1、導數(shù)教學中數(shù)學實驗教學設計與反思浙江師范大學數(shù)理學院（浙江省泰順縣第一中） 何向陽摘要：基礎教育課程改革綱要（試行）的公布標志著新一輪課程改革的開始，其觀念之新，范圍之廣，力度之大，是建國以來所少見的，也是我國近代教育所少見的。如何讓學生認識到數(shù)學是自然的，數(shù)學是清楚的。筆者借助幾何畫板引入數(shù)學實驗，以高中數(shù)學導數(shù)部分為例，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過教師的模擬演示實驗、學生的驗證實驗和探索實驗，在教學活動中，通過師生之間、生生之間生動而豐富的“協(xié)作”、“會話”，完成對幾種常見函數(shù)的導數(shù)的認識。突破了由于數(shù)學邏輯推理的復雜性、學生認知水平的不足而帶來的思維困難，極大地改善了學生的數(shù)學思維環(huán)境。關(guān)鍵

2、詞：幾何畫板 數(shù)學實驗 數(shù)學教學 實驗數(shù)學是指在數(shù)學領(lǐng)域中運用數(shù)、空間和排列等數(shù)學元素和方法進行的系統(tǒng)實驗?？v觀數(shù)學發(fā)展史，數(shù)學家們總是通過實驗發(fā)現(xiàn)可能的數(shù)學事實，然后再給出嚴格的數(shù)學證明?？梢娫跀?shù)學發(fā)現(xiàn)中，數(shù)學實驗有著非常重要的作用。近年來由于計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，實驗數(shù)學展示了前所未有前景，為數(shù)學教育提供了探索和發(fā)現(xiàn)的工具，正影響著教師的教與學生的學。下面是我在幾種常見函數(shù)的導數(shù)教學中利用幾何畫板開展數(shù)學實驗的嘗試。聯(lián)系實際，提出科學問題問題1：如圖，質(zhì)點P在半徑為1cm的圓周上逆時針做勻角速運動，角速度為1rad/s，設A為起始點。（1）求時刻t時，點P在y軸上的射影點M的運動方程；（2

3、）求點M在時刻t時的速度。（利用幾何畫板課件模擬質(zhì)點運動）問題2：（1）試用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)：y=3，y=，y=；（2）由（1）的結(jié)果，你能總結(jié)出這些函數(shù)導數(shù)的一般規(guī)律嗎？（3）當nQ時，公式是否成立？教學中，我讓學生分組完成這兩個問題，漸漸地，各學習小組為了求y=sinx、y=xn（nQ）的導數(shù)，陷入了困境。建構(gòu)主義學習觀認為，學習是學習者對新信息的意義主動建構(gòu)的過程。面對學生呈現(xiàn)出的認知沖突，我沒有直接給出結(jié)論，而是啟發(fā)學生從導數(shù)的幾何意義入手，從函數(shù)的圖象上探索解決問題的方法。得到了教師的點拔，學生開始有了想法。學生（以下簡稱S）1：如能畫出導數(shù)的圖象就好辦了，我們也許可以從圖

4、象上得到函數(shù)的導數(shù)。教師（以下簡稱T）：這想法好，從原函數(shù)出發(fā)，能畫出導數(shù)的圖象嗎？畫函數(shù)的圖象常用什么方法？S2：有了，用描點法，先畫出曲線y=f(x)在點(x0，y0)處的切線，并想辦法求它的斜率k，便可描出點(x0，k)，則點(x0，k)是y=f(x)的導數(shù)圖象上的點。S3馬上說：你的想法好是好，現(xiàn)實嗎？S2：可以呀，通過幾何畫板就能做到。T：幾位同學分析得很好，使用“幾何畫板”時，點(x0，k)只需畫一點就行了，通過“幾何畫板”的追蹤功能，拖動曲線的切點便可輕松得到導數(shù)的圖象。下面就請幾何畫板幫忙，看看能得到什么。實例分析：以幾何畫板教學軟件為平臺的現(xiàn)代數(shù)學實驗，是模擬實驗環(huán)境進行教學

5、的新型教學模式，是信息技術(shù)與數(shù)學課程整合的理想模式之一。教師通過信息技術(shù)手段，引導學生通過實驗操作，主動、積極、批判地思考，發(fā)現(xiàn)、驗證數(shù)學命題，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識和實踐能力。實驗1：函數(shù)y= xn（nQ）的導數(shù)實驗目的（1）學會用實驗驗證函數(shù)的導數(shù)；（2）認識和感受導數(shù)的幾何意義。實驗步驟（1）繪制函數(shù)y=xn(n=)及y=nxn-1的圖象；（2）用自定義工具作過y=xn的圖象上點P處的切線；（3）度量P的橫坐標xP及切線的斜率k，繪制點A（xP，k），并觀察點A（xP,k）與函數(shù)y=nxn-1的圖象有什么關(guān)系。拖到點P時，看到了什么現(xiàn)象？這說明了什么？（4）在y=nx

6、n-1的圖象上任一點B，度量B的橫、縱坐標xB、yB；（5）繪制直線y= yB(x-xB)+ xBn，并觀察直線與函數(shù)y=xn的圖象有什么關(guān)系。拖到點B時，看到了什么現(xiàn)象？這說明了什么？（6）通過實驗你得到了什么結(jié)論？實驗分析S4：我們小組取n=0.5。拖到點P時，看到了點A（xP，k）在y=0.5x-0.5的圖象上運動，這說明了y=x0.5的導數(shù)圖象上的點在y=0.5x-0.5的圖象上；拖到點B時，看到直線與函數(shù)y=x0.5的圖象始終保持相切，這說明了點B在y=x0.5的導數(shù)圖象上；因此我們小組得出的結(jié)論是：公式中的n可以是有理數(shù)。通過反饋得知，選做這個實驗的其他各小組同學雖指數(shù)的取值各不相

7、同，卻都得到了相同的結(jié)論。實驗2：函數(shù)y= sinx和y= cosx的導數(shù)實驗目的（1）學會用實驗探求函數(shù)y=sinx、y=cosx的導數(shù)；（2）體驗幾何畫板作為學習數(shù)學的工具，感受創(chuàng)新的快樂；（3）學會探索、歸納、完成數(shù)學發(fā)現(xiàn)。實驗步驟（1）繪制函數(shù)y=sinx和y=cosx的圖象；（2）用自定義工具作過y=sinx或y=cosx的圖象上點P處的切線；（3）度量P的橫坐標xP及切線的斜率k，繪制點A（xP，k），并追蹤點A；拖到點P時，看到了什么？（4）得到的蹤跡是誰的圖象，試根據(jù)點A的蹤跡寫出它的函數(shù)關(guān)系式。（5）通過實驗你得到了什么結(jié)論？實驗分析S5：我們小組通過實驗發(fā)現(xiàn)點A的蹤跡是余弦

8、函數(shù)y=cosx的圖象，也就是y=sinx的導數(shù)的圖象，這說明正弦函數(shù)的導數(shù)是余弦函數(shù)，即。S6：我們小組通過實驗發(fā)現(xiàn)點A的蹤跡剛好是正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，即。S7：如畫出y=sinx的圖象，你會發(fā)現(xiàn)點A的蹤跡與y=sinx的圖象關(guān)于x軸對稱，因此有 以上三個實驗分小組完成，每小組承擔一個實驗，教師巡邏指導，并指點計算機操作能力較弱的學生借助課件里的幫助文本進行作圖，最終成功地發(fā)現(xiàn)了幾種常見函數(shù)的導數(shù)。案例分析，反思實驗教學建構(gòu)主義理論把“情景”、“協(xié)作”、“會話”、“意義建構(gòu)”作為學習的四大要素或四大屬性。在以上的教學設計中，教師利用現(xiàn)代教育技術(shù)為學生的學習研究創(chuàng)設情景，

9、提供平臺，讓學生在自己的活動中，通過他們之間生動的豐富的“協(xié)作”、“會話”，完成對幾種常見函數(shù)的導數(shù)的認識意義建構(gòu)。這樣的教學效果是傳統(tǒng)的教學方式所無法比擬的。1、轉(zhuǎn)變教學理念，順應課程改革在高中階段，導數(shù)作為大學微積分內(nèi)容的一種縮編，以一種特殊的極限來講，無論是導數(shù)的概念，還是導數(shù)的應用，更多的是作為一種規(guī)則來教、來學。這往往成了學生學習的障礙，影響了學生對導數(shù)思想和本質(zhì)的認識與理解。標準強調(diào)對導數(shù)本質(zhì)的認識，更作為一種重要的思想、方法來學習，淡化了導數(shù)的計算，只要求會用基本初等函數(shù)的導數(shù)及法則進行計算，并指出要避免過量的形式化運算練習；提高了對導數(shù)幾何意義以及用導數(shù)的幾何意義解決問題的要求

10、，體現(xiàn)幾何直觀這一重要思想方法對于數(shù)學學習的意義和作用。因此，借助于“幾何畫板”這一動態(tài)的、能夠“做數(shù)學”的教學軟件，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，引入數(shù)學實驗，反復通過函數(shù)的圖象去認識、探索、發(fā)現(xiàn)幾種常見函數(shù)的導數(shù)。擴大了數(shù)學實踐的內(nèi)容和范圍，使教學活動不再局限于演繹推理的形式之中，利于學生對知識的建構(gòu)，利于學生認識和感受導數(shù)的幾何意義，經(jīng)歷用導數(shù)的幾何意義去解決問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的過程。2、結(jié)合學生實際，優(yōu)化課堂教學教師用幾何畫板課件模擬質(zhì)點P的運動，揭示運動規(guī)律，為學生創(chuàng)設了生動形象的教學情境，引起學生極大的興趣，為下一步探索問題創(chuàng)造一個良好的開端。在教學中，對“為什么公式中的n可以是有理數(shù)”、“

11、” 和“”等的認識，由于數(shù)學邏輯推理的復雜性、學生認知水平的不足，常常成了教學的“死點”。這樣的教學設計中，把重點放在對知識的重新組織上，讓學生利用導數(shù)的幾何意義通過數(shù)學實驗進行直觀處理，實現(xiàn)對幾種函數(shù)的導數(shù)的認識，極大地改善了學生的數(shù)學思維環(huán)境，救“活”了這個“死點”，改進了學生的學習方式，為學生提供了更加廣闊的思維空間。在三個實驗中，通過拖動點P的連續(xù)變化，把函數(shù)的切線、切線的斜率及以斜率為坐標的點、導函數(shù)的圖像之間的內(nèi)在聯(lián)系緊密地結(jié)合在一起，并使四者都得到了直觀、動態(tài)的表示，這就使學生所面對的數(shù)學對象和數(shù)學過程的性質(zhì)發(fā)生了改變，使學生通過自主的、積極主動的數(shù)學思維而成功地建構(gòu)數(shù)學結(jié)論、解

12、決數(shù)學問題的可能性大大增加了。3、在實驗中要做好引導和監(jiān)控教師在實施數(shù)學實驗教學時，要根據(jù)實驗對象的特點，為學生的數(shù)學實驗創(chuàng)設一定的條件和環(huán)境；要仔細考慮可能發(fā)生的問題，周密準備，使學生在有限的時間內(nèi)完成對某個數(shù)學對象的實驗，并使學生明白實驗的結(jié)果只是給我們提供了一種可能或解釋，并不一定正確，嚴密的論證是必不可少的。教師對學生實驗的干預要體現(xiàn)“教師為主導，學生為主體”的原則，介入太早，教師成為中心；介入太遲，教師難以體現(xiàn)主導作用。在實驗數(shù)學對象的選擇上，要顧及教學課時、時間等因素的限制。因此，可以從以下幾個角度選擇一定的實驗對象：在以往的教學中難以呈現(xiàn)的數(shù)學對象；課程內(nèi)容中比較重要的數(shù)學對象；

13、比較容易創(chuàng)造條件和實施監(jiān)控的數(shù)學對象。為了使學生有更多的數(shù)學實驗的機會和足夠的實驗時間，多數(shù)實驗可以安排在第二課堂進行。4、進行數(shù)學實驗的意義運用現(xiàn)代教育技術(shù)構(gòu)建實施素質(zhì)教育的新型的數(shù)學活動形式數(shù)學實驗，正成為數(shù)學教育改革和實踐的一個新熱點，不論在理論上還是在實踐上都具有重要的現(xiàn)實和深遠意義。教師由課堂的主宰、知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W活動的組織者、學習情境的創(chuàng)設者、學生實驗過程的指導者和意義建構(gòu)的幫助者；學生從被動接受的地位轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃拥貐⑴c、發(fā)現(xiàn)，探索和知識建構(gòu)的主體地位；教學過程由講授說明轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^情景創(chuàng)設，問題探索，協(xié)作學習，意義建構(gòu)等以學生為主體的過程；學生的學習方式由課堂“呈現(xiàn)” 的學習方式轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^數(shù)學實驗實現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)的學習方式，培養(yǎng)了