. §31 二階線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法3.1.1 常系數(shù)線性方程的基解組在高等數(shù)學(xué)中，同學(xué)們已學(xué)過(guò)常微分方程的一些求解方法. 對(duì)于常系數(shù)線性常微分方程，只要求出特征方

2、程的根，就很容易寫出齊次方程的基解組，由此可得齊次方程通解表達(dá)式. 例1.1 求解下列齊次微分方程 (1) .(2) .(3) .解 (1) 特征方程為 ，特征根為 故基解組為 .（2）特征方程為 ，特征根為，是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，基解組為，這兩個(gè)解為復(fù)值函數(shù). 為得到實(shí)值函數(shù)的基解組，利用齊次微分方程解的線性性質(zhì)得，這兩個(gè)實(shí)值函數(shù)也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解組為 . （3）特征方程為 ，特征根為，即是二重特征根. 此時(shí)，由特征根只能寫出微分方程（3）的一個(gè)解為.為求方程（3）另一個(gè)與解線性無(wú)關(guān)的解，要用到求解微分方程的攝動(dòng)方法，即，考慮齊次方程， （1.1）（1.1）稱為方程（3）的

3、攝動(dòng)方程. 易得（1.1）的特征根為, 由此可得（1.1）的基解組為. 利用齊次微分方程解的線性性質(zhì)可得：， ， （1.2）仍是（1.1）的解. 當(dāng)趨于零時(shí)，方程（1.1）趨向于（3）中的方程. 可以證明，（1.1）的解關(guān)于參數(shù)是連續(xù)的，即當(dāng)趨于零時(shí)，（1.2）中的也趨向于（3）中方程的一個(gè)解. 利用羅比塔法則可得，此即微分方程（3）的另一個(gè)與解線性無(wú)關(guān)的解. 因此方程（3）的基解組為 . 例1.2 求解下列齊次微分方程(1) .(2) .（3）. 解 （1）特征方程為 ，因式分解為,特征根為，故基解組為 .（2）特征方程為 ，因式分解為 ,由此可得特征根為，故基解組為 .（3）特征方程為 ，

4、因式分解為,特征根為而和都是該特征方程的二重根，由此可得方程（3）的基解組為 .3.1.2 變系數(shù)線性方程的冪級(jí)數(shù)解法對(duì)于變系數(shù)線性常微分方程，要求出齊次方程的基解組絕非易事. 若方程為二階，可用待定系數(shù)法求出某種級(jí)數(shù)形式的基解組或一個(gè)非零解. 有關(guān)這方面的理論和方法已比較成熟，有興趣的同學(xué)可查閱參考文獻(xiàn).下面，我們不加證明地給出本門課程中要用到的兩個(gè)主要結(jié)果，作為今后求解一些特征值問(wèn)題的理論基礎(chǔ). 定理 1.1 考慮下面二階變系數(shù)線性常微分方程 ， （1.3）如果在的鄰域解析，即在該鄰域可展成Taylor級(jí)數(shù)，則方程（1.3）有如下形式的解析解 ， （1.4）其中可由待定系數(shù)法求出. 定理

5、1.2 考慮下面二階變系數(shù)線性常微分方程 ， （1.5）如果在的鄰域解析，即最多為和的一階和二階極點(diǎn). 則在該去心鄰域，方程（1.5）有如下形式的級(jí)數(shù)解 ， （1.6）其中，. ，可由待定系數(shù)法求出. 下面應(yīng)用定理1.1求解一些變系數(shù)線性常微分方程，而定理1.2的應(yīng)用則放在下節(jié).例1.3 求解下列方程（1）.（2）.解（1）此題中，它們都是R上解析函數(shù). 根據(jù)定理1.1，可設(shè)解為 . 將該級(jí)數(shù)求一階和二階導(dǎo)數(shù)并將和代入到原方程中得，或，令上式中系數(shù)為零可得 ，此即 . （1.7）由（1.7）易得 .將上面的結(jié)果代入到 得其中表示的半階乘，其值為小于或等于的一切偶正整數(shù)之乘積，而值為小于或等于的

6、一切奇正整數(shù)之乘積, 為任意常數(shù). 由于和線性無(wú)關(guān)，故方程（1）的基解組為. （2） 此題中，它們都是上的解析函數(shù). 根據(jù)定理1.1，可設(shè)解為 . 將該級(jí)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)代入到原方程中得，或. （1.8）將的Taylor級(jí)數(shù)，代入到（1.8）中得，展開可得，由此可得 將上面的結(jié)果代入到 得其中為任意常數(shù)，為方程（2）的基解組. 例1.3 求解下面方程 （1.9）其中為非負(fù)實(shí)數(shù). 解 此題中,這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間，即內(nèi)解析. 根據(jù)定理1.1，可設(shè)解為 . 將該級(jí)數(shù)及一階和二階導(dǎo)數(shù)代入到原方程中得，或.令上式中系數(shù)為零可得 此即 （1.10）連續(xù)使用（1.10）可得:,，.將上面的結(jié)果代入到 得 （1.1

7、1）其中為任意常數(shù)，為L(zhǎng)egendre方程的基解組. 注1 當(dāng)不等于整數(shù)時(shí)，（1.11）中和是兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，它們?cè)趨^(qū)間收斂，而在該區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)發(fā)散到無(wú)窮大. 當(dāng)?shù)扔谡麛?shù)時(shí)，例如，由上面的表達(dá)式易見：若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則. 因此，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，和其中之一是一個(gè)次多項(xiàng)式. §32貝塞爾函數(shù)本節(jié)介紹一類特殊函數(shù)貝塞爾（Bessel）函數(shù)，為分離變量法的進(jìn)一步應(yīng)用作準(zhǔn)備. 32.1 函數(shù)考慮廣義積分，由廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法可得，當(dāng)時(shí)，該廣義積分收斂. 將此廣義積分記為，即 （2.1）此函數(shù)稱為函數(shù)，它對(duì)任意的有定義且. 具有如下性質(zhì)（1） ，. （2.2）（2） ，. （2.3）下面給

8、出（2.2）和（2.3）的證明. .為求，令，并記，利用極坐標(biāo)變換可得，故有. （令）.利用（2.2）和（2.3），請(qǐng)同學(xué)們證明以下兩式:.利用公式（2.3）可將的定義域由擴(kuò)充為. 如當(dāng)時(shí)定義，則在區(qū)間有定義. 類似地可定義在區(qū)間上的值, 如此繼續(xù)下去，便可將的定義域擴(kuò)充到實(shí)軸上除去負(fù)整數(shù)的點(diǎn)集上. 注1 利用數(shù)學(xué)分析中關(guān)于含參變量廣義積分的可微性結(jié)果可得：在區(qū)間是一階連續(xù)可導(dǎo)的，并且還可以通過(guò)積分號(hào)求導(dǎo)，即有 . 由的連續(xù)性易見 .在中令得 ,即是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn). 結(jié)合在負(fù)實(shí)軸的延拓方式,易見每個(gè)也是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn). 因此，習(xí)慣上就約定 注2 利用在附注1中給出的的表達(dá)式可證：存在唯一的

9、實(shí)數(shù)使得，且有 因此，在區(qū)間有唯一的極小值. 由于根據(jù)羅爾定理可知介于1和2之間. 利用數(shù)值計(jì)算方法可以求出和的近似值為 . 在附注1中已得到. 由于，在區(qū)間單調(diào)增，故有. 結(jié)合附注2中的結(jié)果和在負(fù)實(shí)軸的延拓方式,可得的示意圖如下-32412-2-1-4-2圖3.132.2 Bessel方程和Bessel函數(shù)設(shè)，二階線性常微分方程 （2.4）稱為階Bessel方程. 方程兩邊同除以，相當(dāng)于定理1.2中的，它們滿足該定理的條件，故可用待定系數(shù)法求（2.4）具有級(jí)數(shù)形式的解，即令 ， （2.5）其中和為待定常數(shù). 將（2.5）代入到（2.4）中并整理可得.比較上式兩端的系數(shù)得 （2.6）由于，故有

10、，. 首先取，則由（2.6）可得,.如果選取，則有. 將以上所得代入到（2.5）中便得（2.4）的一個(gè)解為, 此函數(shù)稱為階Bessel函數(shù), 通常用記此函數(shù)，即 . （2.7）如果不為整數(shù)，取，利用（2.6）類似可得（2.4）的另一個(gè)解為 , （2.8）稱為階Bessel函數(shù). 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，例如，取，此時(shí)（2.6）中第三個(gè)方程為 當(dāng)時(shí)的系數(shù)等于零，因而利用該方程確定系數(shù)的過(guò)程失效. 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，的定義要利用（2.8）式. 當(dāng)時(shí)，注意到當(dāng)時(shí), 所以（2.8）中冪級(jí)數(shù)部分的系數(shù)當(dāng)時(shí)為零. 在（2.8）中代就得到 .總而言之，對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)上面都定義了階Bessel函數(shù)，并且和都是階Bessel方程

11、（2.4）的解. 記表達(dá)式中冪級(jí)數(shù)部分的系數(shù)為，直接計(jì)算可得即表達(dá)式中冪級(jí)數(shù)部分的收斂半徑為無(wú)窮大, 類似可證表達(dá)式中冪級(jí)數(shù)部分的收斂半徑也為無(wú)窮大. 因此，和中冪級(jí)數(shù)部分是兩個(gè)在實(shí)軸上的解析函數(shù). 注意到在右連續(xù)而在的鄰域無(wú)界，故當(dāng)不等于整數(shù)時(shí)，和是線性無(wú)關(guān)的，它們構(gòu)成（2.4）的一個(gè)基解組. 當(dāng)時(shí)，直接計(jì)算可得（令） , （2.9）即和是線性相關(guān)，須另找（2.4）的一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的解.注3 利用數(shù)學(xué)分析中函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的可微性結(jié)果可證：當(dāng)不等于整數(shù)時(shí)，和中無(wú)窮級(jí)數(shù)部分作為參數(shù)的函數(shù)是可導(dǎo)的. 由于函數(shù)和當(dāng)時(shí)關(guān)于也是可導(dǎo)的，所以和當(dāng)時(shí)關(guān)于是可導(dǎo)的,且對(duì)任意給定的非負(fù)整數(shù)，和存在. 在例1.1

12、中方程（3）的求解中，我們已使用過(guò)攝動(dòng)方法求出該方程的基解組. 下面再使用此方法求當(dāng)時(shí)，階Bessel方程另一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的解. 對(duì)于任意的非負(fù)整數(shù)，選取滿足，即不是整數(shù)，這時(shí)和是（2.4）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解. 利用齊次方程解的線性性質(zhì)可知也是（2.4）的解. 當(dāng)趨向于時(shí)，中分子分母均趨向于零，即是未定式. 利用羅必塔法則并結(jié)合附注3中的結(jié)果可得.若記此極限為，則進(jìn)一步還可證明：也是（2.4）當(dāng)時(shí)的一個(gè)解且與線性無(wú)關(guān)， 因此, 當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，和是（2.4）的二個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，它們構(gòu)成（2.4）的一個(gè)基解組. 通常稱為第二類Bessel函數(shù)或Neumann函數(shù). 注4 貝塞爾函數(shù)在數(shù)學(xué)物理方程

13、中有許多應(yīng)用，它不僅可用來(lái)求解貝塞爾方程（2.4），還可通過(guò)變量代換求解其它的方程, 而這些方程在求解與Laplace算子相關(guān)的定解問(wèn)題中發(fā)揮著很大的作用. 本章練習(xí)題中的第13題中給出了一些例子，請(qǐng)同學(xué)們利用貝塞爾函數(shù)求出這些問(wèn)題的解. 32.3 Bessel函數(shù)的性質(zhì)整數(shù)階Bessel函數(shù)具有和三角函數(shù)和相類似性質(zhì)，下面分別介紹. （1） 奇偶性： 在（2.7）中取，并用代替得由此推出，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)。 （2） 零點(diǎn)分布：的根稱為的零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，和的示意圖如圖2.1所示。O1圖2.1其中實(shí)線為的圖形，虛線為的圖形. 可以證明：無(wú)復(fù)根，但有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根，它們?cè)谳S上

14、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱地分布著. 除外，；的根，除可能是重根外，其余根全為單重根. 記的正根，即的正零點(diǎn)為. 進(jìn)一步還可證明：當(dāng)時(shí)，；并且當(dāng)時(shí)，具有如下漸近表達(dá)式 即是一個(gè)衰減振蕩函數(shù). （3） 遞推公式： 為計(jì)算簡(jiǎn)單起見，下面只給出整數(shù)階Bessel函數(shù)遞推公式的證明. 對(duì)于非整數(shù)階Bessel函數(shù)，所得結(jié)果仍成立. 由于冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，用乘并對(duì)求導(dǎo)得 . （2.10）類似地，用乘并對(duì)求導(dǎo)得 （2.11）將（2.10）和（2.11）兩式左端導(dǎo)數(shù)求出并整理得,.在上面兩式中消去或可得 . （2.12） . （2.13）（2.12）和（2.13）便是整數(shù)階Bessel函數(shù)的遞推函數(shù)公式. 32

15、.4 Bessel方程的特征值問(wèn)題在第二章我們遇到的特征值問(wèn)題，都是二階線性微分算子帶有不同邊界條件下的特征值問(wèn)題. 而相當(dāng)于二階線性微分算子在一維的情形. 當(dāng)空間變量為二維時(shí)，在直角坐標(biāo)系下,. 在極坐標(biāo)系下，直接計(jì)算可得.因此，二階線性微分算子在圓域上的特征值問(wèn)題即為 . （2.14）邊界條件為（Dirichlet邊界條件，或?yàn)?Neumman邊界條件. 下面利用分離變量法求解（2.14）.令并將其代入到（2.14）中得,變形為,此即,故有 （2.15） . （2.16）由第二章定理1.3知：（2.15）的特征值和特征函數(shù)分別為，. 將代入到（2.16）中便得 , （2.17）方程（2.1

16、7）結(jié)合一定邊界條件便是Bessel方程特征值問(wèn)題. 考慮Dirichlet邊界條件下階Bessel方程特征值問(wèn)題 （2.18）其中是一個(gè)正常數(shù)，為非負(fù)整數(shù). 為待定常數(shù)，稱為(2.18)的特征值，而相應(yīng)于的非零解稱為（2.18）的特征函數(shù). 對(duì)于Bessel方程特征值問(wèn)題（2.18），如下結(jié)論成立.定理2.1 設(shè)為非負(fù)整數(shù)，為的第個(gè)正零點(diǎn)，即的正根. 則（2.18）的特征值和特征函數(shù)分別為 , （2.19） , （2.20）特征函數(shù)系關(guān)于權(quán)函數(shù)是正交的，且有 ,. （2.21）其中鑒于該定理證明方法在特征值問(wèn)題中具有典型性，下面給出該定理的詳細(xì)證明過(guò)程，也請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)這一證明方法. 證明

17、 由于證明過(guò)程比較長(zhǎng)，以下分四步完成.為書寫簡(jiǎn)單起見，在下面的證明中有時(shí)就略去自變量將簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為. 第一步 證明特征值非負(fù). 將（2.18）中的方程兩邊除以，并寫成如下散度型的形式,以乘上式，并對(duì)在區(qū)間積分得, .若是（2.18）的特征值，則（2.18）相應(yīng)于的解不恒等于零. 利用（2.18）中的邊界條件得,由此可知：（2.18）的特征值且當(dāng)時(shí). 第二步 求解特征值問(wèn)題. 當(dāng)時(shí)（2.18）中的方程為歐拉方程，解之可得利用邊界條件，可得即. 因此，不是特征值，即一切特征值. 當(dāng)時(shí)，對(duì)（2.18）中方程作自變量變換：，方程成為階Bessel方程 . 由于階Bessel方程的通解為,故（2.18

18、）中方程通解為 . （2.22）由，得. 由得,由于，所以為的正零點(diǎn). 故有, , 將代入到（2.22）中并略去非零常數(shù)得 , . 和便是特征值問(wèn)題（2.18）的特征值和特征函數(shù). 第三步 證明特征函數(shù)系關(guān)于權(quán)系數(shù)的正交性. 設(shè)，則和分別滿足如下兩個(gè)方程 , （2.23） . （2.24）以乘（2.23），乘（2.24）并將兩式相減得 ,或.上式兩邊對(duì)在區(qū)間積分得 ， （2.25）記（2.25）等號(hào)右邊為，利用分部積分法得 .注意到，由（2.25）便得 ， （2.26）（2.26）便是和關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交性. 第四步 求出關(guān)于權(quán)函數(shù)的平方模. 記并取使得. 直接驗(yàn)證可得：分別是如下兩問(wèn)題的解 （

19、2.27） （2.28）類似于第一步，可將（2.27）和（2.28）中的方程化為如下形式， （2.29）， （2.30）用和分別乘（2.29）和（2.30）兩式并相減得，在區(qū)間積分上式得. （2.31）由（2.31）可得在上式中令，由羅必塔法則可得. （2.32）問(wèn)題得證.定理2.2 設(shè)在區(qū)間連續(xù)且具有分段連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上，可按（2.20）給出的特征函數(shù)系展成如下的FourierBessel級(jí)數(shù) ， （2.33）其中 （2.34）展開式（2.33）稱為的FourierBessel級(jí)數(shù)，通常也叫的廣義Fourier級(jí)數(shù)或簡(jiǎn)稱為Fourier級(jí)數(shù)，稱為關(guān)于特征函數(shù)系的Fourier系數(shù).

20、 對(duì)于帶有Neumann邊界條件Bessel方程的特征值問(wèn)題，也有下面類似于定理2.1和定理2.2的結(jié)果. 考慮Neumann邊界條件下階Bessel方程特征值問(wèn)題 （2.35）其中是一個(gè)正常數(shù)，為非負(fù)整數(shù).定理2.3 設(shè)為非負(fù)整數(shù)，為的正零點(diǎn)，即的正根. 則（2.35）的特征值和特征函數(shù)分別為 當(dāng) 時(shí)，, ， （2.36） 當(dāng)時(shí)，, （2.37）特征函數(shù)系關(guān)于權(quán)函數(shù)是正交的，且有 ,. （2.38）特征函數(shù)系也是完備的.定理2.3的證明和定理2.1的證明完全類似，作為練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們自己完成.定理2.3中特征函數(shù)系完備性證明可查閱參考文獻(xiàn). 32.5 圓域上Laplace算子的特征值問(wèn)題利用定

21、理2.1并結(jié)合特征值問(wèn)題（2.15）可得如下結(jié)果定理2.3 考慮圓域上拉普拉斯算子特征值問(wèn)題該問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為 ， （2.39）其中. 特征函數(shù)系是相互正交的，且有 （2.40）特征函數(shù)系也是完備的.注5 上面簡(jiǎn)單地介紹了兩類函數(shù), 既函數(shù)和Bessel函數(shù)，它們都是特殊函數(shù). 其中一個(gè)由含參變量的廣義積分給出,而另一個(gè)則由無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式給出. 一般說(shuō)來(lái)，偏微分方程的解均具有這樣的形式, 希望同學(xué)們能逐漸習(xí)慣這類函數(shù). 32.6 一些例子下面舉例以復(fù)習(xí)函數(shù)和Bessel函數(shù).例2.1 計(jì)算下列積分 （1）. （2）.解 （1） 對(duì)積分作變量代換 ，則. （2）對(duì)積分作變量代換 ，則

22、,.例2.2 證明 .證明 由（2.7）得.例2.3 計(jì)算積分. 解 利用遞推公式（2.10）得.例2.4 證明 證明 在（2.11）中取得 ，由此可得 （2.12）和（2.13）兩式相減可得 ， 在上式中取，并將前面所得結(jié)果代入即得所要結(jié)果. 例2.5 設(shè)是函數(shù)的正零點(diǎn)，證明 證明 在遞推公式（2.11）中取得.因此，是的正零點(diǎn). 記，作變量代換得 .將積分變量還原為積分變量得.注意到并利用定理1中的（2.21 ）得由于，即，取得,利用得.由此可得 例2.6 將函數(shù)在區(qū)間上按正交函數(shù)系展成Fourier級(jí)數(shù). 解 由于在區(qū)間上連續(xù)且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由定理2.3得,其中.令，則有 .故所求展

23、開式為. §33 多個(gè)自變量分離變量法舉例用分離變量法求解個(gè)自變量的偏微分方程定解問(wèn)題，其過(guò)程和兩個(gè)自變量的情形相似. 為簡(jiǎn)單起見，所舉例子中均取第一類邊界條件. 對(duì)其它類型邊界條件，差別只是由定解問(wèn)題導(dǎo)出的特征值問(wèn)題不同，而求解過(guò)程基本上是相同的. 3.3.1 矩形域上定解問(wèn)題 例3.1 在矩形域上求解定解問(wèn)題 解 第一步 記, 并令代入到（3.1）得 ， ，由此可得 ， .由邊界條件（3.2），（3.3）得定解問(wèn)題（3.1）-（3.4）的特征值問(wèn)題為 （3.5） 第二步 令并代入到（3.5）中得 ， （3.6） （3.7）易見（3.6）的解為 ， ，將代入到（3.7）中，類似可得

24、 ， ，將和相乘，便得（3.5）的特征值和特征函數(shù)分別為 ， ，第三步：將代入到中并求解得. 根據(jù)疊加原理得 . （3.8）由初始條件（3.4）得 , . 類似于一元函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)中系數(shù)求法得,將，代入到（3.8）中便得（3.1）（3.4）的解. 若，同學(xué)們?cè)囉?jì)算和. 3.3.2 圓柱體或圓域上定解問(wèn)題例3.2 設(shè)圓柱體為，若其邊界溫度為，初始溫度為，且只與有關(guān)且有界，求圓柱體內(nèi)的溫度分布. 解 記，則滿足以下定解問(wèn)題 由于初始條件只與有關(guān)，邊界條件為齊次邊界條件，故可推知圓柱體內(nèi)以軸為中心的圓柱面上溫度相同，即只與和有關(guān)，而與和無(wú)關(guān)，故有. 對(duì)定解問(wèn)題（3.9）（3.11），作自變量

25、變換，并注意到與無(wú)關(guān)，直接計(jì)算可得 下面利用分離變量法求解問(wèn)題（3.12）（3.14）. 令并代入到（3.12）中得,由此得 ，.由該問(wèn)題的物理意義可知函數(shù)有界，從而有有界. 由此可推出應(yīng)滿足自然邊界條件 . （3.15）結(jié)合邊界條件（3.13）可得定解問(wèn)題（3.12）（3.14）的特征值問(wèn)題為 （3.16）定解問(wèn)題（3.16）是Bessel函數(shù)特征值問(wèn)題（3.14）中，的特殊情形. 由定理2.1可得，將代入到中并求解得，從而 ，根據(jù)疊加原理得 . （3.17）在（3.17）中令并結(jié)合初始條件（3.14）得,其中. 將代入到（3.17）中便得定解問(wèn)題（3.12）（3.14）的解. 若，請(qǐng)同學(xué)們

26、自己求出的值. 如果定解問(wèn)題中的偏微分方程為非齊次方程，可用以下二種方法求解. 例3.3 求解如下定解問(wèn)題 解 該定解問(wèn)題中的偏微分方程為非齊次方程，可用以下二種方法求解. 方法1：選滿足（3.18）（3.19），并作函數(shù)代換將方程（3.18）齊次化. 為此考慮如下定解問(wèn)題 為簡(jiǎn)單起見設(shè)，從而，故上面定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 （3.21）（3.21）中的微分方程是歐拉方程，直接求解可得其通解為 . 由邊界條件和可得，.故有 .令，則定解問(wèn)題（3.18）（3.20）轉(zhuǎn)化為其中. 定解問(wèn)題（3.22）（3.24）和例3.2中的定解問(wèn)題（3.12）（3.14）屬同一類型，因而可用例3.2中的方法求解. 方法2

27、： 利用特征函數(shù)法直接求解定解問(wèn)題（3.18）（3.20）.由例3.2已知該定解問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為 ，將初始值和方程的自由項(xiàng)按特征函數(shù)系展成Fourier級(jí)數(shù)得 ， 其中，. ，其中 . 令 并將其代入到（3.18）中得, . （3.25）由于滿足（3.16）中的方程，即 ， （3.26）將（3.26）代入到（3.25）中得 , , （3.27）比較（3.27）兩邊的系數(shù)得, , （3.28）利用初始條件（3.20）得.， . （3.29）結(jié)合（3.28）和（3.29）便得滿足如下定解問(wèn)題 （3.30）（3.30）是一階線性非齊次常微分方程的初始值問(wèn)題，易得其解為 ，將代入到的級(jí)數(shù)中

28、得 . （3.31）（3.31）便是定解問(wèn)題（3.18）（3.20）的解.注1 在例3.2和例3.3中所使用的求解方法，也可用于求解圓域上的二維波動(dòng)方程的定解問(wèn)題. 在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，滿足一階線性常微分方程. 而在波傳播問(wèn)題中，滿足二階線性常微分方程. 除此之外，其余的求解過(guò)程大體相同. Bessel函數(shù)還可用于求解圓柱體上Laplace方程的定解問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明. 例3.4 設(shè)有一半徑為高為的圓柱體，其下底和側(cè)面電位為零，上底電位為，試求圓柱體內(nèi)的電位分布. 解 記，則圓柱體上電位滿足如下定解問(wèn)題由于邊界條件只與有關(guān)，可推知. 作柱面坐標(biāo)變換，則上面定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 令并代入到（3.32）中可得 （3.36）利用邊界條件（3.35）和自然邊界條件可得特征值問(wèn)題 求解（3.37）（3.38）可得特征值和特征函數(shù)分別為，, 將代入到（3.36）中并求解得，根據(jù)疊加原理令 . （3.39）由（3.33）得. 由（3.34）得 直接計(jì)算可 . (3.40)將代入到（3.39）中，最后可得（3.32）（3.35）的解為 . 注2 由上面幾個(gè)例子可以看出，利用Bessel函數(shù)求解圓域或圓柱體上一些偏微分方程定解問(wèn)題時(shí)，要求該問(wèn)題的解與無(wú)關(guān)，定解問(wèn)題的解可按定理