1、數(shù)列求和之錯位相減法例1 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且有a1=2，3Sn=（I）求數(shù)列an的通項公式；（）若bn=nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn。解析：（），（3分）又，（4分）. （5分）（）， .（8分）兩式相減得：，（11分）.（12分）例2 等比數(shù)列an的前n項和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數(shù)列(1)求an的公比q；(2)若a1a3，求數(shù)列nan的前n項和Tn.解析：(1)由已知得2S3S1S2，2(a1a2a3)a1(a1a2)，a22a30，an0，12q0，q.(2)a1a3a1(1q2)a1(1)a1，a12，an(2)()n1()n2，nann()n2.Tn1()

2、12()03()1n()n2，Tn1()02()13()2n()n1，得Tn2()0()1()2()n2n()n1()n1(n)，Tn()n1(n).例3 設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解析(1)由已知，得當(dāng)n1時，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以數(shù)列an的通項公式為an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1.從而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n

3、1，即Sn(3n1)22n12例4 已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解析 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由已知條件可得解得故數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，即Sna1，故S11，.所以，當(dāng)n1時，a11()1(1).所以Sn.綜上，數(shù)列的前n項和Sn.例5 (2008,陜西) 已知數(shù)列的首項，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列的前項和解析 （） ， ， ，又， 數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列（）由（）知，即，設(shè)， 則，由得，又?jǐn)?shù)列的前項和 .例6 在等比數(shù)列an中，a2a332，a532.(1)求數(shù)列a

4、n的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，求S12S2nSn.解析：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意得解得a12，q2，故an22n12n.(2)Sn表示數(shù)列an的前n項和，Sn2(2n1)，S12S2nSn2(2222n2n)(12n)2(2222n2n)n(n1)，設(shè)Tn2222n2n，則2Tn22223n2n1，得Tn2222nn2n1n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12，S12S2nSn2(n1)2n12n(n1)(n1)2n24n(n1)例7 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前n項和為，首項為，且等差數(shù)列.（）求數(shù)列的通項公式；（）若，設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解析：（1）由

5、題意知 1分當(dāng)時，當(dāng)時，兩式相減得3分整理得： 4分?jǐn)?shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.5分（2），6分 -得 9分 .11分12分例8 (14分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的最小正整數(shù)n的值解析 (1)設(shè)此等比數(shù)列為a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由題意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比數(shù)列an單調(diào)遞增，a12，q2，an2

6、n.(2)由(1)得bnn2n，Snb1b2bn(12222n2n)設(shè)Tn12222n2n，則2Tn122223n2n1.由，得Tn1212212nn2n12n12n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.Sn(n1)2n12.要使Snn2n150成立，即(n1)2n12n2n150，即2n26.241626，且y2x是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件的n的最小值為5.【跟蹤訓(xùn)練】1已知數(shù)列an的前n項和為Sn3n，數(shù)列bn滿足b11，bn1bn(2n1)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)求數(shù)列bn的通項公式bn；(3)若cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解析：(1)Sn3n，Sn13

7、n1(n2)，anSnSn13n3n123n1(n2)當(dāng)n1時，23112S1a13，an(2)bn1bn(2n1)，b2b11，b3b23，b4b35，bnbn12n3.以上各式相加得bnb1135(2n3)(n1)2.b11，bnn22n.(3)由題意得cn當(dāng)n2時，Tn32031213222332(n2)3n1，3Tn92032213322342(n2)3n，相減得2Tn623223323n12(n2)3n.Tn(n2)3n(332333n1)(n2)3n.TnTn(nN*)2已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列，a11，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的第1項，第3項，第5項分別是a1，a3，

8、a21.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Sn.解析： (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，數(shù)列bn的公比為q，由題意得aa1a21，(12d)21(120d)，即4d216d0，d0，d4，an4n3.b11，b39，b581，bn的各項均為正數(shù)，q3，bn3n1.(2)由(1)可得anbn(4n3)3n1，Sn30531932(4n7)3n2(4n3)3n1，3Sn31532933(4n7)3n1(4n3)3n，兩式相減得：2S1(4n3)3n14(332333n1)(4n3)3n1(4n3)3n(54n)3n5，Sn.3、已知遞增的

9、等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q.依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解得或又an為遞增數(shù)列，an2n.(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n.2Sn122223324(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.Sn2n1n2n12.4、 設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和解析 （）設(shè)的公差為

10、，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，5、 已知是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（）求數(shù)列與的通項公式；（）記，證明（）.解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由得，由條件得方程組，解得，所以（2）證明：由（1）得-得 而故6(2012浙江)已知數(shù)列an的前n項和為Sn ，且Sn2n2n，nN*，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解析：(1)由Sn2n2n，得當(dāng)n1時，a1S13；當(dāng)n2時，anSnSn14n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由

11、(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1，2 Tn 32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2 Tn Tn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.7. (2012江西)已知數(shù)列an的前n項和Snn2kn(其中kN)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.解析：(1)當(dāng)nkN時，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，從而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因為bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.3設(shè)an是等

12、差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an，bn的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和Sn.解析：(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則依題意有q0且解得所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2)，Sn1，2Sn23.，得Sn2222226.4(2012石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列，a11，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的第1項，第3項，第5項分別是a1，a3，a21.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Sn.解析：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，數(shù)列bn的公比為q，由題意得aa1a21，

13、(12d)21(120d)，即4d216d0，d0，d4，an4n3.b11，b39，b581，bn的各項均為正數(shù)，q3，bn3n1.(2)由(1)可得anbn(4n3)3n1，Sn30531932(4n7)3n2(4n3)3n1，3Sn31532933(4n7)3n1(4n3)3n，兩式相減得：2S1(4n3)3n14(332333n1)(4n3)3n1(4n3)3n(54n)3n5，Sn.7(13分)已知數(shù)列an的前n項和Sn與通項an滿足Snan.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)f(x)log3x，bnf(a1)f(a2)f(an)，Tn，求T2 012；(3)若cnanf(an)，求cn的前n項和Un.解析：(1)當(dāng)n1時，a1，當(dāng)n2時，anSnSn1，又Snan，所以anan1，即數(shù)列an是首項為，公比為的等比數(shù)列，故ann.(2)由已知