1、高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (北京專用)第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2.1 函數(shù)的概念及其表示A A組自主命題組自主命題北京卷題組北京卷題組五年高考考點(diǎn)一函數(shù)的概念及其表示考點(diǎn)一函數(shù)的概念及其表示(2011北京,8,5分)設(shè)A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(tR).記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn),則函數(shù)N(t)的值域?yàn)?)A.9,10,11B.9,10,12C.9,11,12D.10,11,12答案答案 C解法一:當(dāng)t=0時(shí),平行四邊形ABCD為正方形,不含邊界的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.當(dāng)t0時(shí),直線AD的方程為y=x,

2、分別與直線y=1,y=2,y=3交于點(diǎn)M1,M2,M3.同理,直線BC的方程為y=(x-4)分別與直線y=1,y=2,y=3交于點(diǎn)N1,N2,N3.當(dāng)0t1時(shí),直線y=1,y=2,y=3在平行四邊形ABCD內(nèi)部的線段上各有4個(gè)整點(diǎn),故此時(shí)N(t)=12;當(dāng)t=1時(shí),直線y=1,y=2在平行四邊形ABCD內(nèi)部的線段上各有4個(gè)整點(diǎn),而直線y=3在平行四邊形ABCD內(nèi)部的線段上只有3個(gè)整點(diǎn),此時(shí)N(t)=11.同理可得當(dāng)kt0時(shí),f(x)=-2x0;當(dāng)x0時(shí),f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),當(dāng)x0,f(x)是增函數(shù),當(dāng)-1x0時(shí),f(x)0,f(x)是減函數(shù),f(x)f(-1)=2.f

3、(x)的最大值為2.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=-2x和y=x3-3x的圖象,如圖所示:(i)當(dāng)-1a2時(shí),函數(shù)圖象如圖所示(實(shí)線部分),函數(shù)的最大值為f(-1)=2.(ii)當(dāng)a2時(shí),函數(shù)圖象如圖所示(實(shí)線部分),函數(shù)的最大值為a3-3a.33 ,0,2 ,0.xx xx x(iii)當(dāng)a-1時(shí),函數(shù)圖象如圖所示(實(shí)線部分),函數(shù)沒(méi)有最大值.綜上可知,當(dāng)a0時(shí),f(x)0,而x0時(shí),f(x)的值可為正數(shù),故只需考慮f(x)=x3-3x在(-,0上的最大值即可.對(duì)于,由于解析式中不含a,那么可以在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)相應(yīng)函數(shù)的圖象,從圖中觀察a處于同一位置時(shí)函數(shù)圖象最高點(diǎn)的情況即可.

4、3.(2013北京文,13,5分)函數(shù)f(x)=的值域?yàn)?12log,1,2 ,1xxxx答案答案(-,2)解析解析解法一:x1時(shí),f(x)=lox是單調(diào)遞減的,此時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?-,0;x1時(shí),f(x)=2x是單調(diào)遞增的,此時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?0,2).綜上,f(x)的值域是(-,2).解法二:畫出函數(shù)f(x)=的圖象.如圖:由圖可知該函數(shù)的值域?yàn)?-,2).12g12log,1,2 ,1xx xxB B組統(tǒng)一命題組統(tǒng)一命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)一函數(shù)的概念及其表示考點(diǎn)一函數(shù)的概念及其表示1.(2016課標(biāo),10,5分)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx

5、的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1x答案答案 D函數(shù)y=10lgx的定義域、值域均為(0,+),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值域?yàn)镽,排除B,故選D.評(píng)析評(píng)析本題考查函數(shù)的定義域和值域,熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.(2019江蘇,4,5分)函數(shù)y=的定義域是.276xx答案答案-1,7解析解析 本題考查了函數(shù)的定義域及一元二次不等式的解法,考查了運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.要使原函數(shù)有意義,需滿足7+6x-x20,解得-1x7,故所求定義域?yàn)?1,7.3.(2018江蘇,5,5分)函數(shù)f(x)

6、=的定義域?yàn)?2log1x答案答案2,+)解析解析本題考查函數(shù)定義域的求法及對(duì)數(shù)函數(shù).由題意可得log2x-10,即log2x1,x2.函數(shù)的定義域?yàn)?,+).易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示函數(shù)的定義域是使解析式中各個(gè)部分都有意義的自變量的取值集合,函數(shù)的定義域要寫成集合或區(qū)間的形式.4.(2016江蘇,5,5分)函數(shù)y=的定義域是.232xx答案答案-3,1解析解析若函數(shù)有意義,則3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1.故所求定義域?yàn)?3,1.考點(diǎn)二分段函數(shù)考點(diǎn)二分段函數(shù)1.(2015課標(biāo),5,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12211log

7、(2),1,2,1.xxxx答案答案 C-21,f(-2)=1+log22-(-2)=3;f(log212)=6.f(-2)+f(log212)=9.2log 12 122log 622.(2017課標(biāo),15,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)+f1的x的取值范圍是.1,0,2 ,0,xxxx12x答案答案 1,4解析解析本題考查分段函數(shù).當(dāng)x時(shí),f(x)+f=2x+2x1;當(dāng)02x1;當(dāng)x0時(shí),f(x)+f=x+1+1=2x+,f(x)+f12x+1x-,即-x0.綜上,x.1212x122x21212x12x1212x12x3212x3214141,4方法總結(jié)方法總結(jié)分段函數(shù)常常需要分段

8、討論.3.(2015浙江,10,6分)已知函數(shù)f(x)=則f(f(-3)=,f(x)的最小值是.223,1,lg(1),1,xxxxx答案答案0;2-32解析解析-31,f(-3)=lg(-3)2+1=lg10=1,f(f(-3)=f(1)=1+-3=0.當(dāng)x1時(shí),f(x)=x+-32-3(當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),取“=”);當(dāng)x1時(shí),x2+11,f(x)=lg(x2+1)0.又2-30,f(x)min=2-3.212x2222C C組教師專用題組組教師專用題組考點(diǎn)一函數(shù)的概念及其表示考點(diǎn)一函數(shù)的概念及其表示1.(2015浙江,7,5分)存在函數(shù)f(x)滿足:對(duì)于任意xR都有()A.f(sin2x)=

9、sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案答案 D對(duì)于A,令x=0,得f(0)=0;令x=,得f(0)=1,這與函數(shù)的定義不符,故A錯(cuò).在B中,令x=0,得f(0)=0;令x=,得f(0)=+,與函數(shù)的定義不符,故B錯(cuò).在C中,令x=1,得f(2)=2;令x=-1,得f(2)=0,與函數(shù)的定義不符,故C錯(cuò).在D中,變形為f(|x+1|2-1)=|x+1|,令|x+1|2-1=t,得t-1,|x+1|=,從而有f(t)=,顯然這個(gè)函數(shù)關(guān)系在定義域(-1,+)上是成立的,選D.222421t 1t 2.(2013陜西,1,5分)設(shè)全集為

10、R,函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镸,則RM為()A.-1,1B.(-1,1)C.(-,-11,+)D.(-,-1)(1,+)21x答案答案 D由1-x20得-1x1,故RM=(-,-1)(1,+).考點(diǎn)二分段函數(shù)考點(diǎn)二分段函數(shù)1.(2015山東,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(f(a)=2f(a)的a的取值范圍是()A.B.0,1C.D.1,+)31,1,2 ,1.xxxx2,132,3答案答案 C當(dāng)a時(shí),f(a)=3a-11,f(f(a)=3(3a-1)-1=9a-4,2f(a)=23a-1,顯然f(f(a)2f(a).當(dāng)a1,f(f(a)=,2f(a)=,故f(f(a)=2f(a).綜合

11、知a.232322a22a23評(píng)析評(píng)析 本題主要考查分段函數(shù)及分類討論思想.2.(2014福建,7,5分)已知函數(shù)f(x)=則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是增函數(shù)C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)?1,+)21,0,cos ,0,xxx x答案答案 D作出f(x)的圖象如圖所示,可排除A,B,C,故D正確.評(píng)析評(píng)析本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想,解題的關(guān)鍵是正確作出f(x)的圖象.3.(2014上海,18,5分)設(shè)f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,則a的取值范圍為()A.-1,2B.-1,0C.1,2D.0,22() ,0,1,0.xaxxa xx答

12、案答案 D當(dāng)x0時(shí),f(x)=(x-a)2,又f(0)是f(x)的最小值,a0.當(dāng)x0時(shí),f(x)=x+a2+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”.要滿足f(0)是f(x)的最小值,需2+af(0)=a2,即a2-a-20,解之,得-1a2,a的取值范圍是0a2.選D.1x4.(2018江蘇,9,5分)函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(xR),且在區(qū)間(-2,2上,f(x)=則f(f(15)的值為.cos,02,21, 20,2xxxx 答案答案22解析解析本題考查分段函數(shù)及函數(shù)的周期性.f(x+4)=f(x),函數(shù)f(x)的周期為4,f(15)=f(-1)=,f=cos=,f(f(15)=f=

13、.121242212225.(2014浙江,15,4分)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(f(a)2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.22,0,0.xxxxx答案答案(-,2解析解析解法一:當(dāng)a0時(shí),f(a)=-a20,又f(0)=0,故由f(f(a)=f(-a2)=a4-a22,得0a.當(dāng)-1a0時(shí),f(a)=a2+a=a(a+1)0,則由f(f(a)=f(a2+a)=(a2+a)2+(a2+a)2,得-a,則有-1a0,得x1,故函數(shù)y=ln(x-1)的定義域?yàn)?1,+).3.(2017北京西城期末,12)函數(shù)y=的定義域是;最小值是.4xx答案答案(0,+);4解析解析要使y=有意義,則分母不為0且有意義,則

14、x0,故函數(shù)y=的定義域是(0,+).因?yàn)閥=+4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=4時(shí)等號(hào)成立,故最小值為4.4xxx4xx4xxx4xx4x思路分析思路分析根據(jù)根式及分式有意義的條件可求函數(shù)定義域;將原函數(shù)解析式化為y=+,應(yīng)用基本不等式可求最小值.4xxx4x方法點(diǎn)撥方法點(diǎn)撥求函數(shù)的值域時(shí)可以應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì),也可以應(yīng)用基本不等式.考點(diǎn)二分段函數(shù)考點(diǎn)二分段函數(shù)1.(2019北京豐臺(tái)一模文,7)設(shè)函數(shù)f(x)=則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為()A.-1,1B.-1,0)1,+)C.(-,-1(0,1D.(-,-11,+)1211,0,2,0.xxxx答案答案 D當(dāng)x1的x的取值范圍是.3 ,0,3

15、,0,xxxx 答案答案 ;(0,2)13解析解析f(-1)=3-1=,由f(x)1得即0 x2.1331,0,xx 3.(2017北京西城二模,12)若函數(shù)f(x)=則f=;方程f(-x)=的解是.22 ,0,log,0,xxx x1412答案答案-2;-或12解析解析f=log2=-2.當(dāng)x0,由f(-x)=log2(-x)=可得x=-;當(dāng)x0時(shí),-x0,由f(-x)=2-x=可得x=1,故方程f(-x)=的解是-或1.1414122121224.(2019北京西城期末文,13)設(shè)函數(shù)f(x)=則ff(0)=;若方程f(x)=b有且僅有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.2e ,0,1

16、,0,4xxxxx答案答案;141 1,4 2解析解析f(0)=e0=1,ff(0)=f(1)=-12+1+=.在同一直角坐標(biāo)系下作出分段函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=b.由圖可知,當(dāng)b時(shí),方程f(x)=b有且僅有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.14141 1,4 2B B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組時(shí)間:15分鐘分值:25分填空題(每小題5分,共25分)1.(2018北京海淀期末,13)函數(shù)f(x)=的最大值為;若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=k(x-1)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.2 ,0,(2),0 xxxx x答案答案1;0,+)解析

17、解析畫出函數(shù)f(x)=的圖象,如圖,由圖象得到最大值為1.作出y=k(x-1)的圖象.根據(jù)圖象得到實(shí)數(shù)k的取值范圍為0,+).2 ,0,(2),0 xxxx x2.(2018北京西城期末,14)已知函數(shù)f(x)=若c=0,則f(x)的值域是;若f(x)的值域是,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.2, 2,1,3.xxxccxx 1,24答案答案1,41,12解析解析若c=0,則f(x)=若x-2,0,當(dāng)x=-時(shí),x2+x=-,為最小值,當(dāng)x=-2時(shí),x2+x=2,為最大值,x2+x;當(dāng)x(0,3時(shí),.綜上,f(x)的值域?yàn)?因?yàn)閒(x)的值域是,所以c-.由x2+x2得(x+2)(x-1)0,-2x1,f

18、(x)的定義域?yàn)?2,c,c1,又2,x,2, 20,1,03.xxxxx 12141,241x1,31,41,24121x12定義域?yàn)?c,3,c.綜上,c的取值范圍是.121,123.(2019北京西城一模文,13)設(shè)函數(shù)f(x)=當(dāng)f(a)=-1時(shí),a=;如果對(duì)于任意的xR都有f(x)b,那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是.ln(2),1,24,1.xxxx 答案答案-;(-,-232解析解析若a-1,則有l(wèi)n(a+2)=-1,解得a=-2-1,故舍去.若a-1,則有-2a-4=-1,解得a=-2,故b-2.1e32324.(2019北京豐臺(tái)期末文,14)已知函數(shù)f(x)=若a=0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有個(gè);若f(x)f(1)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.| 2 ,.x xx xax xa答案答案2-1-,12解析解析若a=0,則f(x)=當(dāng)x0時(shí),f(x)=2x-x2,由f(x)=0,解得x=0或x=2;當(dāng)x1時(shí),f(x)=lnx,f(x)=0無(wú)解;當(dāng)x1時(shí),f(x)=-|x|(x+2),f(x)=0,即-|x|(x+2)=0,解得x=0或x=-2,則f(