1、奧數(shù) 定義新運(yùn)算我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意義、符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什么別的運(yùn)算嗎？現(xiàn)在我們就來研究這個(gè)問題。這些新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，對(duì)于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。一、 定義1、 定義新運(yùn)算是指運(yùn)用某種特殊的符號(hào)表示的一種特定運(yùn)算形式。注意：（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運(yùn)算，然后進(jìn)行計(jì)算。 （2）我們還要知道，這是一種人為的運(yùn)算形式。它是使用特殊的運(yùn)算符號(hào)，

2、如：*、等來表示的一種運(yùn)算。 （3）新定義的算式中，有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的。2、一般的解題步驟是:一是認(rèn)真審題，深刻理解新定義的內(nèi)容；二是排除干擾，按新定義關(guān)系去掉新運(yùn)算符號(hào)；三是化新為舊，轉(zhuǎn)化成已有知識(shí)做舊運(yùn)算。二、初步例題詮釋例1、 對(duì)于任意數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b=ab-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32例2、假設(shè)a b = ( a + b ) b 。求 8 5 。 分析與解：該題的新運(yùn)算被定義為: a b等于兩數(shù)之和除以后一個(gè)數(shù)的商。這里要先算括號(hào)里面的和，再算后面的商。這里a

3、代表數(shù)字8，b代表數(shù)字5。 8 5 = （8 + 5） 5 = 2.6例3、如果ab=ab-(a+b)。求6（92）。分析與解：根據(jù)定義，要先算括號(hào)里面的。這里的符號(hào)“”就是一種新的運(yùn)算符號(hào)。6（92）=692-（9+2）=67=67-（6+7）=42-13=29例4、如果13=1+11+111；25=2+22+222+2222+22222；82=8+88。求65。分析與解：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)“”前面的數(shù)字是加數(shù)每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，而加數(shù)分別是一位數(shù)，二位數(shù)，三位數(shù)，“”后面的數(shù)字是幾，就有幾個(gè)加數(shù)。因此可以按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行解答。65=6+66+666+6666+66666=74070例5、如果規(guī)定2

4、=123，3=234，4=345，計(jì)算（-）。分析與解：該題看上去比較復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，該題被定義為X=（X-1）X（X+1）。由于把數(shù)代入算式中計(jì)算比較麻煩，我們可以先化簡算式后，再計(jì)算。 （-） = - =- =（1-） = （1-） =（1-） = =例6、規(guī)定ab=5a+ab-3b。求（85）X=264中的未知數(shù)。分析與解：根據(jù)新定義，應(yīng)該先計(jì)算括號(hào)里面的，再計(jì)算括號(hào)外面的，然后解方程即可。 （85）X=264（58 + 85-35）X=264 45X=264545+45X-3X=264225+X-=264225+X=264X=39X=2三、邊學(xué)邊試【例1】A，B表示兩個(gè)

5、數(shù)，定義AB表示(A+B)2，求(1)(317) 29；(2)(19) 9 6。【分析與解】定義新運(yùn)算符號(hào)“”表示AB=(A+B)2，即兩個(gè)數(shù)做“”運(yùn)算就是求這兩個(gè)數(shù)的平均值.如:317=(3+17)2=10，再用10與29做運(yùn)算，1029=(10+29)2=19.5(1)原式=(3+17)2 29 (2)原式=(1+9)2 96 =202 29 =59 6 =1029 =(5+9)2 6 =(10+29)2 =76 =392 =(7+6)2 =19.5 =6.5【試一試】1、A，B表示兩個(gè)數(shù)，定義A*B=2A-B.試求:(1)(8.56.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65

6、+12.35)2、設(shè)ab=ab+a-2b，按此規(guī)定計(jì)算：（1）81.25 (2)(42.5) 7【例2】已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.【分析與解】觀察兩個(gè)已知等式可以發(fā)現(xiàn)，“*”定義的是連加運(yùn)算，第一個(gè)加數(shù)是“*”前邊的數(shù)，且后一個(gè)加數(shù)都比前一個(gè)加數(shù)多一位，但數(shù)字相同，而“*”后邊的數(shù)恰好是加數(shù)的個(gè)數(shù)。（1）3*3=3+33+333=369（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380（3）提示：因?yàn)?* x=1+11+111+=123所以倒著算：123-1=1

7、22 122-11=111 111-111=0即：1+11+111=1*3=123從而可知x=3【試一試】已知53=567，36=345678，按此規(guī)定計(jì)算：（1）（43）+（62） （2）（32）（43）【例3】設(shè)AB=2（A+B）-2（AB），計(jì)算：（1）（124）13； （2）70（184）。【分析與解】觀察已知等式可知：“”定義表示的是兩個(gè)數(shù)和的2倍與商的2倍的差。如：124=2（12+4）-2（124）=26（1）原式=2（12+4）-2（124） 13 =216-23 13 =2613 =2（26+13）-2（2613） =239-22 =78-4 =74（2）原式=702（18+

8、4）-2（184） =70222-24.5 =7035 =2(70+35)-2(7035) =206【試一試】1、規(guī)定ab=(a+b)(a-b)，按此規(guī)定計(jì)算:(1)215 (2)(189) 22、設(shè)a#b=5a-2b，計(jì)算：（12.5#8）#19.72 【例4】小輝用電腦設(shè)計(jì)了A，B，C，D四種裝置，將一個(gè)數(shù)輸入一種裝置后，會(huì)輸出另一個(gè)數(shù).裝置A:將輸入的數(shù)加上5；裝置B:將輸入的數(shù)除以2；裝置C:將輸入的數(shù)減去4；裝置D:將輸入的數(shù)乘3.這些裝置可以連接，如果裝置A后面連接裝置B，就寫成AB，輸入1后，經(jīng)過AB輸出了3.那么，輸入9，經(jīng)過ABCD輸出幾?【分析與解】ABCD=(9+5)2-

9、43=9所以輸出的是9【試一試】同學(xué)們?cè)谧鲞@樣一個(gè)數(shù)字游戲:一張帶有數(shù)字的卡片在A，B，C，D四位同學(xué)間傳遞，當(dāng)傳遞給A時(shí)，A將該數(shù)字乘5傳出，當(dāng)傳遞給B時(shí)，B將該數(shù)字除以2傳出，當(dāng)傳遞給C時(shí)，C將該數(shù)字加18傳出，當(dāng)傳遞給D時(shí)，D將該數(shù)字減去9后交給主持人，如果一張卡片經(jīng)過A傳遞給B記為AB，那么一張帶有18的數(shù)字卡片，經(jīng)過ABCD的傳遞后交給主持人時(shí)卡片上的數(shù)字是多少?【理一理】新定義運(yùn)算注意的問題:(1)新定義運(yùn)算一般不滿足運(yùn)算定律如:abba a(bc) (ab) c(a*b) c(ac)*(bc)(2)“+”“-”“”“”仍然是通常的運(yùn)算符號(hào)，完全符合四則運(yùn)算順序.四、練一練1、規(guī)定

10、a*b=4a-3b，計(jì)算：（1.5*0.8）*0.5 2、設(shè)a，b都表示自然數(shù)，規(guī)定ab=3a+b2，計(jì)算：（1）56 （2）65（3）2（35） （4）（23）53、規(guī)定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，按此規(guī)定計(jì)算：11*54、如果1=1！，12=2！，123=3！，123499100=100！那么1！+2！+3！+4！+100！的個(gè)位數(shù)字是幾？5、狼和羊在一起時(shí)，狼要吃掉羊，所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運(yùn)算，用符號(hào)“”表示：羊羊=羊；羊狼=狼；狼狼=狼。 以上運(yùn)算的意思是羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了，小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼。所以我們規(guī)定另一種運(yùn)算，用