1、1三三. .高斯定理高斯定理 下面通過對(duì)任一閉合曲面的電通量的討論，得到產(chǎn)生下面通過對(duì)任一閉合曲面的電通量的討論，得到產(chǎn)生電場(chǎng)的源電荷和通過閉合面的電場(chǎng)的源電荷和通過閉合面的 的定量關(guān)系，即產(chǎn)生電場(chǎng)的定量關(guān)系，即產(chǎn)生電場(chǎng)的源電荷和其激發(fā)的電場(chǎng)的關(guān)系的源電荷和其激發(fā)的電場(chǎng)的關(guān)系-即靜電場(chǎng)的一個(gè)重要即靜電場(chǎng)的一個(gè)重要定理定理-高斯定理高斯定理。它是描寫靜電場(chǎng)性質(zhì)的基本方程之一。它是描寫靜電場(chǎng)性質(zhì)的基本方程之一e數(shù)學(xué)表達(dá)式：數(shù)學(xué)表達(dá)式：iSeqSE01d依據(jù)：依據(jù)：庫侖定律和場(chǎng)疊加原理庫侖定律和場(chǎng)疊加原理真空中任一靜電場(chǎng)真空中任一靜電場(chǎng)中，穿過任一閉合面的電通量中，穿過任一閉合面的電通量 在數(shù)值上等

2、于該閉合面內(nèi)包圍的電荷的在數(shù)值上等于該閉合面內(nèi)包圍的電荷的代數(shù)和代數(shù)和除以真除以真空中的介電常數(shù)空中的介電常數(shù)e0內(nèi)容：內(nèi)容：S-封閉面，高斯面封閉面，高斯面( (外法線為正外法線為正) )iq- S內(nèi)包圍電荷的代數(shù)和內(nèi)包圍電荷的代數(shù)和E- S面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度2下面對(duì)此定理從個(gè)別到一般進(jìn)行推證。不進(jìn)行嚴(yán)格證明下面對(duì)此定理從個(gè)別到一般進(jìn)行推證。不進(jìn)行嚴(yán)格證明定理的推證：定理的推證：+q1SS1 ： S1面上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小面上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小 方向沿半徑向外方向沿半徑向外204qEr02011d4dqSrqSESSe（ 與與r 無關(guān)）無關(guān)）e1. 在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，取在點(diǎn)電荷

3、的電場(chǎng)中，取3個(gè)閉合曲面，求個(gè)閉合曲面，求e3+q2SS2 ： 因?yàn)橐驗(yàn)?線是連續(xù)的，在沒有電荷線是連續(xù)的，在沒有電荷的地方不會(huì)自行中斷，所以穿過的地方不會(huì)自行中斷，所以穿過S1面面的電力線必會(huì)全部穿過的電力線必會(huì)全部穿過S2E012ddqSESESSe（ 與與q在在S內(nèi)的位置無關(guān)）內(nèi)的位置無關(guān)）e+q3SS3 ： 從從q發(fā)出的電力線穿入發(fā)出的電力線穿入S3后后必穿出必穿出S3 ，所以：，所以：0eS142. 在多個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，對(duì)任一閉合曲面的在多個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，對(duì)任一閉合曲面的 等于每個(gè)等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的穿過該閉合曲面的通量的點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的穿過該閉合曲面的通量的代數(shù)

4、和代數(shù)和。e n 個(gè)點(diǎn)電荷在個(gè)點(diǎn)電荷在S內(nèi)，內(nèi)， k 個(gè)點(diǎn)電荷在個(gè)點(diǎn)電荷在S外外空間的電場(chǎng)是空間的電場(chǎng)是 n+k 個(gè)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊個(gè)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加，任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度加，任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度kn21EEEE即高斯面上任一點(diǎn)的即高斯面上任一點(diǎn)的 可由上式表示可由上式表示Eq1q2q nq n+1q n+2q n+kS通過通過S的通量：的通量：SSSSeSESESESEddddkn21n10n21010)(1iiqqqq5結(jié)論：結(jié)論：在真空中任意靜電場(chǎng)中，通過任一封閉面在真空中任意靜電場(chǎng)中，通過任一封閉面的的 的通量的通量 等于面等于面S所包圍電荷的代數(shù)和所包圍電荷的代數(shù)和乘以乘以eE01關(guān)于高斯定理

5、的幾點(diǎn)說明：關(guān)于高斯定理的幾點(diǎn)說明：1.iSqSE01dS-高斯封閉面，幾何面高斯封閉面，幾何面( (外法線為正外法線為正) )iq- S內(nèi)包圍電荷的代數(shù)和內(nèi)包圍電荷的代數(shù)和6E- 高斯面上的電場(chǎng)強(qiáng)度，是空間所有電荷（高斯面上的電場(chǎng)強(qiáng)度，是空間所有電荷（ S內(nèi)和內(nèi)和S外外的電荷）產(chǎn)生的電場(chǎng)的電荷）產(chǎn)生的電場(chǎng) 的矢量和。的矢量和。iESSEd-通過封閉面通過封閉面S的總通量。由的總通量。由S內(nèi)電荷的代數(shù)和確內(nèi)電荷的代數(shù)和確定。因?yàn)槊嫱怆姾蓪?duì)面的總通量的貢獻(xiàn)為零。定。因?yàn)槊嫱怆姾蓪?duì)面的總通量的貢獻(xiàn)為零。如：如：q1q2q1Sq3)(1d320qqSESee由由q2 ， q3定定E由由q1 ，q2

6、， q3定定q1移動(dòng)，面上移動(dòng)，面上 的變，但的變，但 不變。不變。ESSEd72. 若若 ，則，則 ，即，即 ，等否推出，等否推出 ？0dSSE0內(nèi)iq0e0E一般來說一般來說0E從數(shù)學(xué)上看從數(shù)學(xué)上看-積分結(jié)果為零，被積函數(shù)不一定為零積分結(jié)果為零，被積函數(shù)不一定為零從物理上看從物理上看- 的通量的通量和和 是是完全不同的二個(gè)量完全不同的二個(gè)量EE0dsin20如：如：+qS-q0iq即即但但S上上 處處不為零處處不為零E0e又如：又如：Sq0iq即即但但S上上 處處不為零處處不為零E0e83. 電荷恰在封閉面上？電荷恰在封閉面上？研究這種情況是沒有物理意義的研究這種情況是沒有物理意義的 高斯

7、面是幾何面，沒有厚度。任何一個(gè)帶電體都是有高斯面是幾何面，沒有厚度。任何一個(gè)帶電體都是有一定的形狀和大小，不在面內(nèi)就在面外；或部分在面內(nèi)，一定的形狀和大小，不在面內(nèi)就在面外；或部分在面內(nèi)，部分在面外。高斯定理指出：僅部分在面外。高斯定理指出：僅S內(nèi)的電荷對(duì)內(nèi)的電荷對(duì) 有貢獻(xiàn)。有貢獻(xiàn)。e4. 空間電荷的分布是任意的，高斯面的選取是任意的。對(duì)任空間電荷的分布是任意的，高斯面的選取是任意的。對(duì)任一封閉面，高斯定理都成立，但一般情況下，只僅利用高斯一封閉面，高斯定理都成立，但一般情況下，只僅利用高斯定理不能把場(chǎng)中定理不能把場(chǎng)中 的分布求出來。的分布求出來。E但對(duì)具有對(duì)稱分布的電場(chǎng)，選取合適的高斯面，但

8、對(duì)具有對(duì)稱分布的電場(chǎng)，選取合適的高斯面， 可簡潔求出?？珊啙嵡蟪?。E何為對(duì)稱分布電場(chǎng)？何為對(duì)稱分布電場(chǎng)？ 若若電荷分布對(duì)稱，則電場(chǎng)分布對(duì)稱電荷分布對(duì)稱，則電場(chǎng)分布對(duì)稱。一般有一般有球?qū)ΨQ電場(chǎng)：球?qū)ΨQ電場(chǎng)： 點(diǎn)電荷，均勻帶電球殼，均勻帶電球體點(diǎn)電荷，均勻帶電球殼，均勻帶電球體軸對(duì)稱電場(chǎng)：軸對(duì)稱電場(chǎng)：平面對(duì)稱電場(chǎng)：平面對(duì)稱電場(chǎng)：無限長帶電線，無限長帶電圓筒、圓柱體無限長帶電線，無限長帶電圓筒、圓柱體無限大帶電平面無限大帶電平面9高斯定理的應(yīng)用：高斯定理的應(yīng)用：-求解對(duì)稱分布的電場(chǎng)求解對(duì)稱分布的電場(chǎng)1. 均勻帶電球面的電場(chǎng)均勻帶電球面的電場(chǎng) R q 此電場(chǎng)球?qū)ΨQ分布，任一同心球面上各點(diǎn)此電場(chǎng)球?qū)ΨQ分

9、布，任一同心球面上各點(diǎn)的的 大小相同（大小相同（各點(diǎn)無差別、不可區(qū)分各點(diǎn)無差別、不可區(qū)分），方），方向沿半徑向外呈輻射狀向沿半徑向外呈輻射狀ERoq1。r R 以以r為半徑做一同心球面為高斯面（外法線方向?yàn)檎榘霃阶鲆煌那蛎鏋楦咚姑妫ㄍ夥ň€方向?yàn)檎?0ddd4eSSSqESESESEr 204rqE2。r R 球體外任一點(diǎn)球體外任一點(diǎn)P的的EPS1024d1qrESESe304RqrErrrRqrE03034或204rqErrRrrqE2032034或2。r R 做高斯球面做高斯球面S23023414d2rrESESeS212EorR21rE rE 球內(nèi)：球內(nèi)：rE 球心處：球心處：0E

10、球外：球外：q全部集中在球心的全部集中在球心的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)204rqE3. 無限大均勻帶電平面（無限大均勻帶電平面（s s ）的電場(chǎng)）的電場(chǎng)電場(chǎng)以帶電平面為對(duì)稱面，平面對(duì)稱分布。求場(chǎng)中任一點(diǎn)電場(chǎng)以帶電平面為對(duì)稱面，平面對(duì)稱分布。求場(chǎng)中任一點(diǎn)P的的 。以平面為對(duì)稱面，過。以平面為對(duì)稱面，過P點(diǎn)作一封閉柱面點(diǎn)作一封閉柱面S，其軸線，其軸線和平面垂直，二底面平行于平面。和平面垂直，二底面平行于平面。ES1S3S2s s規(guī)定外法線方向?yàn)檎?guī)定外法線方向?yàn)檎?2120dsSSESESESES02sE13 s s均勻電場(chǎng)，平面對(duì)稱分布。均勻電場(chǎng)，平面對(duì)稱分布。s s1 1s s2 2疊加原理：

11、疊加原理：P1P2+0201P221ssE0201P222ssE14思考題：思考題：(1)二同心均勻帶電球面二同心均勻帶電球面求：求：電場(chǎng)分布電場(chǎng)分布Q1Q2R1R2(2) 無限大，厚度為無限大，厚度為b均勻帶電平面，均勻帶電平面， b 求：求：電場(chǎng)分布電場(chǎng)分布155. 無限長均勻帶電柱面的電場(chǎng)無限長均勻帶電柱面的電場(chǎng) R l lr R 做高斯柱面做高斯柱面S2S2hhrhEl012rE022lEorrE116(2) 均勻無限長帶電柱面的電荷分布在柱面上。一般可以給均勻無限長帶電柱面的電荷分布在柱面上。一般可以給出面電荷分布出面電荷分布s s ，也可以給出線電荷分布，也可以給出線電荷分布l l

12、 。(3) 用疊加原理求同軸無限長帶電柱面的電場(chǎng)用疊加原理求同軸無限長帶電柱面的電場(chǎng) 。自己思考自己思考(1) 均勻無限長帶電柱面的電場(chǎng)：柱內(nèi)均勻無限長帶電柱面的電場(chǎng)：柱內(nèi) ，柱外的電場(chǎng)同，柱外的電場(chǎng)同 帶等量電荷（等帶等量電荷（等 l l）的無限長帶電線的電場(chǎng)相同。）的無限長帶電線的電場(chǎng)相同。0E17歸納用高斯定理解題的方法歸納用高斯定理解題的方法1. 分析帶電體的對(duì)稱性分析帶電體的對(duì)稱性若若電荷分布是對(duì)稱的，電荷分布是對(duì)稱的，則則電場(chǎng)分布也是對(duì)稱的電場(chǎng)分布也是對(duì)稱的。球?qū)ΨQ電場(chǎng)：球?qū)ΨQ電場(chǎng)：點(diǎn)電荷，均勻帶電球面、球體、球殼點(diǎn)電荷，均勻帶電球面、球體、球殼軸對(duì)稱電場(chǎng)：軸對(duì)稱電場(chǎng)：平面對(duì)稱電場(chǎng)

13、：平面對(duì)稱電場(chǎng)：無限長帶電線，帶電柱面、柱體無限長帶電線，帶電柱面、柱體無限大帶電平面無限大帶電平面典型的對(duì)稱分布電場(chǎng)：典型的對(duì)稱分布電場(chǎng)：（球形電容器）（球形電容器）（電纜線）（電纜線）（平板電容器，偏轉(zhuǎn)電級(jí)（平板電容器，偏轉(zhuǎn)電級(jí)）182. 選取合適的高斯面選取合適的高斯面1。 找出電場(chǎng)的對(duì)稱中心，取對(duì)稱面，所求找出電場(chǎng)的對(duì)稱中心，取對(duì)稱面，所求 在高斯面上在高斯面上E2。 高斯面是簡單、封閉的幾何面高斯面是簡單、封閉的幾何面3。 面上各部分面上各部分ES/ESSE （此部分通量為（此部分通量為 ）0（此部分通量為（此部分通量為 ）cos SE（此部分通量為（此部分通量為 ）ES 和和 夾角為夾角為 3. 求出通量求出通量求出面內(nèi)的求出面內(nèi)的iqSeSEd從高斯定理求從高斯定理求E194. 某些有限大小的帶電體的電場(chǎng)具有對(duì)稱性，但找不出一某些有限大小的帶電體的電場(chǎng)具有對(duì)稱性，但找不出一個(gè)高斯面，使個(gè)高斯面，使E 可以從積分號(hào)內(nèi)提出，只能用積分法求解?？梢詮姆e分號(hào)內(nèi)提出，只能用積分法求解。如：如：帶電線段帶電線段帶電環(huán)帶電環(huán)小平面小平面圓柱圓柱5. 對(duì)于比較復(fù)雜的電場(chǎng)，可認(rèn)為是簡單電場(chǎng)的疊加。對(duì)于比較復(fù)雜的電場(chǎng)，可認(rèn)為是簡單電場(chǎng)的疊加。如：如：Pl l2 2l l1 1s s1 1s s2 2PQ1 1Q2 2補(bǔ)償法補(bǔ)償法20僅利用高斯定理不能求任意電場(chǎng)的僅利用高斯定理不