1、專題二十九 動態(tài)幾何問題題型解讀動態(tài)幾何問題通常以幾何知識和圖形為背景，滲入運(yùn)動變化的觀點(diǎn)。盡管圖形的某一元素運(yùn)動變化，但問題的結(jié)論可能改變，也可能保持不變這類題寓動于靜，解題時要化變量為常量，展示數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，重在考查能力.解決動態(tài)幾何問題時，需要我們樹立聯(lián)系發(fā)展的動態(tài)觀，用運(yùn)動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握運(yùn)動與變化的全過程典例剖析【題型1】單一點(diǎn)線動態(tài)型簡單幾何圖形，增添運(yùn)動變化元素，往往考察圖形的變化過程，分析變量與其他量之間的關(guān)系，建立相關(guān)聯(lián)系（等式）。例1（2007內(nèi)江）如圖291，在等腰三角形中，為底邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），垂足分別為，則 圖29-1剖析三角形中的垂線段與

2、高相關(guān)，可依托面積關(guān)系求解。解：連結(jié)CD，作CHAB于H。則 AHAB4，CH3。由 SACD SBCDSABC，得 AC·DEBC·DFAB·CH，即 AC·DEBC·DFAB·CH，5DE5DF8×3， DEDF。【題型2】與平移旋轉(zhuǎn)相關(guān)的動態(tài)型平移或旋轉(zhuǎn)，本身伴隨運(yùn)動，常需探索動點(diǎn)的運(yùn)動特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化“動”為“靜”，以“靜”制“動”。例2（2007資陽）如圖292，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)（不與A、C重合），PEBC于點(diǎn)E，PFCD于點(diǎn)F.（1）求證：BPDP；（2）如圖29

3、3，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BPDP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論 .圖29-3圖29-2剖析平移旋轉(zhuǎn)隱含全等關(guān)系，利用全等可探求線段的相等關(guān)系。解：（1）解法一：在ABP與ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP.（2）不是總成立.當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DP >DC>BP，此時BP=DP不成

4、立. （3）連接BE、DF，則BE與DF始終相等.在圖292中，可證四邊形PECF為正方形，在BEC與DFC中，可證BECDFC . 從而有 BE=DF .【題型3】與坐標(biāo)、函數(shù)圖象相關(guān)的動態(tài)型在直角坐標(biāo)系中的動態(tài)幾何題，常綜合運(yùn)用代數(shù)與幾何基本知識，特別緊扣函數(shù)解析式及圖象的相關(guān)性質(zhì)。例3（2006眉山）如圖294：正方形ABCO的邊長為3，過A點(diǎn)作直線AD交x軸于D點(diǎn)，且D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），線段AD上有一動點(diǎn)，以每秒一個單位長度的速度移動。（1）求直線AD的解析式；（2）若動點(diǎn)從A點(diǎn)開始沿AD方向運(yùn)動2.5秒時到達(dá)的位置為點(diǎn)P，求經(jīng)過B、O、P三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）若動點(diǎn)從A點(diǎn)開

5、始沿AD方向運(yùn)動t秒時到達(dá)的位置為點(diǎn)P1，過P1作P1Ex軸，垂足為E，設(shè)四邊形BCEP1的面積為S，請問S是否有最大值？若有，請求出來；若沒有，請說明理由。 圖29-4解：（1）由已知，易得A（4，0），由待定系數(shù)法可得直線AD的解析式為。（2）由題意知AP2.5。在RtAOD中，可得AD5，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2.5）由于點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B（3，3），O（0，0），P（2，2.5）三點(diǎn)的拋物線的解析式為，則解得所求拋物線解析式為（3）作P1Fy軸于F，則四邊形BCEP1是梯形，當(dāng)時，最大面積命題規(guī)律與復(fù)習(xí)策略【命題規(guī)律與復(fù)習(xí)策略1】單一點(diǎn)線動態(tài)型，常揉合勾股定理、面積關(guān)系、多邊形

6、內(nèi)角和等基本知識。要善于抓住在運(yùn)動中某一特殊位置的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系以及特定的限制條件。【命題規(guī)律與復(fù)習(xí)策略2】與平移旋轉(zhuǎn)相關(guān)的動態(tài)型，蘊(yùn)涵運(yùn)動變換的性質(zhì)，隱含全等關(guān)系。必要時，要注意將在運(yùn)動過程中的各個時刻的圖形進(jìn)行分類畫圖，由“動”變“靜”。分類畫圖在解動態(tài)幾何中很有效?！久}規(guī)律與復(fù)習(xí)策略3】與坐標(biāo)、函數(shù)圖象相關(guān)的動態(tài)型，常以幾何圖形為基架，以運(yùn)動時間為自變量，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，描述運(yùn)動規(guī)律。有時需通過求出點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線（或拋物線）的解析式來解決問題有時還要善于充分利用題中提供的信息，注意數(shù)形結(jié)合法，確定點(diǎn)與坐標(biāo)、點(diǎn)與函數(shù)之間的關(guān)系在求有關(guān)圖形的

7、變量之間的關(guān)系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型來求解；在求圖形之間的特殊數(shù)量關(guān)系和一些特殊值時，通常建立方程模型求解。總之，解決動態(tài)幾何問題，要從觀察入手，抓住圖形運(yùn)動時各變量之間的關(guān)系，通過歸納得出規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并加以求解。2008考勢預(yù)測精練【復(fù)習(xí)策略1】（針對訓(xùn)練13題）1如圖295，已知ABC為直角三角形，C90°，若沿圖中虛線剪去C，則12等于（ C）A. 90° B. 135° C. 270° D. 315°圖5 圖29-62如圖29-6，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一個動點(diǎn)，則DNMN的最小值為_。解

8、法：連結(jié)BN，DNMNBNMNBM10。3如圖297，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角為60°（1）求AO與BO的長；（2）若梯子頂端A沿NO下滑到C點(diǎn)，同時底端B沿OM向右滑行到D點(diǎn)若ACBD=23，試AC的長。圖297解：（1）OB2米，OA米。（2）設(shè)AC=2x，則BD=3 x。在RtOCD中，由勾股定理得（2x）2（23 x）242，解得，于是【復(fù)習(xí)策略2】（針對訓(xùn)練45題）4已知AOB=900，在AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點(diǎn)D、E（1）當(dāng)三角

9、板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖298），易證ODOEOC（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖299、圖2910這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，不需證明圖298圖299圖2910解：（2）圖299結(jié)論：ODOEOC 。證明：過C分別作OA、OB的垂線，垂足分別為P、QCPDCQE，DPEQ，OPODDP，DQOEEQ，又OP0Q0C，即ODDPOEEQ0C， ODOE0C圖2910結(jié)論：OEODOC.5設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的O的圓心

10、O在直線l上運(yùn)動，點(diǎn)A、O間距離為d（1）如圖2911，當(dāng)ra時，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)填入下表：d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)dardarardardardar所以，當(dāng)ra時，O與正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)可能有個；2911（2）如圖2912，當(dāng)ra時，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)填入下表：d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)dardaradarda所以，當(dāng)ra時，O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有個；29122913（3）如圖2913，當(dāng)O與正方形有5個公共點(diǎn)時，試說明ra；答案：（1）表中依次為0，1，2，1，0。空中填0，1，2。（2）表中依次為0，1，2，

11、4。空中填0，1，2，4。（3）連結(jié)OC，則OEOCr，OFEFOE2a r，在RtOCF中，由勾股定理得（2a r）2 a2 r2，整理得ra?！緩?fù)習(xí)策略3】（針對訓(xùn)練68題）ABPCx29146如圖2914，在RtABC中，C=90°，AC=2，BC的長為常數(shù)，點(diǎn)P從起點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P所走過路程CP的長為x，APB的面積為y，則下列圖象 能大致反映y 與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（ C ）ByOxyOxADyOxCyOx7如圖29-15，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60°，點(diǎn)P為x軸上的個動點(diǎn)，點(diǎn)P不

12、與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合連結(jié)CP，過點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動什么位置時，OCP為等腰三角形，求這時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動什么位置時，使得CPD=OAB，且=，求這時點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（1）作BQx軸于Q. 四邊形ABCD是等腰梯形,BAQCOA60°在RtBQA中，BA4,BQAB·sinBAO=4×sin60°AQ=AB·cosBAO=4×cos60°2,OQOAAQ725，點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，)（2）若OCP為等腰三角形，COP60°,此時OCP為等邊三角形或是頂角

13、為120°的等腰三角形。若OCP為等邊三角形，OPOCPC4，且點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)若OCP是頂角為120°的等腰三角形，則點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且OPOC4點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)或(-4，0)（3）若CPDOABCPAOCP+COP而OABCOP60°,OCPDPA此時OCPADP,ADABBD4APOAOP7-OP得OP1或6點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，0)或(6，0).8如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A。動點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動，作PQx軸交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與OAB重疊部分的面積為S。（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)。（2）試求出點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動時，S與運(yùn)動時間t（秒）的關(guān)系式。（3）在（2）的條件下，S是否有最大值？